河南省舞钢市新时代国际学校2024-2025学年高二上学期10月教学质量检测数学试题

这是一份河南省舞钢市新时代国际学校2024-2025学年高二上学期10月教学质量检测数学试题，文件包含2024年10月23日试卷4docx、483592802024年10月23日试卷答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共16页， 欢迎下载使用。
【解析】变形后得到2x-y-4=0的方向向量是=（1，2）求出答案．
解：2x-y-4=0变形为y=2x-4，
故2x-y-4=0的方向向量是=（1，2），
只有选项D符合，其他选项均不合要求．
故选：D．
2．【答案】C
【解析】由已知中=（2，-1，3），=（-1，4，-2），=（7，5，λ），若，，三向量共面，我们可以用向量，作基底表示向量，进而构造关于λ的方程，解方程即可求出实数λ的值．
解：∵=（2，-1，3），=（-1，4，-2），
∴与不平行，
又∵，，三向量共面，
则存在实数x,y使=x+y，
即，
解得λ=．
故选：C．
3．【答案】B
【解析】求得向量OA的坐标，由题意可得两平面间的距离是向量在法向量的投影的绝对值，运用向量的投影定义，计算可得所求值．
解：由题意可得=（2，1，1），
两平行平面的一个法向量=（-1，0，1），
两平面间的距离是向量在法向量的投影的绝对值，
可得距离为d=||
=||=，
故选：B．
4．【答案】A
【解析】设所求圆的方程为（x2+y2+6x-4）+λ（x2+y2+6y-28=0）=0，用λ表示出圆心，代入直线x-y-4=0，求出λ，从而求出所求．
解：根据题意，要求圆经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，
设其方程为（x2+y2+6x-4）+λ（x2+y2+6y-28）=0，
变形可得（1+λ）x2+（1+λ）y2+6x+6λy-4-28λ=0，
其圆心为（-，），
又由圆心在直线x-y-4=0上，
则有（-）-（）-4=0，
解可得λ=-7；
则圆的方程为：（-6）x2+（-6）y2+6x-42y+192=0，
即x2+y2-x+7y-32=0，
故选：A．
5．【答案】D
【解析】由圆心和切点连线与切线垂直可得kBC=-1，得到关于圆心的一个方程，根据圆的性质，可知圆心C在AB的垂直平分线x=3上，由此可求得a,b的值，得到圆心坐标，进而可求得圆的半径即可求解．
解：设圆心C（a,b），
因为直线x-y=1与圆C相切于点B（2，1），
所以，即a+b-3=0，
因为AB中垂线为x=3，则圆心C满足直线x=3，
即a=3，∴b=0，
所以半径，
所以圆C的方程为（x-3）2+y2=2．
故选：D．
6．【答案】D
【解析】由题意可得AB=，要求△ABC的面积的最小值，只要求C到直线AB距离d的最小值，把圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，判断直线和圆的位置关系是相离，求出圆心到直线的距离，点C到直线AB距离的最小值是圆心到直线的距离减去圆的半径．
解：圆x2+y2-4x+4y+6=0 即 （x-2）2+（y+2）2=2，
∴圆心（2，-2），半径是 r=．
直线AB的方程为x-y+2=0，
圆心到直线AB的距离为=3，
直线AB和圆相离，
点C到直线AB距离的最小值是 3-r=3-=2，
△ABC的面积的最小值为=4
故选：D．
7．【答案】D
【解析】根据两直线方程表达式及其位置关系，可得，再利用基本不等式，求出a+2b的最小值即可．
解：由题可知，两条直线斜率一定存在．
因为两直线垂直，所以斜率乘积为-1，
即，即2a+b=ab,整理可得，
所以，
当且仅当a=b=3时，等号成立，
因此a+2b的最小值为9．
故选：D．
8．【答案】B
【解析】求得AB的中点和所在直线的斜率，可得线段AB的垂直平分线方程，由等腰三角形的三线合一，可得欧拉线方程．
