陕西省渭南市临渭区前进路初级中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份陕西省渭南市临渭区前进路初级中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知是关于x的一元二次方程，则( )
A. 2B. 1C. D.
2.在四边形ABCD中，，下列说法能使四边形ABCD为矩形的是( )
A. B. C. D.
3.用配方法解下列方程，配方正确的是( )
A. 可化为
B. 可化为
C. 可化为
D. 可化为
4.一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个相等的实数根D. 没有实数根
5.已知是关于x的方程的一根，则C的值是( )
A. 1B. 2C. 0D.
6.菱形ABCD中，，，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则的周长为( )
A. B. C. D. 3
7.若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为( )
A. B. C. D.
8.在矩形ABCD中，，，P是AD上的动点，于E，于F，则的值为( )
A.
B. 2
C.
D. 1
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
9.关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是______.
10.一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为______.
11.如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知，则阴影部分的面积是______.
12.若关于x的一元二次方程两根为，，且，则p的值为______.
13.如图，在中，，且，，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接MN，点O为MN的中点，则线段AO的最小值为______.
14.如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别在边DC、BC上，将、分别沿AE、AF折叠后，AB、AD重合于AG的位置，且点G恰好在EF连线上．若正方形边长为12，线段EF长为10，则CE的长为______.
15.如图所示，在中，，，，点P从A点开始沿AB边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A、B同时出发，经______秒钟，能使的面积等于面积的
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题8分
配方法解
公式法解
17.本小题8分
如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，
求证：四边形ACFD是矩形；
若，，求四边形ABCE的面积.
18.本小题8分
已知关于x的一元二次方程
求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
如果方程的两个实数根为，，且，求m的值.
19.本小题8分
如图，矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交AD、BC边于点E、F，
求证：四边形AFCE是菱形；
若，，求EF的长.
20.本小题8分
已知关于x的一元二次方程
求证：方程有两个不相等的实数根；
若方程的一个根为，求k的值，并求出此时方程的另一根．
21.本小题8分
如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，E为AD上的点，且，，
求证：四边形PMAN是正方形；
求证：
22.本小题8分
利用配方法证明：无论x取何实数值，代数式的值总是负数，并求它的最大值.
23.本小题8分
某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
①若降价6元时，则平均每天销售数量为多少件？
②当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
24.本小题8分
如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是、的平分线，且E、F分别在边BC、AD上，
求证：四边形AECF是菱形；
若，的面积等于，求平行线AB与DC间的距离.
25.本小题8分
如图，在矩形ABCD中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位，连接PQ、AQ、设点P、Q运动的时间为t秒
当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
当时，判断四边形AQCP的形状，并说明理由；
直接写出以PQ为对角线的正方形面积为96时t的值；
求整个运动当中，线段PQ扫过的面积是多少？
26.本小题8分
如图，AC是正方形ABCD的对角线，，E是AC的中点，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒1个单位的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度先沿BC方向运动到点C，再沿CD方向向终点D运动，以EP、EQ为邻边作平行四边形PEQF，设点P运动的时间为t秒
当时，试求PE的长；
当点F恰好落在线段AB上时，求BF的长；
在整个运动过程中，当▱PEQF为菱形时，求t的值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：是关于x的一元二次方程，
且，
解得
故选：
根据一元二次方程的定义得到且，由此可以求得m的值．
本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2.【答案】C
【解析】解：A、，，
四边形ABCD是平行四边形，
由，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意；
B、，，
四边形ABCD是平行四边形，
由，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项B不符合题意；
C、，
，
，
，
，，
的长为AD与BC间的距离，
，
，，
，
四边形ABCD是矩形，故选项C符合题意；
D、，
，，
，
，
，
四边形ABCD是等腰梯形，故选项D不符合题意；
故选：
由矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、可化为，故选项错误；
B、可化为，故选项错误；
C、可化为，故选项错误；
D、可化为，故选项正确．
故选：
利用完全平方公式的结构特点判断即可得到结果．
此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：，
