葫芦岛市第一高级中学2024-2025学年高二上学期（10月份）月考数学试卷(含答案)

这是一份葫芦岛市第一高级中学2024-2025学年高二上学期（10月份）月考数学试卷(含答案)，共24页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知O是坐标原点，空间向量，，，若线段的中点为D，则( )
A.9B.8C.3D.
2．已知直线l过点，且倾斜角为，则直线l的一般式方程为( )
A.B.
C.D.
3．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
4．在四面体中，，，，G为的重心，P在上，且，则( )
A.B.C.D.
5．已知点,,点P是圆上任意一点,则面积的最小值为( )
A.6B.C.D.
6．已知直线与圆交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．在平面直角坐标系中，若圆上存在点P，且点P关于直线的对称点Q在圆上，则r的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．已知M是圆上一个动点，且直线与直线相交于点P，则的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列结论中正确的是( )
A.若直线l的方程，则直线l的倾斜角为
B.已知曲线（x，y不全为0），则曲线C的周长为
C.若直线与直线垂直，则
D.圆与圆的公切线条数为2
10．已知直线，圆,为圆C上任意一点，则下列说法正确的是( )
A.的最大值为5
B.的最大值为
C.直线l与圆C相切时，
D.圆心C到直线l的距离最大为4
11．如图，在棱长为2的正方体中，Q为线段的中点，P为线段上的动点（含端点），则下列结论错误的是( )
A.三棱锥的体积为定值
B.直线与直线所成角的取值范围为
C.的最小值为
D.P为线段的中点时，过D，P，Q三点的平面截正方体所得的截面的面积为
三、填空题
12．O为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则________.
13．在直线上一点P到点，两点距离之和最小，则点P的坐标为________.
14．已知线段是圆的一条动弦，且，若点P为直线上的任意一点，则的最小值为________.
四、解答题
15．中，，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为.
(1)求直线的方程；
(2)求直线的方程；
(3)求的面积.
16．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，M为的中点，且.
（1）求；
（2）求二面角的正弦值.
17．已知圆，点P是直线上一动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.
(1)若P的坐标为，求过点P的切线方程；
(2)试问直线是否恒过定点，若是，求出这个定点，若否说明理由；
(3)直线与圆C交于E，F两点，求的取值范围（O为坐标原点）.
18．如图（1）所示，在中，，，，垂直平分.现将三角形沿折起，使得二面角大小为，得到如图（2）所示的空间几何体（折叠后点A记作点P）.
(1)求点D到面的距离；
(2)点Q为一动点，满足，当直线与平面所成角最大时，试确定点Q的位置.
19．已知圆M与直线相切于点，圆心M在x轴上.
(1)求圆M的标准方程；
(2)若直线与圆M交于P，Q两点，求弦的最短长度；
(3)过点M且不与x轴重合的直线与圆M相交于A，B两点，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于C，D两点，记，的面积为，，求的最大值.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意，，，则，所以，所以，
故选：C.
2．答案：B
解析：由题得，
又直线过点，
所以直线l的点斜式方程为，
转化得直线l的一般式方程为.
故选：B.
3．答案：C
解析：以B为原点，在平面内过B作的垂线交于D，
以为x轴，以为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系，
因为直三棱柱中，，，，
所以，，，，
所以，，
设异面直线与所成角为，
所以.
故选：C.
4．答案：C
解析：延长交于点D，则点D为的中点，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，
因为，，，
所以，
故选：C.
5．答案：D
解析：两点,,则,直线AB方程为,
圆的圆心,半径,
点C到直线的距离,
因此点P到直线AB距离的最小值为,
所以面积的最小值是.
故选:D
6．答案：C
解析：设中点为C，则，
，
，，
，即，
又直线与圆交于不同的两点A、B，
，故，
则，
，.
故选：C.
7．答案：B
解析：圆的圆心为，
设关于直线的对称点为
所以，解得，
所以关于直线的对称点为，
由题意得，以为圆心，以r为半径的圆与圆有公共点，
所以，解得：.
故选B
8．答案：B
解析：依题意，直线恒过定点，直线恒过定点，显然直线，因此，直线与交点P的轨迹是以线段AB为直径的圆，
其方程为：，圆心，半径，而圆C的圆心，半径，如图：
，两圆外离，由圆的几何性质得：，，
所以的取值范围是：.
故选：B
9．答案：ABD
解析：对于A，直线l的斜率为，所以直线l的倾斜角为，故A正确；
对于B，如图所示：
当，时，曲线，即，
此时它的图象为半径为的半圆弧，这时它的长度为，
在曲线中，分别用，，替换，
方程依然成立，
这表明了曲线的图象关于坐标轴以及坐标原点对称，
所以曲线的周长为，故B正确；
对于C，若直线与直线垂直，
则，解得或，故C错误；
对于D，圆即，
圆心半径分别为，，
圆的圆心半径分别为，，
所以两圆圆心距为，
所以两圆相交，它们的公切线条数为2，故D正确.
