广东省江门市蓬江区陈白沙中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份广东省江门市蓬江区陈白沙中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.二次函数的图象的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
3.将一元二次方程配方后所得的方程是( )
A. B. C. D.
4.若关于x的一元二次方程的一个解是，则a的值为( )
A. 1B. C. D. 2
5.将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位所得抛物线的解析式为( )
A. B. C. D.
6.抛物线与y轴交点的坐标是( )
A. B. C. D.
7.在一元二次方程中，二次项系数和常数项分别是( )
A. 2，5B. 2，C. 2，1D. 2，
8.已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
9.某校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为8万元，若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
10.在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.方程的解是______.
12.若关于x的函数是二次函数，则m的值为______.
13.若抛物线的对称轴是直线，则常数______.
14.篮球联赛实行单循环赛制，即每两个球队之间进行一场比赛，计划一共打36场比赛，设一共有x个球队参赛，根据题意，所列方程为______.
15.已知：m，n是方程的两根，则______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题10分
用适当的方法解下列方程：
17.本小题7分
已知函数
指出函数图象的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标为______
当x______时，y随x的增大而增大
怎样移动抛物线就可以得到抛物线
18.本小题7分
关于x的一元二次方程，其根的判别式的值为求m的值.
19.本小题9分
已知关于x的二次函数的图象与x轴交于两点，两点，且图象过点
求这个二次函数的解析式；
求出该函数的最值，并说明是最大值还是最小值？
20.本小题9分
某市百货大楼服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接元旦，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
21.本小题9分
如图，要用篱笆虚线部分围成一个矩形苗圃ABCD，其中两边靠的墙足够长，中间用平行于AB的篱笆EF隔开，已知篱笆的总长度为18米．
设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为，矩形苗圃ABCD面积为，求y关于x的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；
当x为何值时，所围矩形苗圃ABCD的面积为？
22.本小题12分
观察下列方程及其解的特征：
的解为；
的解为，；
的解为，；
…
解答下列问题：
请猜想：方程的解为______；
请猜想：关于x的方程______的解为，；
下面以解方程为例，验证中猜想结论的正确性．
解：原方程可化为
下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程
23.本小题12分
已知，是关于x的一元二次方程的两实数根．
求m的取值范围；
已知等腰的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．
阅读材料：若三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶-海伦公式可得：，其中，在的条件下，若和的角平分线交于点I，根据以上信息，求的面积．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、含有两个未知数，不符合题意；
B、为一元一次方程，不符合题意；
C、，只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程，符合题意；
D、，含有两个未知数，不符合题意；
故选：
只含有1个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程就是一元二次方程，依据定义即可判断．
本题主要考查了一元二次方程的定义，用到的知识点为：一元二次方程只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的整式方程，并且二次项系数不为
2.【答案】A
【解析】解：二次函数为顶点式，其顶点坐标为
故选：
根据二次函数的顶点式的特点，可直接写出顶点坐标．
本题考查了二次函数的性质，把二次函数解析式整理成顶点式形式是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：，
，
，
故选：
配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确使用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为1；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
把代入方程得，然后解关于a的方程即可．
【解答】
解：把代入方程得，解得
故选：
5.【答案】D
【解析】【分析】
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线向左平移1个单位所得抛物线的解析式为：，即；
再向下平移3个单位所得抛物线的解析式为：，即
故选：
【点评】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：当时，，
抛物线与y轴的交点坐标为，
故选：
抛物线与y轴相交时，横坐标为0，将横坐标代入抛物线解析式可求交点纵坐标．
本题考查了抛物线与坐标轴交点坐标的求法．令，可到抛物线与y轴交点的纵坐标，令，可得到抛物线与x轴交点的横坐标．
7.【答案】D
【解析】解：一元二次方程的二次项系数和常数项分别是2和，
故选：
根据单项式的系数和多项式的项的定义得出答案即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式，多项式的项和单项式的系数等知识点，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：①一元二次方程的一般形式是、b、c为常数，，②找项的系数和多项式的项带着前面的符号．
8.【答案】D
【解析】解：二次函数的对称轴为y轴，
和时的函数值相等，
，
时，y随x的增大而增大，
，
故选：
先判断出函数的对称轴为y轴，再根据函数的对称性，和时的函数值相等，再根据时，y随x的增大而增大解答．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正确利用二次函数的对称性和增减性求解更加简便是解题关键．
9.【答案】D
【解析】解：设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率为x，由题意得：
故选：
关键描述语是：“预计今明两年的投资总额为8万元”，等量关系为：今年的投资的总额+明年的投资总额，把相关数值代入即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是找到相关量的等量关系，注意预计明年的投资总额是在今年的投资总额的基础上增加的．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下.根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象.
