2024年秋人教版九年级上册数学期中测试卷2（含答案）

这是一份2024年秋人教版九年级上册数学期中测试卷2（含答案），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C． D．
2．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝114°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB'C'，若点B'恰好落在BC边上，且AB'＝CB'，则∠C的度数为（ ）
A．18°B．20°C．22°D．24°
3．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣1，m2+1）关于原点对称点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．（3分）关于x的方程（a﹣1）x2+4x﹣3＝0是一元二次方程，则（ ）
A．a＞1B．a＝1C．a≠1D．a≥0
5．（3分）一元二次方程x2﹣3x＝1中，b2﹣4ac的值为（ ）
A．5B．13C．﹣13D．﹣5
6．（3分）要将抛物线y＝2x2平移后得到抛物线y＝2x2+4x+5，下列平移方法正确的是（ ）
A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
B．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向上平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
7．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0的一个根是1，则m的值等于（ ）
A．1B．﹣1C．3D．﹣3
8．（3分）对于二次函数y＝x2﹣6x+a，在下列几种说法中：①当x＜2时．y随x的增大而减小；②若函数的图象与x轴有交点，则a≥9；③若a＝8，则二次函数y＝x2﹣6x+a（2＜x＜4）的图象在x轴的下方；④若将此函数的图象绕坐标
原点旋转180°，则旋转后的函数图象的顶点坐标为（﹣3，9﹣a），其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．（3分）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y＝x，它的相关函数为y=x(x≥0)−x(x＜0)．已知点M，N的坐标分别为(−12，1)，(92，1)，连结MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．﹣3≤n≤﹣1或1＜n≤54B．﹣3＜n＜﹣1或1＜n≤54
C．﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤54D．﹣3≤n≤﹣1或1≤n≤54
10．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2−4ac=(2ax0+b)2
其中正确的（ ）
A．只有①②B．只有①②④C．①②③④D．只有①②③
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠C′AB′的度数为 ．
12．（3分）已知x1，x2是一元二次方程2x2+x﹣3＝0的两个实数根，则x1+x2的值是 ．
13．（3分）若x2﹣2x+y2+6y+10＝0，则x+y＝ ．
14．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝mx+n交于点A（﹣2，5）、B（3，3）两点，则关于x的一元二次方程a（x+1）2+c﹣n＝（m﹣b）（x+1）的两根之和是 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，把△ABC绕BC边的中点O旋转后得△DEF，若直角顶点E恰好落在AC边上，且DF边交AC边于点G，则△FCG的面积为 ．
三、解答题（共10小题，满分75分）
16．（8分）用适当的方法解下列方程．
（1）4（x﹣1）2＝9；
（2）x2+4x﹣5＝0（配方法）；
（3）3（x﹣5）2＝2（5﹣x）；
（4）2x2﹣7x+3＝0．
17．（6分）在如图的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都是网格线的交点，已知B，C两点的坐标分别为（﹣3，0），（﹣1，﹣1）．
（1）请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点A的坐标．
