山东省五莲县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份山东省五莲县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷(含答案)，共24页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知复数，则( )
A.B.C.D.
2．已知为直线l的方向向量，，分别为平面，的法向量（，不重合），有下列说法：①；②；③；④.其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
3．现有一段底面周长为厘米和高为12厘米的圆柱形水管，是圆柱的母线，两只蜗牛分别在水管内壁爬行，一只从A点沿上底部圆弧顺时针方向爬行厘米后再向下爬行3厘米到达P点，另一只从B沿下底部圆弧逆时针方向爬行厘米后再向上爬行3厘米爬行到达Q点，则此时线段长（单位：厘米）为( )
A.B.C.6D.12
4．若，则( )
A.B.C.D.
5．正方体中，点M是上靠近点的三等分点，平面平面，则直线l与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
6．在棱长为a的正方体中，M，N分别是，的中点，则与面MBD的距离是( )
A.B.C.D.
7．如图所示,正方体的棱长为1,点E,F,G分别为BC,,的中点,则下列说法正确的是( )
A.直线与直线AF垂直B.直线与平面AEF平行
C.三棱锥的体积为D.直线BC与平面AEF所成的角为
8．如图，在棱长为2的正方体中，点M在线段（不含端点）上运动，则下列结论正确的是( )
①的外接球表面积为；
②异面直线与所成角的取值范围是；
③直线平面；
④三棱锥的体积随着点M的运动而变化.
A.①②B.①③C.②③D.③④
二、多项选择题
9．关于复数z，下列说法正确的是( )
A.
B.若，则的最小值为
C.
D.若是关于x的方程：的根，则
10．如图，在底面为等边三角形的直三棱柱中，，，D，E分别为棱，的中点，则( )
A.平面
B.
C.异面直线与所成角的余弦值为
D.平面与平面的夹角的正切值为
11．在边长为1的正方体中，M，N，P分别为棱，，的中点，为正方形的中心，动点平面，则( )
A.正方体被平面截得的截面面积为
B.若，则点Q的轨迹长度为
C.若，则的最小值为
D.将正方体的上底面绕点旋转，对应连接上、下底面各顶点，得到一个侧面均为三角形的十面体，则该十面体的体积为
三、填空题
12．已知i为虚数单位,是实系数一元二次方程的一个虚根,则________.
13．已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数t的取值范围是________.
14．已知梯形如图1所示，其中，，A为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面平面，得到如图2所示的几何体.已知当点F满足时，平面平面，则λ的值为________.
四、解答题
15．已知空间中三点，，，设
(1)已知，求k的值；
(2)若，且，求的坐标.
16．在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线l以为方向向量且经过点，则直线l的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.
(1)已知直线l的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线l与平面所成角的余弦值；
(2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，点P到平面的距离；
17．如图，在三棱柱中，底面，，，，，点E，F分别为与的中点.
(1)证明：平面；
(2)求二面角的平面角的正切值.
18．如图，是圆台的一条母线，是圆的内接三角形，为圆的直径，，.
(1)证明：；
(2)若圆台的高为3，体积为，求直线与平面夹角的正弦值.
19．如图①所示，矩形中，，，点M是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥，N为中点.
(1)若平面平面，求直线与平面所成角的大小；
(2)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值.
参考答案
1．答案：D
解析：复数，则，
所以.
故选：D
2．答案：B
解析：因为，不重合，对①，平面，平行等价于平面，的法向量平行，故①正确；
对②，平面，垂直等价于平面，的法向量垂直，故②正确；
对③，若，故③错误；
对④，或，故④错误.
故选：B.
3．答案：A
解析：应用圆柱的特征取上下底面的圆心，，为z，y轴，再过O作的垂线为x轴，如图建系，
过Q向圆O作垂线垂足为，，设圆O半径为r，，所以，
所以圆弧的长度为：，，
则，，
同理，过P向圆O作垂线垂足为，则，，
所以.
故选：A.
4．答案：B
解析：因为，则，
所以.
故选B.
5．答案：D
解析：因为是正方体，所以平面平面，
平面平面，平面平面，
所以，M是靠近的三等分点，
所以，
平面平面，即是l，
如图建立空间直角坐标系，设正方体边长为3，
则，，，，
，
设直线l与所成角为
.
故选：D.
6．答案：A
解析：如图，以A为原点，，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，
设平面的法向量，则即
设，则
所以，
则点到平面的距离为.
故选:A
7．答案：B
解析：A选项:为正方体,所以,直线AF与直线不垂直,所以直线AF与直线不垂直,故A错误;
如图建立空间直角坐标系,
则,,,,,
对于B,设平面AEF的法向量为,则,
令,则,
因为,所以,所以,
因为在平面AEF外,所以直线与平面AEF平行,所以B正确,
对于C,,所以三棱锥的体积为,所以C错误,
对于D,,,,直线BC与平面AEF所成的角为,,所以D错误,
故选:B.
8．答案：C
解析：对于①，根据题意，设棱长为2的正方体外接球半径为R，
则满足，可得，此时外接球的表面积为，可知①错误；
对于②，以D为坐标原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
如下图所示：
则，，，，，
所以，，，
设，其中；
可得，
异面直线与所成角的余弦值为
，
易知时，，，
可得，
所以异面直线与所成角的取值范围是，即②正确；
对于③，由②可知，，则；
设平面的法向量为，又，
则，取，则，；所以平面的法向量为，
此时，可得，又平面，
所以直线平面，即③正确；
对于④，根据正方体性质平面，所以
，易知直线到平面的距离是定值，底面的面积为定值，
所以三棱锥的体积为定值，因此三棱锥的体积不会随点M的运动而变化，
即④错误；综上所述，正确的结论为②③.
