上海市上南中学南校2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

这是一份上海市上南中学南校2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（10月份），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如果两个相似三角形的周长之比为1：4，那么它们对应边之比为( )
A. 1：2B. 1：4C. 1：8D. 1：16
2.已知中，D、E分别是边AB、AC上的点，下列各式中，能判断的是( )
A. B. C. D.
3.在下列命题中，真命题的个数有( )
①所有的等边三角形都相似；
②所有的直角三角形都相似；
③所有的菱形都相似；
④有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似；
⑤两个全等三角形一定相似；
⑥有一个锐角相等的两个等腰三角形一定相似.
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
4.如图，已知，求作x，则下列作图正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，在中，点D、E分别在边AC、AB上，BD平分，，与一定相似的三角形为( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，中，，，被划分成三部分，则它们的面积比：：( )
A. 1：1：1B. 1：2：3C. 1：4：9D. 1：3：5
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
7.如果，那么的值是__________.
8.已知线段厘米，厘米，则线段a和c的比例中项b是______厘米．
9.在1：500000的地图上，量得A、B两地之间的距离为8cm，则A、B两地实际距离是______
10.设点P是线段AB的黄金分割点，厘米，那么较长线段AP的长是______厘米．
11.已知与单位向量的方向相反，且长度为2，那么用表示______.
12.如图，竖立在点B处的标杆AB长米，某测量工作人员站在D点处，此时人眼睛C与标杆顶端A、树顶端E在同一直线上点D、B、F也在同一直线上，已知此人眼睛与地面的距离CD长米，且米，米，求所测量树的高度为______米.
13.在和中，，，，，那么的度数是______.
14.如图，如果，，，，，那么______.
15.如图，中，CD是斜边AB上的高，CD是6，AD：：3，则AB上的中线长是______.
16.如图，四边形DEFG是的内接矩形，AH是的高，DE：：2，，，则矩形DEFG的周长是______
17.如图，中，，如果F是的重心，那么：______.
18.如图，在中，，，D为AB中点，E在线段AC上，，则__________.
三、计算题：本大题共2小题，共18分。
19.已知：，且，求a、b、c的值．
20.如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点
求证：；
若菱形边长为8，，，求FB的长．
四、解答题：本题共5小题，共38分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题8分
如图，点D，E分别在线段AB和AC上，BE与CD相交于点O，，，求证：∽
22.本小题5分
如图，已知平行四边形ABCD中，点M、N分别在边DC、BC上，对角线BD分别交AM、AN于点E、F，且DE：EF：：2：
求证：；
设，，用关于、的线性组合表示
23.本小题5分
如图，已知，AD与BC相交于点
如果，，，求FD的长；
如果BO：OE：：4：2，，求CD的长.
24.本小题6分
已知，如图，点D为内一点，E、F、G点分别为线段AB、AC、AD上一点，且，
求证：；
当时，求的值.
25.本小题14分
如图，在矩形ABCD中，，，对角线AC、BD交于点O，点E在AB延长线上，联结CE，，AF分别交线段CE、边BC、对角线BD于点F、G、点F不与点C、E重合
当点F是线段CE的中点，求GF的长；
设，，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
当是等腰三角形时，求BE的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：两个相似三角形的周长比为1：4，
它们的对应边的比：
故选：
直接根据相似三角形的性质进行解答即可．
本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形对应边的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
2.【答案】D
【解析】解：由题意知，不能判断，选项错误，故A不符合要求；
不能判断，选项错误，故B不符合要求；
不能判断，选项错误，故C不符合要求；
由可得，，选项正确，故D符合要求，
故选：
根据平行线分线段成比例判断作答即可．
本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：①所有的等边三角形都相似，说法正确，为真命题；
②所有的直角三角形都相似，说法错误，为假命题；
③所有的菱形都相似，说法错误，为假命题；
④有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似，说法正确，为真命题；
⑤两个全等三角形一定相似，说法正确，为真命题；
⑥有一个锐角相等的两个等腰三角形一定相似，说法错误，为假命题．
真命题的个数为3，
故选：
根据相似多边形和相似三角形的判定方法分别判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，掌握相似多边形和相似三角形的判定是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：，
，
，
如图，需要在射线AM上依次截取，，在射线AN上截取，
连接BD，过C作，交AN于E，则
，即，
，
又，
，即DE即为所求．
故选：
先在射线AM上依次截取，，在射线AN上截取，连接BD，过C作，交AN于E，则，即，再根据，即可得出结论．
本题主要考查了复杂作图和平行线分线段成比例定理的运用，解题时注意：平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定解决问题是本题的关键．由题意可得，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和，可求，即可证∽
【解答】
解：平分，
，
又
，且
∽
故选：
6.【答案】D
【解析】解：，
∽∽，
：：：AE：，
，
：AE：：2：3，
：：：4：9，
：：：3：5；
故选：
由，知∽∽，而，故：：：4：9，即得：：：3：
本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方．
7.【答案】
【解析】解：，
故答案为：
先把化成，再把代入计算即可．
此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键，较简单．
8.【答案】4
【解析】解：线段b是a、c的比例中项，
，
解得，
又线段是正数，
故答案为
根据线段比例中项的概念，可得a：：c，可得，故b的值可求．
本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方．求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．
9.【答案】40
【解析】解：
，
，
、B两地实际距离是
故答案为：
比例尺=图上距离与实际距离的比，因此即可计算．
本题考查比例尺，关键是掌握比例尺的定义．
10.【答案】
【解析】解：设，根据题意列方程得，
，
即，
解得，，负值舍去
故答案为
根据黄金分割的定义解答．
本题考查了黄金分割的定义，关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．
11.【答案】
【解析】解：的长度为2，向量是单位向量，
，
与单位向量的方向相反，
故答案为：
根据向量的表示方法可直接进行解答．
本题考查的是平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向．
12.【答案】
【解析】解：过点C作，交AB于点G，交EF于点H，如图：
，，
，
，，，，
米，米，米
米，
，
∽，
，即，
解得米，米
故答案为：
过点C作，交AB于点G，交EF于点H，由题意可得，∽，求得EH的长度，即可求解．
此题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据题意，作辅助线，构造出相似三角形．
13.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
∽，
与是对应角，
故
故答案为：
根据可以确定对应角，根据对应角相等的性质即可求得的大小，即可解题．
本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，本题中求和是对应角是解题的关键．
14.【答案】12
【解析】【分析】
本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意得出∽，再由相似三角形对应边的比相等求解是解答此题的关键．
先根据可得出，即，再由即可得出∽，故可得出，即可得出AB的长．
【解答】
解：，
，即，
，
∽，
，
，，，
，解得
故答案为：
15.【答案】
【解析】解：在中，，于D，
，，
，
，
∽，
，
，
又：：2，
设，则，
得，
解得负值已舍，
，
又直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
，
故答案为：
现根据三角形相似，对应边成比例，列出AD、BD、CD的关系，根据关系式求出AB的长度，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出中线的长．
此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线，熟练运用相似三角形的判定与性质是解题的关键．
16.【答案】72
【解析】解：设，则，
四边形DEFG是的内接矩形，
，
∽，
由相似三角形对应边上的高的比等于相似比可得：，
解得：，
，，
，
矩形DEFG的周长是72cm；
故答案为：
设，则，由相似三角形对应边上的高的比等于相似比可得：，解出x的值即可得到答案．
本题考查相似三角形的判定与性质，涉及矩形的性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边上的高的比等于相似比．
17.【答案】
【解析】解：是的重心，
，BE是的中点，
，，
，
∽，
，
，
是的重心，
，
，
，
，
，
：
故答案为：
根据三角形重心的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
18.【答案】或
【解析】【分析】
本题主要考查了平行线分线段成比例．
利用平行线分线段成比例及等边三角形的判定及性质，分两种情况解答即可．
【解答】
解：为AB中点，
当时，
当DE与BC不平行时，
，
在中，，，
，，
是等边三角形，
，，
，
.
故答案是：或
19.【答案】解：设，则，，
，，
【解析】根据题意，设，，又因为，则可得k的值，从而求得a、b、c的值．
本题考查了比例的性质．已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．
20.【答案】证明：
法1：四边形ABCD是菱形，，，，
又是公共边，≌，
，，
由得，，
，又
∽，
法2：四边形ABCD是菱形
，分
，分
解：，，，
，，
，
又，