（2）将△ABC绕坐标原点顺时针旋转90°，画出转旋后的△A′B′C′．
18．（6分）图①、图②、图③均是10×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、P均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中，作以点P为对称中心的平行四边形ABEF．
（2）在图②中，作四边形ABCD的边BC上的高AM．
（3）在图③中，在四边形ABCD的边CD上找一点N，连结AN，使∠DAN＝45°．
19．（6分）已知关于x的方程x2−2mx+14n2=0，其中m、n是等腰三角形的腰和底边长．
（1）说明这个方程有两个不相等的实数根．
（2）若方程的两实数根的差的绝对值是8，且等腰三角形的面积是16，求m，n的值．
20．（6分）超市销售某种商品，每件盈利50元，平均每天可达到30件．为尽快减少库存，现准备降价以促进销售，经调查发现：一件商品每降价1元平均每天可多售出2件．
（1）当一件商品降价5元时，每天销售量可达到 件，每天共盈利 元；
（2）在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时超市每天盈利可达到2100元？
（3）在上述条件不变，销售正常情况下，超市每天盈利最高可以达到k元，请你利用学过的Δ判别式，或利用暑假预习函数配方法，求出k的值？
21．（8分）阅读材料，解答问题：
材料1
为了解方程（x2）2﹣13x2+36＝0，如果我们把x2看作一个整体，然后设y＝x2，则原方程可化为y2﹣13y+36＝0，经过运算，原方程的解为x1，2＝±2，x3，4＝±3．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2
已知实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，显然m，n是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根，由韦达定理可知m+n＝1，mn＝﹣1．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
方程x4﹣5x2+6＝0的解为 ；
（2）间接应用：
已知实数a，b满足：2a4﹣7a2+1＝0，2b4﹣7b2+1＝0且a≠b，求a4+b4的值；
（3）拓展应用：
已知实数m，n满足：1m4+1m2=7，n2﹣n＝7且n＞0，求1m4+n2的值．
22．（8分）家委会计划用班费购买A、B两种相册共45本作为学生的毕业礼品，已知购买2本A种相册，3本B种相册需要110元．购买4本A种相册，5本B种相册需要200元．
（1）求A、B两种相册的售价分别是多少元？
（2）若要求购买的A种相册的数量要不少于B种相册数量的12，且购买总金额不超过1000元，则家委会有多少种不同的购买方案？
（3）已知商店A、B两种相册的进价分别是18元和16元，目前正在对A种相册在不亏本的前提下进行促销活动．当购买A种相册数量不超过10本时，没有优惠，超过10本时，每超过一本，单价降低0.1元，问家委会分别购买多少本A、B相册时，商店获利最大？最大利润是多少？
23．（8分）在平面直角坐标系中，抛物线C外：y=−16x²−76x+1，抛物线C内：y＝ax2+bx的对称轴为直线x=−1110，且C内的图象经过点A（﹣3，﹣2），动直线x＝t与抛物线C内交于点M，与抛物线C外交于点N．
（1）求抛物线C内的表达式．
（2）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值．
（3）在（2）的条件下，设抛物线C外与y轴交于点B，连接AM交y轴于点P，连接PN．若平面内有一点G，且PG＝1，是否存在这样的点G，使得∠GNP＝∠ONB？若存在，直接写出点G的坐标，若不存在，说明理由．
24．（9分）某超市销售A，B两种饮料，A种饮料进价比B种饮料每瓶低2元，用500元进货A种饮料的数量与用600元进货B种饮料的数量相同．
（1）求A，B两种饮料平均每瓶的进价．
（2）经市场调查表明，当A种饮料售价在11元到17元之间（含11元，17元）浮动时，每瓶售价每增加0.5元时，日均销售量减少20瓶；当售价为每瓶12元时，日均销售量为320瓶；B种饮料的日均毛利润m（元）与售价为n（元/瓶）（12.5≤n≤18）构成一次函数，部分数据如下表：（每瓶毛利润＝每瓶售价﹣每瓶进价）
①当B种饮料的日均毛利润超过A种饮料的最大日均毛利润时，求n的取值范围．
②某日该超市B种饮料每瓶的售价比A种饮料高3元，售价均为整数，当A种饮料的售价定为每瓶多少元时，所得总毛利润最大？最大总毛利润是多少元？