解：△ABC的顶点为A（1，0），B（0，2），且AC=BC，
可得AB的中点为（，1），直线AB的斜率为-2，
所以线段AB的垂直平分线方程为y-1=（x-），
即为2x-4y+3=0，
由于等腰三角形ABC中，边AB上的垂直平分线，也为高线和中线，
即直线2x-4y+3=0经过△ABC的重心、外心和垂心．
所以欧拉线方程为2x-4y+3=0，
故选：B．
9．【答案】CD
【解析】根据题意，分析平面α的法向量和三条直线的方向向量，由此分析三条直线与平面的位置关系，综合可得答案．
解：根据题意，平面α：x+2y+3z=6，即（x-1）+2（y-1）+3（y-1）=0，则平面α一个的法向量为（1，2，3），设=（1，2，3），
直线l1：，变形可得：2x=y+1=（z+2），即==，
则直线l1的一个方向向量为（，1，），设=（，1，），
由于=2，则l1⊥α，A错误，D正确；
直线l2：x=y=2-z,即==，直线l2的一个方向向量为（1，1，-1），设=（1，1，-1），
由于•=1+2-3=0，则⊥，
对于l2：x=y=2-z,当x=0时，有y=0，z=2，直线l2过点（0，0，2），平面α：x+2y+3z=6，也过点（0，0，2），则l2⊂α，B错误；
直线l3：，则直线l3的一个方向向量为（5，-4，1），设=（5，-4，1），
由于=2，则l1⊥α，A错误，D正确；
由于•=5-8+3=0，则⊥，
同时，l3：，过点（1，0，0），平面α：x+2y+3z=6不过点（1，0，0），则有l3∥α，C正确．
故选：CD．
10．【答案】AD
【解析】设=k,则kx-y=0，利用圆心到直线kx-y=0的距离d≤r,列出不等式，求出k的取值范围，即可得到答案．
解：设=k,则kx-y=0，
方程x2+y2+4x+3=0可变形为（x+2）2+y2=1，
其圆心为（-2，0），半径r=1，
由题意可得，圆心到直线kx-y=0的距离d≤r,
即，解得，
所以实数k的取值范围为，
则的最小值为，最大值为．
故选：AD．
11．【答案】ABD
【解析】根据正方形的性质和棱锥的结构特征，逐一分析选项，即可得出答案．
解：对于A：在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，则BE=AE=CF=BF=1，则EF=，
∴PE2+PF2=2=EF2，则PE⊥PF，
又PD⊥PF，PF∩PD=P，PF⊂平面PDF，PD⊂平面PDF，则PE⊥平面PDF，
∵DF⊂平面PDF，∴PE⊥DF，故A正确；
对于B：由选项A得PE⊥平面PDF，PD⊥PF，
∴VP-DEF=VE-PDF=S△PDF•PE=××1×1×2=，故B正确；
对于C：∵PD、PE、PF两两互相垂直，PD⊥PE，PD⊥PF，PE∩PF=P，PE⊂平面PEF，PF⊂平面PEF，▱
∴PD⊥平面PEF，
又EF⊂平面PEF，则PD⊥EF，
设Q为点P在平面DEF内的投影，连接EQ、PQ，如图所示：
则PQ⊥平面DEF，
又EF⊂平面DEF，则PQ⊥EF，
∵PQ∩PD=P，PQ⊂平面PQD，PD⊂平面PQD，
∴EF⊥平面PDQ，
又DQ⊂平面PQD，则EF⊥DQ，
∵PQ⊥平面DEF，PE⊥平面PDF
∴PQ⊥DF，PE⊥FD，
又PQ∩PE=P，PQ⊂平面PQE，PE⊂平面PQE，
∴DF⊥平面PEQ，
∵EQ⊂平面PQE，∴EQ⊥DF，
∴点Q是△DEF的垂心，即点P在平面DEF内的投影是△DEF的垂心，故C错误；
对于D：由选项C得，PD、PE、PF与平面DEF所成角分别为α、β、γ，
则α=∠PDQ，β=γ=∠PEQ，
又在正方形ABCD中，SEDF=S正方形ABCD-S△ADE-S△BEF-S△CDF=，VP-DEF=S△DEF•PQ=，解得PQ=，
∴sin2α+sin2β+sin2γ=（）2+（）2+（）2=1，故D正确，
故选：ABD．
12．【答案】①②③