【解析】可由相似三角形∽对应边成比例进行求解，也可由平行线分线段成比例定理进行求解，两者均可；
由题中已知线段的长度，结合中的结论，再由平行线分线段成比例，即可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及菱形的性质和相似三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握．
21.【答案】证明：，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
∽
【解析】根据相似三角形的判定得出与相似，利用相似三角形的性质得出，再利用平行线的性质和相似三角形的判定解答即可．
此题考查相似三角形的判定，关键是根据相似三角形的判定得出与相似．
22.【答案】证明：四边形ABCD为平行四边形，
，，，，
：EF：：2：1，
：：3，BF：：3，
：：3，BN：：3，
：：BC，
解：，，
，
，
，

【解析】根据已知条件以及平行四边形的性质推出DM：：BC，即可得出结论．
根据三角形法则得出，结合的结论得出，则，进而可得答案．
本题考查平面向量、平行四边形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23.【答案】解：，
，则，
又，
，则，
，即，
；
，
：：
又BO：：4，，
，
∽，
，
又：：2，
，
，

【解析】根据平行线分线段成比例、比例的基本性质求得；
根据平行线分线段成比例知BO：：EF，结合已知条件求得；同理由推知EF与CD间的数量关系，从而求得
本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24.【答案】解：，
，
，
，
，
；
，
，
，
，
，即，
同理可得，，
∽，
，
，

【解析】先根据相似比的性质得出，，故可得出，由此即可得出结论；
先根据得出，再由得出，故可得出，同理可得，，故可得出∽根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出结论．
本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形对应边的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
25.【答案】解：，，
，
，
，
点F是线段CE的中点，
，
在和中，
≌，
，
，
，，
，，
∽，
，
即，
，
，
，，
∽，
，
又，
，
，
；
如图，
作，，垂足分别为M、N，
，
，
∽，∽，∽，
，，，
，
又∽，
，，
，
，
则
当是等腰三角形，
①当时，∽，，则，，由，解得；
②当，∽，同理解得；
③当，得出不存在．
所以或
【解析】首先利用勾股定理得出AC的长，证得≌，得出，进一步得出∽，∽，利用三角形相似的性质得出CF、CG的长，利用勾股定理求得而答案即可；
作，，垂足分别为M、N，利用∽，∽，∽，建立BE、OH之间的联系，进一步整理得出y关于x的函数解析式，根据，得出x的定义域即可；
分三种情况探讨：①当时，②当，③当，分别探讨得出答案即可．
此题综合考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，知识设计的面广，需要多方位思考解决问题，渗透分类讨论的思想．