江苏省泰州中学2024-2025学年高一上学期10月月考练习数学试卷(含答案)
展开一、选择题
1.设有下列关系:①;②;③;④.其中正确的个数为( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
2.设全集,若集合,,则( )
A.B.C.D.
3.下列命题中,是真命题的是( )
A.如果,那么B.如果,那么
C.如果,那么D.如果,,那么
4.已知x是实数,那么“”是“”成立的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
5.若不等式的解集为空集,则k的取值范围是( )
A.
B.,或
C.
D.,或
6.不等式的解集为( )
A.B.
C.D.
7.已知,,则的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
8.定义:为实数x,y中较小的数,已知,其中x,y均为正实数,则a的最大值是( )
A.B.C.1D.2
二、多项选择题
9.已知集合A,B,C是全集为U的非空真子集,且满足:,,则下列选项正确的是( )
A.B.
C.D.
10.下列命题中为真命题的是( )
A.“”的充要条件是“”
B.“”是“”的既不充分也不必要条件
C.命题“,”的否定是,”
D.“,”是“”的充分条件
11.已知正实数x,y满足,则( )
A.B.C.D.
三、填空题
12.已知,,且,满足这样的集合C的个数_________.
13.若命题p:“,”是假命题,则k的取值范围是_________.
14.已知二次函数,若对任意,若且不等式恒成立,则的最小值为_________.
四、解答题
15.已知命题:“,不等式”是真命题.
(1)求实数m的取值集合B;
(2)设不等式的解集为A,若是的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
16.已知集合,.
(1)当时,求A的非空真子集的个数;
(2)若,求实数m的取值范围;
(3)若,求实数m的取值范围.
17.已知函数.
(1)解关于x的不等式;
(2)若关于x的不等式的解集为(,),求的最小值.
18.某学校要建造一个长方体形的体育馆,其地面面积为,体育馆高,如果甲工程队报价为:馆顶每平方米的造价为100元,体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元,左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元,设体育馆前墙长为米.
(1)当前墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?
(2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标,其给出的整体报价为元(),若无论前墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围.
19.含有有限个元素的数集,定义“元素和”如下:把集合中的各数相加;定义“交替和”如下:把集合中的数按从大到小的顺序排列,然后从最大的数开始交替地加减各数.例如,的元素和是;交替和是;而的元素和与交替和都是5.
(1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和;
(2)已知集合,根据提示解决问题.
①求集合M所有非空子集的元素和的总和;提示:,先求出x在集合M的非空子集中一共出现多少次,进而可求出集合M所有非空子集的元素和的总和;
②求集合M所有非空子集的交替和的总和.
参考答案
1.答案:D
解析:表示实数集
,则①正确
表示有理数集,则②正确
表示自然数集,则③正确
是集合的一个元素
,则④正确
本题正确选项:D
2.答案:C
解析:全集,集合,
故选:C
3.答案:D
解析:对于A,如果,那么,故错误;
对于B,如果,那么,故错误;
对于C,如果,那么,故错误;
对于D,如果,那么,由,则,故正确.
故选:D.
4.答案:B
解析:不等式,即,
也就是,等价于,
解得:
因为
所以""是""的必要不充分条件
故选B
5.答案:A
解析:不等式的解集为空集,
故选:A
6.答案:D
解析:不等式可变形为,
则或,
即不等式的解集为.
故选:D
7.答案:B
解析:设
所以,解得,
所以,
又,
所以,
故A,C,D错误.
故选:B
8.答案:C
解析:
当且仅当,即时等号成立,
当,即时,,
此时a的最大值为1;
当,即时,
综上所述,a的最大值为1.
故选:C
9.答案:ABD
解析:集合A,B,C是全集为U的非空真子集,且满足:
作出韦恩图如下:
,故B正确;
C不是的子集,故C错误;
,故D正确.
故选:ABD
10.答案:BD
解析:对于A:""""是""的充分不必要条件,故A错误;
对于B:""是""的既不充分也不必要条件,故B正确;
对于C:命题""的否定是,",故C错误;
对于D:""是""的充分条件,故D正确
故选:$BD$.
11.答案:ABD
解析:因为正实数x,y满足,
所以,所以A正确;
因为,
所以B正确;
因为,得,C错误;
因为,得,则D正确.
故选:ABD
12.答案:7
解析:
13.答案:
解析:由题意得,命题p的否定为,是真命题.
当时,,满足题意;当时,,不满足题意;
当时,,解得或.
由,解得.
综上,k的取值范围是.
14.答案:8
解析:因为不等式恒成立,
所以,
可得,因为,
,
设,因为,所以,
则有
当且仅当时取等号,
即当时取等号,
即当,时取等号,
故答案为:8
15.答案:(1)
(2)
解析:(1)命题:,都有不等式成立是真命题,
∴,
即在时恒成立,
又当时,,
∴,
即;
(2)不等式,
故,
∵是的充分不必要条件,则A是B的真子集,
∴,
解得,故实数a的取值范围为.
16.答案:(1)254
(2)
(3)
解析:(1)当时,,
共有8个元素,
所以A的非空真子集的个数为.
(2)因为,
所以,
当时,由,得,符合;
当时,根据题意,可得
解得.
综上可得,实数m的取值范围是.
(3)当时,由(1)知;
当时,根据题意作出如图所示的数轴,
可得或解得.
综上可得,实数m的取值范围是.
17.答案:(1)答案见解析
(2)36
解析:(1)因为,
所以,即.
当时,不等式的解集为.
当时,不等式的解集为.
当时,不等式的解集为.
(2)由题意,关于的方程有两个不等的正根,
由韦达定理知解得.
则,
,
因为,,
所以,
当且仅当,且,
即,时,等号成立,此时,符合条件,
则.
综上,当且仅当时,取得最小值36
18.答案:(1)当前墙的长度为20米时,甲工程队报价最低为84000元
(2)
解析:(1)因为体育馆前墙长为x米,地面面积为,
所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米,设甲工程队报价为y元,
所以,
因为,
当且仅当,
即时等号成立,
所以当前墙的长度为20米时,甲工程队报价最低为84000元;
(2)根据题意可知
对任意的恒成立,即对任意的恒成立,
所以对任意的恒成立,
因为,
,
当且仅当,即时等号成立,
所以,故当时,
无论前墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功.
19.答案:(1)12
(2)①672
②192
解析:(1)集合的非空子集为,,,,,,,
集合,,的交替和分别为1,2,3,
集合的交替和为,
集合的交替和为,
集合的交替和为,
集合的交替和为,
所以集合的所有非空子集的交替和的总和为.
(2)①集合的所有非空子集中,数字1,2,3各出现次,
集合的所有非空子集为,,,,,,,,,,,,,,,
其中数字1,2,3,4各出现次,在集合的所有非空子集中,含1的子集的个数为,
故数字1在16个子集中出现,即数字1在所有的非空子集中出现了16次,同理,数字2,3,4,5各出现(次),
同理,在集合的所有非空子集中,数字1,2,3,4,5,6各出现(次),
所以集合M的所有非空子集的元素和的总和为.
②设集合,,,的交替和分别,,,,
集合的所有非空子集的交替和,
集合的所有非空子集的交替和,
集合的所有非空子集的交替和,
集合的所有非空子集的交替和,
所以根据前4项猜测集合的所有非空子集的交替和总和,
所以集合M的所有非空子集的交替和的总和.
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