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于A（﹣4，0），B（1，0），交y轴于C（0，3）．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，点P为直线AC上方抛物线上一点，过P作PQ⊥x轴于点Q，再过点Q作QR∥AC交y轴于点R，求PQ+QR的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，点E在抛物线上，横坐标为﹣3，连接AE，将线段AE沿直线AC平移，得到线段A′E′，连接CE′，当△A′E′C为等腰三角形时，直接写出点A′的坐标．
参考答案
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．C； 2．C； 3．D； 4．C； 5．B； 6．A； 7．D； 8．C； 9．C； 10．B；
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．30°
12．−12
13．﹣2
14．﹣1
15．2125
三、解答题（共10小题，满分75分）
16．解：（1）∵4（x﹣1）2＝9，
∴（x﹣1）2=94，
则x﹣1=±32，
∴x1=52，x2=−12；
（2）∵x2+4x﹣5＝0，
∴x2+4x＝5，
则x2+4x+4＝5+4，即（x+2）2＝9，
∴x+2＝±3，
解得x1＝1，x2＝﹣5；
（3）∵3（x﹣5）2＝2（5﹣x），
∴3（x﹣5）2+2（x﹣5）＝0，
则（x﹣5）（3x﹣13）＝0，
∴x﹣5＝0或3x﹣13＝0，
解得x1＝5，x2=133；
（4）∵2x2﹣7x+3＝0，
∴（x﹣3）（2x﹣1）＝0，
则x﹣3＝0或2x﹣1＝0，
解得x1＝3，x2＝0.5．
17．解：（1）如图，平面直角坐标系即为所求，A（﹣2，3）
（2）如图，△A′B′C′即为所求．
18．解：（1）如图①中，平行四边形ABEF即为所求；
（2）如图②中，高AM即为所求；
（3）如图③中，点N即为所求．
19．解：（1）∵m、n是等腰三角形的腰和底边长，
∴2m＞n，
又∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×1×14n2=4m2−n2，
∴4m2＞n2，
∴Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）由题意得|x1﹣x2|＝8，
∴（x1﹣x2）2＝64，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝64，
由韦达定理得：x1+x2＝2m，x1x2=14n2，
∴（2m）2﹣4×14n2=64，即m2−14n2=4，
∵等腰三角形的面积是16，
如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∴BD＝CD=n2．
∴AD=AB2−BD2=m2−14n2，
∴12×n×m2−14n2=16，
∴n＝8，
代入m2−14n2=4，
解得m＝42，
∴m＝42，n＝8．
20．解：（1）降价5元，销售量达到30+2×5＝40件，
当天盈利：（50﹣5）×40＝1800（元）；
故答案为：40，1800；
（2）根据题意，得：（50﹣x）×（30+2x）＝2100，
解得：x＝15或x＝20，
∵该商场为了尽快减少库存，
∴降的越多，越吸引顾客，
∴选x＝20，
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元；
（3）根据题意可得（30+2x）（50﹣x）＝k，
整理得到：2x2﹣70x+k﹣1500＝0．
则Δ＝b2﹣4ac＝4900﹣4×2（k﹣1500）＝16900﹣8k≥0，
解得k≤2112.5．
故超市每天盈利最高可以达到2112.5元．
21．解：（1）令y＝x2，则有y2﹣5y+6＝0，
∴（y﹣2）（y﹣3）＝0，
∴y1＝2，y2＝3，
∴x2＝2或3，
∴x1=2，x2=−2，x3=3，x4=−3；
故答案为：x1=2，x2=−2，x3=3，x4=−3；
（2）∵a≠b，
∴a2≠b2或a2＝b2，
当a2≠b2时，令a2＝m，b2＝n．
∴m≠n，则2m2﹣7m+1＝0，2n2﹣7n+1＝0，
∴m，n是方程2x2﹣7x+1＝0的两个不相等的实数根，
∴m+n=72mn=12，
此时a4+b4＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn=454．
②当a2＝b2（a＝﹣b）时，a2＝b2=7±414，此时a4+b4＝2a4＝2（a2）2=45±7414，
综上所述，a4+b4=454或45±7414．
