河北省衡水市第七中学2024-2025学年八年级上学期月考数学试卷（10月份）

这是一份河北省衡水市第七中学2024-2025学年八年级上学期月考数学试卷（10月份），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.分式化简得，则x应满足的条件是( )
A. B. C. 且D.
2.已知，则的值是( )
A. B. C. D.
3.口袋中有若干个形状大小完全相同的白球，为估计袋中白球的个数，现往口袋中放入10个形状大小与白球相同的红球．混匀后从口袋中随机摸出50个球，发现其中有6个红球．设袋中有白球x个，则可用于估计袋中白球个数的方程是( )
A. B. C. D.
4.计算的结果是( )
A. B. C. D.
5.下列各式计算正确的是( )
A. B.
C. D.
6.甲、乙两个工程队进行污水管道整修，已知乙比甲每天多修3km，甲整修6km的工作时间与乙整修8km的工作时间相等，求甲、乙两个工程队每天分别整修污水管道多少km？设甲每天整修xkm，则可列方程为( )
A. B. C. D.
7.利用尺规作，根据下列条件作出的不唯一的是( )
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
8.下列等式中，正确的有( )
①；
②；
③；
④；
⑤
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
9.已知下列命题：
①若，则；
②若，则；
③三角形是由三条线段组成的图形；
④全等三角形的对应边相等.
其中原命题与逆命题均为真命题的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
10.下列条件能判定≌的是( )
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
11.能作为证明依据的是( )
A. 已知条件B. 定义及基本事实C. 定理及推论D. 以上三项都对
12.《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为米，宽为米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若，，则______.
14.如图所示，点A、B、C、D均在正方形网格格点上，则______.
15.已知≌，的三边长分别为4、m、n，的三边长分别为5、p、若的三边长均为整数，则的最大值为 ____________.
16.整体思想就是通过研究问题的整体形式从面对问题进行整体处理的解题方法．
如，此题设“，”，得方程，解得，
利用整体思想解决问题：采采家准备装修一厨房，若甲，乙两个装修公司，合做需6周完成，甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，设甲公司单独完成需x周，乙公司单独完成需y周，则得到方程______，利用整体思想，解得______.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题12分
计算：
；
；
；
18.本小题8分
解方程：
；
19.本小题10分
已知，都是正数
计算：；
若，说明的理由；
设，且M为正整数，试用等式表示a，b之间的关系．
20.本小题6分
某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器.若购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的倍，甲种滑动变阻器单价比乙种单价贵5元.
求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元.
该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5200元，那么该校最多可以购买多少个甲种滑动变阻器？
21.本小题6分
如图，已知AM是的中线，交AM的延长线于点E，于点
求证：
22.本小题9分
近年来，新能源汽车特别是纯电动汽车受到越来越多消费者的关注，下面是价格相同的燃油车与纯电动汽车的部分相关信息对比：
用含m的代数式表示纯电动汽车的每千米行驶费用；
若纯电动汽车每千米行驶费用比燃油车少元，
①分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和纯电动汽车每年的其它费用分别为3600元和6800元.小明家要购置新车，他们家每年行驶里程大于6000千米，则他们购买哪一款汽车的年费用更低？年费用=年行驶费用+年其它费用
23.本小题9分
某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，请补充完整证明“≌”的推理过程.
求证：≌
证明：延长AD到点E，使
在和中
≌______
由的结论，根据AD与AE之间的关系，探究得出AD的取值范围是______；
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.
【问题解决】
如图2，中，，，AD是的中线，，，且，求AE的长.
24.本小题12分
阅读理解材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个过程中，先计算分子中包含几个分母，求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数.
例如：
类似的，我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和.
例如：，
材料2：为了研究字母x和分式得变化关系，小明制作了如下表格：
从表格可以看出，当x的取值大于0时，随着x的增大，的取值减小，当x的取值小于0时，随着x的减小，的取值增大.
请根据上述材料完成下列问题：
把下列分式写成一个整数与一个新分式的和的形式；______，______.