方程没有实数根，
故选：
求出一元二次方程根的判别式；根据根的判别式即可判断根的情况．
本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意知，满足关于x的方程得，
解得
故选：
将代入已知方程，列出关于C的新方程，通过解新方程来求C的值即可．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查菱形的性质，等边三角形的判定及勾股定理的运用．
根据菱形的性质和等边三角形的判定方法，得三角形ABC是等边三角形．则，根据勾股定理求得AE的长，同理得到AF的长，根据已知可推出是等边三角形，从而得到其周长是
【解答】
解：连接AC，
四边形ABCD是菱形，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
为BC的中点，
，，
又，，
，
同理：，
，由对称性可知，
，
是等边三角形，
，
的周长为
故选：
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键．
先设出菱形两条对角线的长，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长．
【解答】
解：设菱形的两条对角线长分别为a、b，
由题意，得
菱形的边长
故选：
8.【答案】A
【解析】解：设，
，；
∽，故①；
同理可得∽，故②．
①+②得，
故选
根据∽；∽找出关系式解答．
此题比较简单，根据矩形的性质及相似三角形的性质解答即可．
9.【答案】且
【解析】解：关于x的一元二次方程有实数根，
且，
解得且，
故答案为：且
当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义列出不等式，解不等式求解即可．
本题考查了一元二次方程为常数的定义以及根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：设每次降价的百分率为x，
由经过两次降价后每盒27元，得：，
解得：，舍去；
故答案为：
设每次降价的百分率为x，根据原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，列出方程进行求解即可．
本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，如图，作于点E，作于点F，
，，，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，，
，，
，
同理：，
，
四边形ABCD是菱形，
，
故答案为：
首先过点B作于点E，于点F，由题意可得四边形ABCD是平行四边形，继而求得的长，判定四边形ABCD是菱形，则可求得答案．
此题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，解题关键在于掌握菱形判定定理和作辅助线．
12.【答案】
【解析】解：，
，
而，
，
，
故答案为：
根据一元二次方程根与系数的关系得到，，然后通分，，从而得到关于p的方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，，则，
13.【答案】
【解析】解：如图，连接OD，
在中，，且，，
由勾股定理得，
，，
，
四边形DMAN是矩形，
，，
当时，AD的值最小，
此时，
，
的最小值为，
故答案为：
由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得，根据垂线段最短可得当时，AD的值最小，再利用三角形面积求出AD，即可解答．
本题主要考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积、垂线段最短，关键是掌握矩形的对角线相等．
14.【答案】6或8
【解析】解：由图形折叠可得，，
正方形ABCD的边长为12，
，
，
，
，
，
，
在直角中，
，
，
解得，或8，
故答案为：6或
由图形折叠可得，，根据正方形的性质及线段的和差求出，在直角中，运用勾股定理求解即可．
本题主要考查了折叠问题、正方形的性质，解题的关键是找准线段的关系，利用勾股定理求解线段．
15.【答案】2或4
【解析】解：设经过x秒的面积等于8平方厘米，，，，由题意，得
，
解得：，
答：设经过2秒或4秒，的面积等于面积的
故答案是：2或
设经过x秒的面积等于8平方厘米，，，，由三角形的面积公式建立方程求出其解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，抓住关键描述语“使的面积等于面积的”，找到等量关系是解决问题的关键．
16.【答案】解：，
，
，即，
，
，
，
，，，，
，
，
，
，
，
或，
，；
，
，
，
，
或，
，
【解析】按要求的方法求解即可；
按题目要求的方法求解即可；
利用因式分解法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
此题考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
17.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，
，，
为线段CD的中点，
，
≌，
，
四边形ACFD是平行四边形，
，
四边形ACFD是矩形；
解：，，
，
四边形ACFD是矩形，
，，
，
≌，
四边形ABCE的面积=平行四边形
【解析】证明≌，得，所以四边形ACFD是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题；
根据矩形的性质和勾股定理求出DF的值，由≌，可得四边形ABCE的面积=平行四边形ABCD，进而可以解决问题．
本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
18.【答案】解：，
这里，，，
，
无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
设方程的两个实数根为，，
则，
，即，
整理，得
解得，
的值为或
【解析】先确定a、b、c，再计算根的判别式，利用根的判别式得结论；
先利用根与系数的关系求出两根的和与积，再代入已知中得关于m的方程，求解即可．
本题考查了一元二次方程，掌握根的判别式、根与系数的关系及完全平方公式的变形等知识点是解决本题的关键．
19.【答案】证明：四边形ABCD是矩形，
，
，
是对角线AC的中点，
，
又，
≌，
，
又，
四边形AFCE是平行四边形，
又，
▱AFCE是菱形；
解：四边形ABCD是矩形，
，
在中，
，，
，
四边形AFCE是菱形，
，，，
，
令，则，
在中，
，
，
解得，即，
，

【解析】根据矩形的性质，利用ASA证明≌，得到，得到四边形是平行四边形，再根据，即可得证；
勾股定理求出AC的长，设，则，在中，利用勾股定理求出x的值，再根据菱形的性质结合勾股定理进行求解即可．
本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关性质和判定是解题的关键．