故选：ABD.
10．答案：BC
解析：圆C的方程可化为，所以圆C的圆心为，半径.，是圆上的点，所以的最大值为，A选项错误.
如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大，
此时,,，且，B选项正确.
直线，即，过定点，
若直线l与圆C相切，则圆心到直线l的距离为2，
即，解得，所以C选项正确.
圆心到直线l的距离，
当时，，
当时，，所以D选项错误.
故选：BC
11．答案：CD
解析：选项A，，面，面，面，
P到面的距离等于到面的距离，
，故A正确；
选项B，连接，则，则直线与直线所成角即为直线与直线所成角，
则当P与C重合时，直线与直线所成角最小为，
当P与重合时，直线与直线所成角最大为，
所以直线与直线所成角的取值范围为，故B正确.
选项C：将侧面展开如图，显然当Q，P，D三点共线时，取得最小值，
最小值为，故C错误；
选项D，连接，，，P，Q分别为线段，的中点，
且，
又且，且，
所以过D，P，Q三点的截面为梯形，
易知，，，
作，则，，
所以梯形的面积，故D错误.
故选：CD.
12．答案：/0.125
解析：因为，，
所以，
即，
由于A，B，C，P四点共面，则，
解得：；
故答案为：
13．答案：
解析：设A关于直线的对称点为，连接，
则，当且仅当，P，B三点共线时等号成立.
而，
解得，故，故直线，
故当取最小值时，P的横坐标为1，故其纵坐标为3，即.
故答案为：.
14．答案：
解析：如图，P为直线上的任意一点，
过圆心C作，连接，由，
可得，
由，当C，P，D共线时取等号，
又D是的中点，所以，
所以.
则此时，
的最小值为.
故答案为：
15．答案：（1）；
（2）；
（3）
解析：(1)由已知得直线的斜率为2，
边所在的直线方程为，
即.
(2)由，得.
即直线与直线的交点为.
设，
则由已知条件得，
解得，.
边所在直线的方程为，即.
(3)E是线段的中点，.
，
由，得.
，
D到的距离为，
.
16．答案：（1）；
（2）
解析：（1）[方法一]：空间坐标系+空间向量法
平面，四边形为矩形，不妨以点D为坐标原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、、，
则，，
，则，解得，故；
[方法二]【最优解】：几何法+相似三角形法
如图，连结.因为底面，且底面，所以.
又因为，，所以平面.
又平面，所以.
从而.
因为，所以.
所以，于是.
所以.所以.
[方法三]：几何法+三角形面积法
如图，联结交于点N.
由[方法二]知.
在矩形中，有，所以，即.
令，因为M为的中点，则，，.
由，得，解得，所以.
（2）[方法一]【最优解】：空间坐标系+空间向量法
设平面的法向量为，则，，
由，取，可得，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
，
所以，，
因此，二面角的正弦值为.
[方法二]：构造长方体法+等体积法
如图，构造长方体，联结，，交点记为H，由于，，所以平面.过H作的垂线，垂足记为G.
联结，由三垂线定理可知，
故为二面角的平面角.
易证四边形是边长为的正方形，联结，.
，，
由等积法解得.
在中，，，由勾股定理求得.
所以，，即二面角的正弦值为.
17．答案：(1)或；
(2)是，；
(3)
解析：（1）设切线方程为，即
圆心坐标为，半径
根据圆的切线的定义可知：，即
解得：或
代回方程可求得切线方程为：或
或
（2）圆
圆心，半径
设，由题意知A，B在以为直径的圆上，又
，即
又圆，即
故直线的方程为，即
由，解得，
即直线恒过定点.
（3）由，得
设，，
，
，
的取值范围为.
18．答案：(1)；
(2)见解析.
解析：（1）由，，，
得，
所以，所以，，
因为垂直平分，所以，，
所以为平面与平面的二面角的平面角，
所以，，所以为等边三角形，
取中点O，连接，，所以，.
因为，平面，
所以平面，因为平面，
所以平面平面，
因为，，所以为二面角的平面角，
所以，
以O为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，.
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
，
所以点D到面的距离为.
（2）设，因为，所以，
所以，所以，
所以，
设直线线与平面所成角为，，
，
所以当时，有最大值为.
此时直线与平面所成角最大，
即当时，直线与平面所成角最大.
19．答案：(1)；
(2)；
(3)的最大值为
解析：（1）由题可知，设圆的方程为，
由直线与圆相切于点，
得，解得，，
圆的方程为；
（2）由直线
有：；
得，即
即直线l恒过定点；
又，即点在圆C内部；
圆C的圆心为；设直线l恒过定点；
当直线l与直线垂直时，圆心到直线的距离最长，此时弦长最短；
此时，弦长最短为；
（3）由题意知，，设直线的斜率为，则直线的方程为，
由，得，解得或，
则点A的坐标为，
又直线的斜率为，
同理可得：点B的坐标为
由题可知：，，
，
又，同理，
.
当且仅当时等号成立.
的最大值为.