【解析】根据题意，由直线方向向量、平面法向量的定义依次分析4个结论是否正确，综合可得答案．
解：根据题意，依次分析4个命题：
①正方体ABCD-A1B1C1D1中，有DD1∥AA1，
∴=（0，0，1）是直线DD1的一个方向向量，故①正确；
②正方体ABCD-A1B1C1D1中，有BC1∥AD1，
∴=（0，1，1）是直线BC1的一个方向向量，故②正确；
③正方体ABCD-A1B1C1D1中，有AD⊥平面ABB1A1，
∴=（0，1，0）是平面ABB1A1的一个法向量，故③正确；
④∵AC1与平面B1CD不垂直，
∴=（1，1，1）不是平面B1CD的一个法向量，故④错误．
故答案为：①②③．
13．【答案】
【解析】设，从而根据列出方程组，求出x=1，y=2，z=3，求出答案．
解：设，
则，
故，解得：，
故．
故答案为：．
14．【答案】y=1
【解析】两圆x2+y2=4，x2+y2+2ay-16=0（a＞0）方程相减得2ay=12，公共弦y=，由圆心（0，0）到公共弦y=的距离为1，由此能求出公共弦所在的直线方程．
解：两圆x2+y2=4，x2+y2+2ay-16=0（a＞0）方程相减得2ay=12，公共弦y=，
∵公共弦长为2，圆x2+y2=4的圆心为（0，0），半径r=2，
∴圆心（0，0）到公共弦y=的距离为1，
∴d==1，解得a=±6．
∵a＞0，∴a=6．
∴公共弦所在的直线方程为y=1．
故答案为：y=1．
15．【解析】（1）利用向量的加法，可得结论；
（2）①证明=+=+=，即可证明结论；
②证明EG∥平面AB1C，EF∥平面AB1C，利用EF∩EG=E，即可证明平面EFG∥平面AB1C．
解：（1）由题意，=++，=+=-+。
（2）证明：②由①EG∥AC，EG⊄平面AB1C，AC⊂平面AB1C，∴EG∥平面AB1C．
同理EF∥平面AB1C，∵EF∩EG=E，
∴平面EFG∥平面AB1C．
16．【解析】（1）证明A1C⊥平面BCDE，因为A1C⊥CD，只需证明A1C⊥DE，即证明DE⊥平面A1CD；
（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面A1BE法向量，=（-1，0，），利用向量的夹角公式，即可求得CM与平面A1BE所成角的大小；
（3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a,0），则a∈[0，3]，求出平面A1DP法向量为
假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则，可求得0≤a≤3，从而可得结论．
（1）证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D=D，
∴DE⊥平面A1CD，
又∵A1C⊂平面A1CD，∴A1C⊥DE
又A1C⊥CD，CD∩DE=D
∴A1C⊥平面BCDE
（2）解：如图建系，则C（0，0，0），D（-2，0，0），A1（0，0，2），B（0，3，0），E（-2，2，0）
∴，
设平面A1BE法向量为
则∴∴
∴
又∵M（-1，0，），∴=（-1，0，）
∴
∴CM与平面A1BE所成角的大小45°
（3）解：设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a,0），则a∈[0，3]
∴，
设平面A1DP法向量为
则∴
∴
假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则，
∴3a+12+3a=0，6a=-12，a=-2
∵0≤a≤3
∴不存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直
17．【解析】（Ⅰ）证法一：利用线面平行的判定定理证明，在四棱锥P-ABCD中，取PC的中点F，连接EF、FB，只需证明四边形AEFB是平行四边形，可得AE∥FB；