【解答】
解：一次函数和二次函数都经过y轴上的，
两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；
当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；
当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误；
故选
11.【答案】0或4
【解析】解：原方程可化为：，
，
解得或4，
故答案为：0或
此题用因式分解法比较简单，先移项，再提取公因式，可得，即可求解．
本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
12.【答案】3
【解析】解：由题意可得，
解得：，
故答案为：
根据二次函数的定义求解即可．
本题考查二次函数的定义，熟练掌握其概念是解题的关键．
13.【答案】1
【解析】解：由题知，
因为抛物线的函数解析式为，
所以抛物线的对称轴为直线
又因为抛物线的对称轴是直线，
所以
故答案为：
根据所给函数解析式，得出二次函数的对称轴为直线，再结合所给抛物线对称轴是直线即可求出m的值．
本题主要考查了二次函数的性质，能根据所给函数解析式得出抛物线的对称轴为直线是解题的关键．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．
赛制为单循环形式每两队之间都赛一场，x个球队比赛总场数为，即可列方程．
【解答】
解：设一共有x个球队参赛，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得：
15.【答案】
【解析】解：，n是方程的两根，
，，，，
，，
，
故答案为：
根据m，n是方程的两根，可以得到，，，，进而得到，，再代入所求式子计算即可．
本题考查根与系数的关系，解答本题的关键是明确两根之和与两根之积与系数的关系．
16.【答案】解：，
或，
解得：或；
，
或，
解得：或
【解析】本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键．
利用提公因式法因式分解可得；
利用十字相乘法因式分解可得．
17.【答案】向下，直线，；
；
将抛物线向左平移一个单位长度就可以得到抛物线
【解析】解：函数，
该函数图象的开口方向是向下，对称轴是直线，顶点坐标是，
故答案为：向下，直线，；
函数，
当时，y随x的增大而增大，
故答案为：；
将抛物线向左平移一个单位长度就可以得到抛物线
根据题目中的函数解析式可以解答本题；
根据二次函数的性质可以解答本题；
根据平移的性质可以解答本题．
本题考查二次函数的性质、图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
18.【答案】解：方程为一元二次方程，
方程的根的判别式的值为1，
，
解得：不合题意，舍去，
【解析】由二次项系数非零可得出，由根的判别式可得出关于m的方程，解之即可得出m的值．
本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，利用二次项系数非零及根的判别式为1，找出m的值是解题的关键．
19.【答案】解：二次函数的图象交x轴于、，
设该二次函数的解析式为：
将，代入，得，
解得，
抛物线的解析式为，
即
，
所以这个函数的图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
最值为4，为最大值．
【解析】根据与x轴的两个交点的坐标，设出二次函数交点式解析式，然后把点的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式；
把中的解析式配成顶点式得到，然后根据二次函数的性质求解即可．
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．
20.【答案】解：设每件童装应降价x元，则
，
解得，，
因为扩大销售量，增加盈利，减少库存，
所以x只取
答：每件童装应降价20元．
【解析】设每件童装应降价x元，原来平均每天可售出20件，每件盈利40元，后来每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，由此即可列出方程，解方程就可以求出应降价多少元．
考查了一元二次方程的应用，首先找到关键描述语，找到等量关系，然后准确的列出方程是解决问题的关键．最后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
21.【答案】解：设矩形苗圃ABCD的一边AB的长为，则，
，；
根据题意，得：，
解得：或，
答：当或时，所围矩形苗圃ABCD的面积为
【解析】一边AB的长为，则另一边，根据长方形面积公式可得函数解析式；
根据得出关于x的方程，解方程即可得．
本题主要考查二次函数的应用，根据面积公式得出函数解析式是解题的关键．
22.【答案】，；
或；
方程二次项系数化为1，
得
配方得，
，即，
开方得，
，
解得，
经检验，，都是原方程的解．
【解析】解：由题意知：方程的解为，，
故答案为，；
由题意知：或，
故答案为或；
见答案．
【分析】
解此题首先要认真审题，寻找规律，依据规律解题．解题的规律是将分式方程转化为一元二次方程，再采用配方法即可求得．而且方程的两根互为倒数，其中一根为分母，另一根为分母的倒数．
此题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是认真审题，寻找规律．
配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为1；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
23.【答案】解：由题意得：，且，
化简得：，
解得：且；
由题意知：，恰好是等腰的腰长，
，
，是关于x的一元二次方程的两实数根，
，
解得，
，
解得，
，
的周长为：；
由知：的三边长为3，3，4，
，
，
过I分别作，，，垂足分别为F，D，E，
是角平分线的交点，
，
，
解得，

【解析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，角平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握根的判别式是解题的关键．
根据，构建不等式求解即可；
由等腰三角形的性质可得一元二次方程两根相等，利用，构建方程求解m值，即可得一元二次方程，解方程可求解，，进而可求解的周长；
由海伦公式可求解的面积，过I分别作，，，垂足分别为F，D，E，利用角平分线的性质可得，结合的面积可求解ID的长，再根据三角形的面积公式计算可求解．