山西省大同市浑源县第七中学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

这是一份山西省大同市浑源县第七中学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（共8小题）
1. (5分)已知a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则实数x的值是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2. (5分)已知直线l的一方向向量为，则直线l的倾斜角为( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
3. (5分)如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A. k1C. k14. (5分)如图，在三棱锥S -ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G满足＝，若＝a，＝b，＝c，则＝( )
A. a＋b＋c B. a－b＋c
C. －a－b＋c D. a－b＋c
5. (5分)若直线与平行，则的值为（ ）
A. 0 B. 2 C. 3 D. 2或3
6. (5分)已知a>0，b>0，直线l1：(a－1)x＋y－1＝0，l2：x＋2by＋1＝0，且l1⊥l2，则＋的最小值为( )
A. 2 B. 4 C. 8 D. 9
7. (5分)已知点A(2,3)，B(－3，－2)，若直线l过点P(1,1)，且与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A. B. C. D. {k|k<2}
8. (5分)若三条直线l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0能构成三角形，则实数a应满足的条件是( )
A. a＝1或a＝－2 B. a≠±1 C. a≠1且a≠－2 D. a≠±1且a≠－2
二、多选题（共4小题）
9. (5分)已知空间三点A(1,0,3)，B(－1,1,4)，C(2，－1,3)．若 AP→∥ BC→，且||＝，则点P的坐标为( )
A. (4，－2,2) B. (－2,2,4) C. (－4,2，－2) D. (2，－2,4)
10. (5分)已知直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题正确的是( )
A. 若l1∥l2，则斜率k1＝k2 B. 若斜率k1＝k2，则l1∥l2
C. 若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2 D. 若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2
11. (5分)下列说法正确的是（ ）
A. 直线的倾斜角为
B. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
C. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为，则该直线方程为
D. 过两点的直线方程为
12. (5分)在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，以D为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法正确的是( )
A. B1的坐标为(2,2,3) B. ＝(－2,0,3)
C. 平面A1BC1的一个法向量为(－3,3，－2) D. 二面角B -A1C1 -B1的余弦值为
三、填空题（共4小题）
13. (5分)点到直线的距离为______．
14. (5分)已知|a|=13,|b|=19,|a+b|=24,则|a-b|=________.
15. (5分)已知直线与互相平行，则__________，与之间的距离为__________.
16. (5分)已知点A(λ＋1，μ－1，3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3，9)三点共线，则实数λ＝________，μ＝________.
四、解答题（共6小题）
17. (10分)如图，在空间四面体OABC中，2＝，点E为AD的中点，设＝a，＝b，＝c．
(1)试用向量a，b，c表示向量；
(2)若OA＝OC＝3，OB＝2，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，求·的值．
18. (12分)已知直线l经过点(1,6)和点(8，－8)．
(1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程；
(2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积．
19. (12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．
(1)求证：EF⊥CD；
(2)求DB与平面DEF所成角的正弦值．
20. (12分)设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0．
(1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值；
(2)已知直线l的斜率为1，求m的值．
21. (12分)直线l经过两直线l1：x＋y＝0和l2：2x＋3y－2＝0的交点．
(1)若直线l与直线3x＋y－1＝0平行，求直线l的方程；
(2)若点A(3,1)到直线l的距离为5，求直线l的方程．
22. (12分)已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.
数学参考答案
1. 【答案】C
【解析】因为a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)，所以a·b＝－3＋2x－5＝2，解得x＝5.
2. 【答案】B
【解析】设直线l的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°)，则tan θ＝，∴θ＝60°．故选B．
3. 【答案】A
【解析】设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，
则由图知0°<α3<α2<90°<α1<180°，
所以tan α1<0，tan α2>tan α3>0，
即k1<0，k2>k3>0.
4. 【答案】B
【解析】＝＋＝＋＝(－)＋(－)＝(－)＋×＝－＋＝a－b＋c．故选B．
5. 【答案】B
【解析】由题意，所以，
解得，或，
当时，，，此时，符合题意，
当时，，，
此时两直线重合，不符合题意，
所以.
故选：B.
6. 【答案】C
【解析】因为l1⊥l2，所以(a－1)×1＋1×2b＝0，即a＋2b＝1，因为a>0，b>0，所以＋＝(a＋2b)＝2＋2＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，所以＋的最小值为8．故选C．
7. 【答案】A
【解析】∵kAP＝＝2，kBP＝＝，如图，
∵直线l与线段AB始终没有交点，
∴斜率k的取值范围是.
8. 【答案】D
【解析】为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．
①若l1∥l2，是由a×a－1×1＝0，得a＝±1.
②若l2∥l3，则由1×1－a×1＝0，得a＝1.
③若l1∥l3，则由a×1－1×1＝0，得a＝1.
当a＝1时，l1，l2与l3三线重合，当a＝－1时，l1，l2平行．
④若三条直线交于一点，由解得
将l2，l3的交点(－a－1,1)的坐标代入l1的方程，
解得a＝1(舍去)或＝－2.
所以要使三条直线能构成三角形，需a≠±1且a≠－2.