（3）令1m2=a，﹣n＝b，则a2+a﹣7＝0，b2+b﹣7＝0，
∵n＞0，
∴1m2≠−n，即a≠b，
∴a，b是方程x2+x﹣7＝0的两个不相等的实数根，
∴a+b=−1ab=−7，
故1m4+n2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝15．
22．解：（1）设A、B两种相册的售价分别是x元、y元，根据题意得：
2x+3y=1104x+5y=200，
解得：x=25y=20．
答：A、B两种相册的售价分别是25元、20元；
（2）设买A种相册x册．买这两种相册共花费y元，
25x+20(45−x)≤1000x≥12(45−x)，
解得：15≤x≤20．
∴有6种不同的购买方案；
（3）设买A种相册m册，B种相册（45﹣m）册，此吋商店获利w元，
①当0≤m≤10时，w＝（25﹣18）m+（20﹣16）（45﹣m）＝3m+180，
当m＝10时，利润最大为210元；
②当10＜m≤45时，w＝3m+180﹣0.1m（m﹣10）＝﹣0.1（m﹣20）2+220，
∵﹣0.1＜0，开口向下，
∴当m＝20时，利润最大为220元；
∵220＞210，
∴当m＝20时，有最大利润为220元．
答：分别购买A、B相册20本和25本时，商店获利最大，最大利润是220元．
23．解：（1）∵y＝ax2+bx的对称轴为直线x=−1110，且C内的图象经过点A（﹣3，﹣2），
∴−b2a=−11109a−3b=−2，
解得：a=−56b=−116，
∴抛物线C内的表达式为y=−56x2−116x；
（2）∵动直线x＝t与抛物线C内交于点M，与抛物线C外交于点N．
∴M（t，−56t2−116t），N（t，−16t2−76t+1），
∵△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形，A（﹣3，﹣2），
∴∠ANM＝90°或∠AMN＝90°，
当∠ANM＝90°时，−16t2−76t+1＝﹣2，
解得：t1＝﹣9，t2＝2，
当t＝﹣9时，AN＝﹣3﹣（﹣9）＝6，MN＝﹣2﹣[−56×（﹣9）2−116×（﹣9）]＝49，
∵AN≠MN，
∴t＝﹣9不符合题意，舍去；
当t＝2时，AN＝2﹣（﹣3）＝5，MN＝﹣2﹣（−56×22−116×2）＝5
∵AN＝MN，
∴△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形；
当∠AMN＝90°时，−56t2−116t＝﹣2，
解得：t1＝﹣3，t2=45，
当t＝﹣3时，AM＝0，不符合题意，舍去，
当t=45时，AM=45−（﹣3）=195，MN=4925，
∵AM≠MN，
∴t=45不符合题意，舍去；
综上所述，△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，t＝2．
（3）存在点G使得∠GNP＝∠ONB
如图，连接BN，ON，作∠GNP＝∠ONB，使NG交y轴于G，且G在P上方，设AN交y轴于R，则R（0，﹣2），
由（2）知，t＝2，
∴N（2，﹣2），M（2，﹣7），
设直线AM解析式为y＝kx+c，将A（﹣3，﹣2），M（2，﹣7）代入，
得−3k+c=−22k+c=−7，
∴k=−1c=−5，
∴直线AM解析式为y＝﹣x﹣5，
令x＝0，得y＝﹣5，
∴P（0，﹣5），
在y=−16x2−76x+1中，令x＝0，得y＝1，
∴B（0，1），
在Rt△BNR中，BN=BR2+RN2=32+22=13，
在Rt△PNR中，PN=PR2+RN2=32+22=13，
∴BN＝PN，
∴∠NBO＝∠NPR，
∵∠GNP＝∠ONB，
∴△GNP≌△ONB（ASA），
∴PG＝OB＝1，
∴G（0，﹣4）．
根据①可得G（0，﹣4）符合要求，作点G关于直线PN的对称点G′，
设直线PN解析式为y＝mx+n，
∵P（0，﹣5），N（2，﹣2），
∴n=−52m+n=−2，
解得：m=−32n=−5，
∴直线PN解析式为y=32x﹣5，
∵GG′⊥PN，
∴直线GG′解析式为y=−23x﹣4，
设G′（t，−23t﹣4），
∵点G，G′关于直线PN的对称，
∴PG′＝PG，
∴t2+[−23t﹣4﹣（﹣5）]2＝12，
解得t1＝0（舍去），t2=1213，
当t=1213时，−23t﹣4=−23×1213−4=−6013，
∴G′（1213，−6013），
设直线NG的解析式为y＝k1x+b1，将N（2，﹣2），G（0，﹣4）代入，
得2k1+b1=−2b1=−4，
解得k1=1b1=−4，
∴直线NG的解析式为y＝x﹣4，
设直线NG上存在另一点G1（t，t﹣4），满足PG1＝1，
则（t﹣0）2+（t﹣4+5）2＝12，
解得t＝0（舍去）或t＝﹣1，
∴G1（﹣1，﹣5），