证法二：建立空间直角坐标系，设PB=t,确定平面PBC的法向量=（2，-1，0），证明=0即可；
（Ⅱ）求得||=，||=，利用异面直线BC与PD成60°角，结合向量数量积公式，可求PB，从而可得侧视图的面积．
（Ⅰ）证法一：在四棱锥P-ABCD中，取PC的中点F，连接EF、FB，
因为E是PD的中点，所以EFCDAB，…（2分）
所以四边形AEFB是平行四边形，…（3分）
则AE∥FB，
而AE⊄平面PBC，FB⊂平面PBC，…（5分）
∴AE∥平面PBC． …（6分）
证法二：如图，以B为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴，BP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
设PB=t,则P（0，0，t），D（-1，2，0），C（1，2，0），A（-1，0，0），
所以E（-，1，），，…（2分）
设平面PBC的法向量为=（x,y,z），则，所以，即
取y=-1，得到平面PBC的法向量为=（2，-1，0）．
所以=0，而AE⊄平面PBC，则AE∥平面PBC．…（6分）
（Ⅱ）解：同（Ⅰ）法二建立空间直角坐标系，
设PB=t（t＞0），则P（0，0，t），D（-1，2，0），C（1，2，0），
所以=（-1，2，-t），=（1，2，0），
则||=，||=，…（9分）
由已知异面直线BC与PD成60°角，所以•==，
又•=-1×1+2×2+（-t）×0=3，
所以=3，解得t=，即PB=，
所以侧视图的面积为S=×2×=．…（13分）
18．【解析】（Ⅰ）在图1△ABC中，D，E为AC，AB边中点，可得：DE∥BC．又AC⊥BC，可得DE⊥AC．在图2中，利用线面垂直的判定定理与性质定理即可证明结论．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知DE⊥平面A1CD，且DE⊂平面BCDE，利用线面垂直的判定定理可得：平面A1CD⊥平面BCDE，在正△A1CD中，过A1作A1O⊥CD，垂足为O，再利用面面垂直的判定定理可得：A1O⊥平面BCDE．A1O即为三棱锥A1-BCE底面上的高，通过等积变形，即可得出．
（Ⅰ）证明：在图1△ABC中，D，E为AC，AB边中点 所以DE∥BC．
又AC⊥BC，所以DE⊥AC．
在图2中DE⊥A1D，DE⊥DC，且A1D∩DC=D，则DE⊥平面A1CD．
又因为A1C⊂平面A1CD，所以DE⊥A1C．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知DE⊥平面A1CD，且DE⊂平面BCDE，
所以平面A1CD⊥平面BCDE，
且平面A1CD∩平面BCDE=DC，
在正△A1CD中，过A1作A1O⊥CD，垂足为O，
所以A1O⊥平面BCDE．A1O即为三棱锥A1-BCE底面上的高，
在△A1CD中，．
在△A1BE中，，，所以．
在梯形BCDE中，．
设点C到平面A1BE的距离为h,
因为，
所以，解得．
即点C到平面A1BE的距离为．
19．【解析】（1）分别求得两圆的圆心和半径，由题意可得两圆外切，可得两圆的圆心距等于半径之和，解方程可得所求值；
（2）由直线和圆相交的弦长公式，结合点到直线的距离公式，解方程可得所求值．
解：（1）圆C1：（x-1）2+y2=1的圆心C1（1，0），半径r1=1，
圆C2：x2+y2-8x+m=0的圆心C2（4，0），半径r2=，
由圆C1与圆C2恰有3条公切线，可得两圆外切，
则|C1C2|=r1+r2，即1+=3，
解得m=12：
（2）圆C2：x2+y2-8x+12=0的圆心为（4，0），半径为2，
由直线x+y+n=0被圆C2所截得的弦长为2，
可得2=2（d为圆心C2到直线x+y+n=0的距离），
解得d=，
则d==，
解得n=-1或-7．