9. 【答案】AB
【解析】设＝λ＝(3λ，－2λ，－λ)．
又||＝，
∴＝，解得λ＝±1，
∴＝(3，－2，－1)或＝(－3,2,1)．
设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x－1，y，z－3)，
∴或
解得或
故点P的坐标为(4，－2,2)或(－2,2,4)．
10. 【答案】BCD
【解析】对于A，若l1∥l2，且l1与l2的倾斜角均为，则直线l1与l2的斜率不存在，故A错误；对于B，若斜率k1＝k2，且直线l1与l2为两条不重合的直线，则l1∥l2，故B正确；对于C，若倾斜角α1＝α2，且直线l1与l2为两条不重合的直线，由平行线的性质可得l1∥l2，故C正确；对于D，若l1∥l2，由平行线的性质可得倾斜角α1＝α2，故D正确．故选B、C、D．
11. 【答案】AB
【解析】对于A，直线的斜率为，其倾斜角为，A正确；
对于B，直线交轴分别于点，
该直线与坐标轴围成三角形面积为，B正确；
对于C，过点与原点的直线在两坐标轴上的截距都为0，符合题意，
即过点且在两坐标轴上的截距之和为的直线可以是直线，C错误；
对于D，当时的直线或当时的直线方程不能用表示出，D错误.
故选：AB.
12. 【答案】ABD
【解析】因为AB＝AD＝2，AA1＝3，
所以A1(2,0,3)，B(2,2,0)，B1(2,2,3)，C1(0,2,3)，所以＝(－2,0,3)，＝(0,2，－3)，故A、B正确；
设平面A1BC1的法向量m＝(x，y，z)，
所以 m∙A1B→=0,m∙BC1→=0,即令x＝－3，则y＝－3，z＝－2，即平面A1BC1的一个法向量为(－3，－3，－2)，故C错误；
由几何体易得平面A1B1C1的一个法向量为n＝(0,0,1)，
由于cs〈m，n〉＝＝＝－，
结合图形可知二面角B -A1C1 -B1的余弦值为，故D正确．故选A、B、D．
13. 【答案】1
【解析】点到直线的距离.
故答案为：.
14. 【答案】22
【解析】|a+b|2=a2+2a·b+b2=132+2a·b+192=242,
∴2a·b=46,|a-b|2=a2-2a·b+b2=530-46=484,故|a-b|=22.
15. 【答案】
【解析】因为直线与互相平行，
所以，
解得，
则，
所以与之间的距离.
故答案为：；.
16. 【答案】0 0
【解析】因为 AB→＝(λ－1，1，λ－2μ－3)， AC→＝(2，－2，6)，
由A，B，C三点共线，得 AB→∥ AC→，
即 λ-12＝－ 12＝ λ－2μ－36，
解得λ＝0，μ＝0.
17. 【答案】解 (1)∵2＝，
∴＝＝(－)＝(c－b)，
故＝＋＝b＋(c－b)＝b＋c，
∵点E为AD的中点，
故＝(＋)＝a＋b＋c．
(2)由题意得a·c＝，a·b＝3，c·b＝3，＝c－a，
故·＝(a＋b＋c)·(c－a)
＝－a2＋c2＋a·c＋b·c－b·a
＝－×9＋×9＋×＋×3－×3＝－．
18. 【答案】解 (1)因为直线l的两点式方程为＝，
所以＝，即＝x－1.
所以y－6＝－2x＋2，即2x＋y＝8.
所以＋＝1.
故所求截距式方程为＋＝1.
(2)如图所示，
直线l与两坐标轴围成的图形是直角三角形AOB，且OA⊥OB，由 x4+y8=1可知|OA|＝4，|OB|＝8，
故S△AOB＝×|OA|×|OB|＝×4×8＝16.
故直线l与两坐标轴围成的图形面积为16.
19. 【答案】(1)证明 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图．
设AD＝a，
则D(0,0,0)，A(a，0,0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E a，a2，0，P(0,0，a)，F a2，a2，a2.
∵ EF→· DC→＝ -a2，0，a2·(0，a，0)＝0，∴ EF→⊥ DC→，∴EF⊥CD.
(2)解 设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则 n∙DF→=0，n∙DE→=0，
即 x，y，z∙a2，a2，a2=0，x，y，z∙a，a2，0=0，
即 a2x＋y＋z＝0，ax+a2y＝0.
取x＝1，则y＝－2，z＝1，
∴n＝(1，－2，1)是平面DEF的一个法向量，
∴cs〈 BD→，n〉＝ BD→∙nBD→∙n＝ a2a∙6＝ 36.
设DB与平面DEF所成的角为θ，
则sin θ＝|cs〈 BD→，n〉|＝ 36.
20. 【答案】解 (1)由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，令y＝0，则x＝，
∴＝－3，得m＝－或m＝3(舍去)．
∴m＝－．
(2)由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠且m≠－1．
由直线l化为斜截式方程得y＝x＋，
则＝1，
得m＝－2或m＝－1(舍去)．
∴m＝－2．
【解析】 【知识点】根据直线的一般式方程求斜率、截距、参数值及范围
21. 【答案】解 (1)直线l1方程与l2方程联立得交点坐标为(－2,2)，
设直线l的方程为3x＋y＋m＝0，代入交点(－2,2)得m＝4，
所以l的方程为3x＋y＋4＝0．
(2)当直线l的斜率不存在时，得l的方程为x＝－2，符合条件；
当l斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋2)，
根据d＝＝5，解得k＝，
所以直线l的方程为12x－5y＋34＝0．
综上所述，l的方程为12x－5y＋34＝0或x＝－2．
22. 【答案】(1)证明 直线l的方程可化为y－1＝k(x＋2)，
由点斜式方程可知，直线l过定点(－2，1).
(2)解 由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，
在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k>0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，
故k的取值范围是[0，＋∞).
(3)解 由题意可知k≠0，再由l的方程，得A，B(0，1＋2k).
依题意得解得k>0.
∵S＝|OA|·|OB|＝·|1＋2k|＝·＝≥×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k>0且4k＝，
即k＝，∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.