随着x值的变化，分式的值是如何变化的？
当x大于2时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，这个数是______.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：当，即和时，，
故选：
根据分式有意义的条件、分式的约分法则解答即可．
本题考查的是分式的约分、分式有意义的条件，掌握分式的分母不为零是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：由得，，
故选：
由得，，代入所求的式子化简即可．
解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质．利用分式的性质变形时必须注意所乘的或所除的整式不为零．
3.【答案】D
【解析】解：设袋中有白球x个，由题意得，
故选：
混匀后从口袋中随机摸出50个球，发现其中有6个红球，即红球所占的比例是，则放入的10个球占总球数的，列方程即可求解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及利用样本估计总体，正确理解题目中的相等关系是关键．
4.【答案】B
【解析】解：原式
故选：
利用分式的性质进行约分、乘除运算即可．
本题考查了分式的乘除运算，做题关键要掌握分式的性质，能正确的进行约分化简．
5.【答案】D
【解析】解：A、原式不能合并，错误；
B、，本选项错误；
C、，本选项错误；
D、，本选项正确，
故选：
A、原式不能约分，本选项错误；
B、原式两项通分并利用同分母分式的加法法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式分子分母分别平方得到结果，即可做出判断；
D、原式分母提取变形得到结果，即可做出判断．
此题考查了分式的混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
6.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程有关知识，关键描述语为：“甲整修6km的工作时间与乙整修8km的工作时间相等”；
等量关系为：甲整修6km的工作时间=乙整修8km的工作时间，根据等量关系写出分式方程.
【解答】
解：设甲每天整修xkm，则乙每天修整，则可列方程为：
故选
7.【答案】C
【解析】解：A、根据SAS可以唯一确定三角形，本选项不符合题意．
B、根据ASA可以唯一确定三角形，本选项不符合题意．
C、根据SSA不可以唯一确定三角形，本选项符合题意．
D、根据SSS可以唯一确定三角形，本选项不符合题意．
故选：
根据SSS，ASA，AAS，SAS可以唯一确定三角形判断即可．
本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8.【答案】A
【解析】解：①，
①不正确；
②，
②正确；
③当时，；
当时，，
或，
③不正确；
④当，，
④不正确；
⑤，
⑤不正确，
故正确的是②，只有1个，
故选：
把①中的等式右边的分式进行化简，然后判断即可；
②把等式左边的分式的分子分解因式，然后约分，进行判断即可；
③根据绝对值的性质进行化简，然后约分，进行判断即可；
④根据分式的基本性质进行判断即可；
⑤先把等式左边的式子通分，然后进行判断即可．
本题主要考查了绝对值和分式的通分和约分，解题关键是熟练掌握绝对值的性质和分式的通分与约分．
9.【答案】A
【解析】解：①若，则，原命题是真命题；
逆命题为：若，则，是假命题，如：，但；
②若，则，原命题是真命题；
逆命题：若，则，是假命题，如；
③三角形是由三条线段组成的图形，原命题是真命题；
逆命题：由三条线段组成的图形是三角形，是假命题；
④全等三角形的对应边相等，原命题是真命题；
逆命题：三边对应相等的三角形全等，是真命题．
其中原命题与逆命题均为真命题的有1个，
故选：
先判断原命题为真命题还是假命题，再将原命题的题设和结论调换位置，得到逆命题，然后判断其真假即可．
本题考查的是命题与定理、原命题和逆命题等知识，正确写出逆命题，并能判断真假是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：A、，，符合ASA，不能判定两三角形全等，故选项错误；
B、，，，不能判定两三角形全等，故选项错误；
C、，，，不能判定两三角形全等，故选项错误；
D、，，，利用ASA能判定两三角形全等，故选项正确．
故选：
判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，结合选项逐一检验．
此题主要考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
11.【答案】D
【解析】解：在证明过程中，定义及基本事实、定理及推论、已知条件都可以作为证明依据．
故选：
结合做证明题目的经验，逻辑推理的依据往往在“因为”后面出现，那么什么可以作为逻辑推理的依据呢？经过推理论证的真命题称为定理；复习课本知识和做题经验可知，定义、基本事实、定理、已知条件都可以作为逻辑推理的依据，据此即可得到答案．
本题考查了命题与定理的知识，解答本题的关键是掌握证明中采用的逻辑推理的依据．
12.【答案】D
【解析】解：由题意可得，
，
故选：
根据题意可知，装裱后的长为米，宽为米，再根据整幅图画宽与长的比是8：13，即可得到相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
13.【答案】
【解析】解：，，
，
即
故答案为：
原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用完全平方公式变形，把已知等式代入计算即可求出值．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：如图所示，
在和中，
，
≌，
，
故答案为：
首先证明出≌，得到，进而求解即可．
此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等全等三角形的判定定理：SSS，SAS，AAS，ASA，
15.【答案】25
【解析】解：≌，
、n中有一边为5，
p、q中有一边为4，
m、n与p、q中剩余两边相等，
，
两三角形剩余两边最大为8，
的最大值为：
故答案为：25