故选：C
9．答案：BD
解析：A选项：由虚数单位的定义，，则，A选项错误；
设，
B选项：由，则，且，
则，，
又，所以当时取最小值为，B选项正确；
C选项：，，，
所以，C选项错误；
D选项：由已知复数范围内二次方程的两根满足，
且与互为共轭复数，由可知，
则，即，D选项正确；
故选：BD.
10．答案：ABD
解析：选项A：
如图连接交于F，连接，
由题意可知F为的中点，又D为的中点，故，
又平面，平面，故平面，故A正确；
选项B：由题意为等边三角形，D为的中点，
故，
又棱柱为直三棱柱，故，
又，平面，平面，
故平面，又平面，故，故B正确；
选项C：
如图建立空间直角坐标系，则，，，
因，故，
所以，，
设异面直线与所成角为，则
故C错误；
选项D：由题意平面的一个法向量为，
，，，
设平面的法向量为，则
，即，设，则，，
故，
设平面与平面的夹角为，则，
故，
故，故D正确，
故选：ABD
11．答案：ACD
解析：对于A，连接并延长，与，所在直线交于点E，F，连接，交于点H，交直线于点G，连接，交，于点I，J，连接，，，如图所示，则正方体被平面截得的截面为六边形，
连接，则，
因为为正方体，所以平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以，又N，P分别为棱，的中点，所以，
所以，则点I为中点，，
同理可得，，
所以六边形为正六边形，则，故A正确；
对于B，由A可知，平面即为平面，
以D为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，连接，取中点，连接，，如图所示，
则，，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
因为，所以，令，则，
因为，所以，所以平面，
又平面，所以，
因为，，
所以，
所以点Q的轨迹为以为圆心半径为的圆，点Q的轨迹长度为，故B错误；
对于C，因为，所以K为靠近的三等分点，则，
连接，由，，得，
所以，所以关于平面的对称点为点D，
所以，故C正确；
对于D，如图所示，即为侧面均为三角形的十面体，在平面，以，为对角线作正方形，连接，，，，则是上底和下底都是正方形的四棱台，底面边长为和1，高为1，所以，
因为，
所以，故D正确；
故选：ACD.
12．答案：4
解析：是实系数一元二次方程的根,
也是实系数一元二次方程的根,
,,
解得,,故.
故答案为:4
13．答案：
解析：由，得，解得，
又，得，解得，
所以与夹角为钝角，实数t的取值范围为且.
故答案为：.
14．答案：/
解析：如图，以A为坐标原点，
，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
，，，，，
则，，，，
若是平面的一个法向量，
则
可得，
若是平面的一个法向量，
则可得
由平面平面，得，
即，
解得.
故答案为：.
15．答案：(1)；
(2)或
解析：（1）因为，，，，，
所以，，，
又，所以，得到.
（2）因为，又，所以，解得或，所以的坐标为或.
16．答案：(1)；
(2).
解析：（1）依题意，直线l的一个方向向量坐标为，平面的一个法向量为，
设直线l与平面所成角为，则，，所以直线l与平面所成角的余弦值为.
（2）依题意，平面的法向量为，且平面过点，由，得，
所以点P到平面的距离为.
17．答案：(1)见解析；
(2)
解析：（1）连结，，因为点E是的中点，则A，E，，
则点E是的中点，且F是的中点，
所以，
且平面，平面，
所以平面；
（2）如图，建立空间直角坐标系，
，，，
，，
设平面的法向量，
，令，则，，
则平面的法向量，
平面的法向量为，
设二面角的平面角为，
则，
所以.
二面角的平面角的正切值为
18．答案：(1)证明见详解；
(2).
解析：（1）由题知，因为为圆的直径，所以，
又，，所以，
因为为的中点，所以，
由圆台性质可知，平面，且，，P，C四点共面，
因为平面，所以，
因为，是平面内的两条相交直线，所以平面，
因为平面，所以.
（2）圆台的体积，其中，
解得或(舍去).
由（1）知，，两两垂直，分别以，，为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
所以，，.
设平面的一个法向量为，
则解得
于是可取.
设直线与平面的夹角为，
则，
故所求正弦值为.
19．答案：(1)；
(2)
解析：（1）取中点G，连接，由，得，而平面平面，
平面平面，平面，则平面，
过M作，则平面，又平面，于是，，在矩形中，，，则，
以点M为原点，直线，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，令，得，
设直线BC与平面所成的角为，则，
所以直线BC与平面所成角的大小为.
（2）连接，由，得，而，则为的平面角，即，
过点D作平面，以D为坐标原点，直线，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，
显然平面，平面，则平面平面，
在平面内过P作于点H，则平面，
设，而，则，，，
即，，
所以，
于是，，
设平面PAM的法向量为，则，
令，得，设平面的法向量为，
因为，，
则，令，得，
设平面和平面为，
则
令，，则，即，则当时，有最小值，
所以平面和平面夹角余弦值的最小值为.