20.【答案】证明：这里，，，
，
方程有两个不相等的实数根；
解：把代入方程得：4²，
解得：，
即方程为：，
设另一根为m，根据题意得：，
解得：
【解析】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
表示出方程根的判别式，判断其值大于0即可得证；
把代入方程求出k的值，确定出方程，即可求出另一根．
21.【答案】解：
证明：四边形ABCD是正方形，
，AC平分，
，，
，，
四边形PMAN是矩形，
，
四边形PMAN是正方形；
证明：四边形PMAN是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，

【解析】由四边形ABCD是正方形，易得，AC平分，又由，，即可证得四边形PMAN是正方形；
由四边形PMAN是正方形，易证得≌，即可证得：
本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质．熟练掌握正方形的各种性质是证题的关键．
22.【答案】证明：
，
，
，
即无论x取何实数值，代数式的值总是负数，
当时，有最大值
【解析】先配方得到：，根据非负数的性质得到，，即可得到结论；并且时，有最大值
题考查了配方法的应用：对于求代数式的最值问题，先通过配方，把代数式变形成一个完全平方式加上一个数的形式，利用非负数的性质确定代数式的最值．
23.【答案】解：①根据题意得：
若降价6元，则多售出件，
则平均每天销售数量为：件，
答：若降价6元时，则平均每天销售数量为32件；
②设每件商品降价x元，
根据题意得：
，
化简得，，
解得：，，
当时，，符合题意，
当时，，舍去，
答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
【解析】①根据“平均每天可售出20件，每件盈利40元，销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，若降价6元”，列出平均每天销售的数量即可，
②设每件商品降价x元，根据“平均每天可售出20件，每件盈利40元，销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，每件盈利不少于25元”列出关于x的一元二次方程，解之，根据实际情况，找出盈利不少于25元的答案即可．
本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
24.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，，
、CF分别是、的平分线，
，，
，
，
，
，
，
四边形AECF是平行四边形，
，
四边形AECF是菱形；
解：连接AC，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
的面积等于，
，
，
即，
由知四边形AECF是菱形，
，
，
是的一个外角，
，
，
，
即，
由勾股定理得，
即平行线AB与DC间的距离是
【解析】根据平行四边形对角相等得到，再根据AE、CF分别是、的平分线，可得到，再根据平行四边形对边平行得到，于是有，得出，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证得四边形AECF是平行四边形，最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得证；
连接AC，根据平行四边形的性质和角平分线的定义可证得，结合已知得到是等边三角形，从而求出，，再证得，即可得到，根据勾股定理求出AC的长，从而得出平行线AB与DC间的距离．
本题考查了菱形的判定与性质，掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形是此题的关键，理解平行线间的距离的定义，等边三角形的性质与判定．
25.【答案】解：在矩形ABCD中，，，
，，
由题意可得，，，
在矩形ABCD中，，，
当时，四边形ABQP为矩形，
，
解得：，
当时，四边形ABQP为矩形；
四边形AQCP为菱形；理由如下：
，
，，
，，
，，
四边形AQCP为平行四边形，
在中，，
，
平行四边形AQCP为菱形，
当时，四边形AQCP为菱形；
以PQ为对角线的正方形面积为96时t的值为：或；
连接AC、BD，AC、BC相交于点E，
则整个运动当中，线段PQ扫过的面积是：的面积的面积，如图3所示：
的面积的面积矩形ABCD的面积，
整个运动当中，线段PQ扫过的面积矩形ABCD的面积
【解析】【分析】本题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定、勾股定理、平行四边形的判定、三角形面积公式以及分类讨论等知识；熟练掌握正方形的判定与性质和勾股定理是解题关键．
由矩形性质得出，，由已知可得，，，当时，四边形ABQP为矩形，得出方程，解方程即可；
时，，，得出，，，，四边形AQCP为平行四边形，在中，由勾股定理求出，得出，即可得出结论；
分两种情况：求出正方形的边长为，则对角线PQ为，由勾股定理求出QM的长，由题意得出方程，解方程即可；
连接AC、BD，AC、BC相交于点E，线段PQ扫过的面积的面积的面积，即可得出结果．
【解答】见答案；
见答案；
正方形面积为96，
正方形的边长为：，
；
分两种情况：
①如图1所示：作于M，
则，，，
由勾股定理得：，
，
，
解得：；
②如图2所示：
，，
，
，
解得：；
综上所述，以PQ为对角线的正方形面积为96时t的值为：或；
见答案.
26.【答案】解：作于M，如图1所示：
则，
四边形ABCD是正方形，E是对角线AC的中点，
，，
，
，
是对角线AC的中点，
是的中位线，
，，
当时，，
，
；
四边形PEQF是平行四边形，
，，
当点F恰好落在线段AB上时，，
，
为BC的中点，
是的中位线，，
，
，
动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度先沿BC方向运动到点C，
，
，
；
当▱PEQF为菱形时，，分四种情况：
①当时，作于M，于N，如图2所示：
，，
，
解得：舍去，或舍去；
②当时，
同①得：，
解得：舍去，或，
；
③当时，作于M，于N，如图3所示：
，，
，
解得：，或舍去，
；
④当时，
同③得：，
解得：舍去，或舍去；
综上所述：在整个运动过程中，当▱PEQF为菱形时，t的值为或
【解析】作于M，由正方形的性质和已知条件得出，证出，得出EM是的中位线，由三角形中位线定理得出，当时，，求出，再由勾股定理求出PE即可；
由平行四边形的性质得出，，当点F恰好落在线段AB上时，得出，Q为BC的中点，得出EQ是的中位线，由三角形中位线定理得出，求出，，即可求出BF的长；
由菱形的性质得出，分四种情况：①当时，作于M，于N；②当时；③当时，作于M，于N；④当时；分别由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、勾股定理、平行四边形的性质、三角形中位线定理、菱形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是中，需要通过作辅助线进行分类讨论，运用勾股定理得出方程才能得出结果．