根据全等三角形对应边相等可得m、n中有一边为5，p、q有一边为4，剩下的两边相等，再根据三角形的任意两边之和大于第三边求出最长的边，然后相加即可．
本题考查了全等三角形对应边相等的性质，熟记性质是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：设甲公司单独完成需x周，乙公司单独完成需y周，
依题意得：，
设，，原方程化为：，
解得：，
，
故答案为：，
设甲公司单独完成需x周，乙公司单独完成需y周，依题意得分式方程组，换元后得关于a和b的二元一次方程组，解得a和b，再根据倒数关系可得x和y的值，从而问题得解．
本题考查了换元法解分式方程组在工程问题中的应用，要注意整体思想在该类型习题中的应用，本题难度中等，属于中档题．
17.【答案】解：
；
；
；

【解析】根据有理数的乘方、零指数幂，负整数指数幂的运算法则正确计算，即可解题；
利用平方差公式和完全平方公式去括号，再合并同类项即可；
根据分式的乘除混合运算法则计算即可；
根据分式的四则混合运算法则和运算顺序计算即可．
本题考查有理数的乘方、零指数幂，负整数指数幂，平方差公式，完全平方公式，整式的混合运算，分式的乘除混合运算，分式的四则混合运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则．
18.【答案】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
检验，当时，，
是原方程的增根，
原方程无解；
，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
检验，当时，，
原方程的解为
【解析】先把原方程去分母化为整式方程，再解方程，然后检验即可得到答案；
先把原方程去分母化为整式方程，再解方程，然后检验即可得到答案．
本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是关键．
19.【答案】解：
，
，
，
，
，
，
是正整数，a，b都是正数，
或
或，
或
【解析】本题考查分式的混合运算，掌握分式加减法则是解题的关键．
根据分式减法计算即可．
根据得到a，b的关系式．
根据M与x，y的关系求解．
20.【答案】解：设乙种滑动变阻器的单价是x元，
根据题意得：
解得：
经检验，是所列方程的根，且符合题意．
元，
答：甲种滑动变阻器的单价是55元，乙种滑动变阻器的单价是50元；
设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个．
根据题意得：
解得：
答：该校最多可以购买40个甲种滑动变阻器．
【解析】设乙种滑动变阻器的单价是x元，则甲种滑动变阻器的单价是元，乙种书的单价是y元，根据“购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的倍”，可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论；
设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个，利用总价=单价数量，结合总费用不超过5200元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的以及一元一次不等式的应用，正确根据题意列出方程和不等式是解题关键．
21.【答案】证明：是的中线，
，
，，
，
在和中，
，
≌，

【解析】利用AAS证明≌，即可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法有AAS，SAS，ASA，SSS，只适合直角三角形熟记判定方法是解题的关键．
22.【答案】
【解析】解：新能源车的每千米行驶费用为：元；
故答案为：
①，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
元，元，
答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；
②设每年行驶里程为x km，
，
解得，
，
当每年行驶里程大于6000km时，买新能源汽车费用更低．
根据表中的信息，可以表示新能源车的每千米行驶费用；
①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
②根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
本题考查列代数式的问题，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式．
23.【答案】
【解析】证明：延长AD到点E，使，
在和中，
，
≌；
解：由得：≌，且，，
，
在中，，
；
解：延长AD交EC的延长线于F，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
又且，
≌，
，
，
即：AE的长是
延长AD到点E，使，由“SAS”可证≌；
由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解；
延长AD交EC的延长线于F，由“ASA”可证≌，则，，证明≌，得，根据，即可得AE的长．
本题是三角形的综合题和倍长中线问题，主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24.【答案】 2
【解析】解：，
，
故答案为：，；
根据表格可知，当或时，随着x的增大，的值逐渐减小，随着x的减小，的值逐渐增大，
，
当或时，随着x的增大，的值逐渐减小；随着x的减小，的值逐渐增大；
，
当x大于2时，随着x的增大，逐渐增大，逐渐减小，趋近与0，
分式的值无限趋近于一个数，这个数是2，
故答案为：
根据题中给出的例子即可写出答案；
将分式转换成形式，利用的变化情况解答即可；
将分式转换成形式，利用随着x的增大，逐渐增大，逐渐减小，趋近与0，进而得出结论．
本题主要考查了分式的加减法，分式的变化，分式的值，解一元一次不等式，理解题干值的定义并熟练应用是解题的关键．燃油车
油箱容积：40升
油价：元/升
续航里程：m千米
每千米行驶费用：元
纯电动汽车
电池容量：80千瓦时
电价：元/千瓦时
续航里程：m千米
每千米行驶费用：______元
x
…
0
1
2
3
4
…
…
无意义
2
1
…