设直线NG′的解析式为y＝k2x+b2，将N（2，﹣2），G′（1213，−6013）代入，
得2k2+b2=−21213k2+b2=−6013，
解得k2=177b2=−487，
∴直线NG′的解析式为y=177x−487，
设直线NG上存在另一点G2（t，177t−487），满足PG2＝1，
则（t﹣0）2+（177t−487+5）2＝12，
解得：t=513或t=1213（舍去），
∴G（513，−7713），
综上所述，点G坐标为（0，﹣4）或（1213，−6013）或（﹣1，﹣5）或（513，−7713）．
24．解：（1）设A饮料进价为x元/瓶，B饮料进价为（x+2）元/瓶．
∴500x=600x+2，解得x＝10．
经检验，x＝10是所列方程的根，且符合题意．
∴x+2＝12．
答：A饮料进价为10元/瓶，B饮料进价为12元/瓶．
（2）设A饮料售价为y元/瓶，日均毛利润为z元．
∴z＝（y﹣10）[320﹣20÷0.5×（y﹣12）]
＝﹣40y2+1200y﹣8000
＝﹣40（y﹣15）2+1000，
∴y＝15时，zmax＝1000，
设m＝kn+b，
∴18k+b=64016k+b=880，
解得k=−120b=2800，
∴m＝﹣120n+2800．
令﹣120n+2800＝1000，
解得n＝15，
∵m随着n的减小而增大，
∴n＜15，而12.5≤n≤18，
∴12.5≤n＜15．
即n的取值范围是12.5≤n＜15．
②设A饮料售价为a元/瓶，则B饮料售价为（a+3）元/瓶，总毛利润为W元．
∴W＝﹣40a2+1200a﹣8000﹣120（a+3）+2800＝﹣40a2+1080a﹣5560，
∵a+3≥12.5，a+3≤18，，而11≤a≤17，
∴11≤a≤15．
∵a=−10802×(−40)=272，且a为整数，
∴当a＝13或14时，Wmax＝1720．
∴当A种饮料的售价定为每瓶13或14元时，所得总毛利润最大，最大总毛利润是1720元．
25．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交x轴于A（﹣4，0），B（1，0），交y轴于C（0，3）．
∴16a−4b+c=0a+b+c=0c=3，
解得a=−34b=−94c=3，
∴抛物线的解析式为y=−34x2−94x+3；
（2）设P（x，−34x2−94x+3），则Q（x，0），R（0，m）．
∵A（﹣4，0），C（0，3）．
∴直线AC的解析式为y=34x+3，
∵QR∥AC，
∴OROQ=OCOA，
∴m−x=34，
∴m=−34x，
∴PQ+QR=−34x2−94x+3+x2+(34x)2=−34x2−72x+3=−34（x+73）2+8512，
∴x=−73时，PQ+QR的最大值8512，
∴P（−73，256）；
（3）如图2中，△A′E′C为等腰三角形有三种情况：①A′E′＝A′C，②A″C＝CE″，③A′E′＝CE′，
由（2）得，直线AC的解析式为y=34x+3，
∵抛物线的解析式为y=−34x2−94x+3，
∴E（﹣3，3），
∵A（﹣4，0），
∴AE=32+12=10，
①A′E′＝A′C，
∴A′E′＝A′C＝AE=10，
设A′（x，34x+3），过点A′作A′M⊥y轴于M，则A′M∥x轴，
∴CMA'M=OCOA=34，
∴CM＝|−34x|，
∴A′C=A'M2+CM2=x2+(−34x)2=|54x|=10，
x＜0时，−54x=10，
∴x=−4105，
x＞0时，54x=10，
∴x=4105，
∴A′（−4105，3−3105）或（4105，3+3105）；
②A″C＝CE″，
设A″（x，34x+3），过点C作CN⊥A″E″于N，则A″N=12A″E″=102，
∴E″（x+1，34x+3+3），即E″（x+1，34x+6），
∵A″C=x2+(−34x)2=|−54x|，
CE″=(x+1)2+(34x+6−3)2=2516x2+132x+10，
∵CE″＝A″C，
∴（−54x）2＝（2516x2+132x+10）2，
化简得132x＝﹣10，
解得：x=−2013，
∴A″（−2013，2413），
③A′E′＝CE′，
∴（10）2＝（2516x2+132x+10）2，
化简得∴2516x2+132x＝0，
解得：x1＝0，此时，点A′与C重合，不合题意，舍去；x2=−10425，
∴A′（−10425，−325）；
综上所述，点A′的坐标为（−4105，3−3105）或（4105，3+3105）或（−2013，2413）或（−10425，−325）．
售价n（元/瓶）
18
17.5
16
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日均毛利润m（元）
640
700
880
…