北京市西城区2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷(解析版)
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这是一份北京市西城区2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷(解析版),共15页。
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】由题设,对应点为在第四象限.
故选:D.
2. 下列函数中,最小正周期为且是偶函数的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A,的最小正周期为:,故A不正确;
对于B,的最小正周期为:,
的定义域为,关于原点对称,令,
则,所以为奇函数,故B不正确;
对于C,的最小正周期为:,
令的定义域为关于原点对称,
则,所以为偶函数,故C正确;
对于D,的最小正周期为:,
的定义域为,关于原点对称,令,
则,所以为奇函数,故D不正确.
故选:C.
3. 在中,,,,则( )
A. B. 1C. D.
【答案】B
【解析】由余弦定理得,即,得.
故选:B.
4. 某城市一年中12个月的月平均气温(单位)与月份的关系可近似地用三角函数来表示,已知月平均气温最高值为28,最低值为18,则( )
A. 5B. 10C. 15D. 20
【答案】A
【解析】依题意可得,解得.
故选:A.
5. 复数,且为纯虚数,则可能的取值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为,
所以,
因为为纯虚数,所以,所以,,
所以,.
故选:B.
6. 已知直线,直线和平面,则下列四个命题中正确的是( )
A. 若,,则B. 若,,则
C. 若,,则D. 若,,则
【答案】C
【解析】对于A,若,,则或与异面,故A错误;
对于B,若,,则或与异面或与相交,故B错误;
对于C,若,过作平面,使得,则,
因为,,则,又,则,故C正确;
对于D,若,,则或或与相交,故D错误.
故选:C.
7. 在平面直角坐标系中,O为坐标原点,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为O为坐标原点,,,
所以,,
,
所以.
故选:D.
8. 已知等边的边长为4,P为边上的动点,且满足,则点P轨迹的长度是( )
A. 7B. 9C. 10D. 11
【答案】B
【解析】当点在边上时,,得,
此时点P轨迹长度为;
当点在边上时,,得,
此时点P轨迹是线段,其长度为;
当点在边上时,
,得,
此时点P轨迹的长度为,
所以点P轨迹的长度是.
故选:B.
9. 已知函数,则“在上既不是增函数也不是减函数”是“”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为且,则,
若在上既不是增函数也不是减函数,
则,解得,
又因为,
所以“在上既不是增函数也不是减函数”是“”的必要不充分条件.
故选:B.
10. 已知点,点,点都在单位圆上,且,则的取值范围是( )
A. B. C D.
【答案】A
【解析】设的中点为,因为,,所以,
,
,
因为,所以.
故选:A.
二、填空题. 共5小题,每小题5分,共25分.
11. 已知复数z在复平面内所对应的点的坐标为,则为______.
【答案】1
【解析】由已知得该复数,
则.
故答案为:1.
12. 设向量,,若,则______.
【答案】
【解析】因为,,且,所以,得.
故答案为:.
13. 已知圆柱的底面半径为3,体积为的球与该圆柱的上、下底面相切,则球的半径为______,圆柱的体积为______.
【答案】2
【解析】设球的半径为,则,得,则圆柱的高为,
所以圆柱的体积为.
故答案为: .
14. 写出一个同时满足下列两个条件的函数______.
①,;②,恒成立.
【答案】(答案不唯一)
【解析】由,可知,函数的周期为,
由,恒成立可知,函数在上取到最大值,
则满足题意,
一方面根据余弦函数的周期公式,,满足,,
另一方面,,满足,恒成立.
故答案为:(答案不唯一).
15. 如图,在棱长为4的正方体中,点P是线段AC上的动点(包含端点),点E在线段上,且,给出下列四个结论:
①存在点P,使得平面平面;
②存在点P,使得是等腰直角三角形;
③若,则点P轨迹的长度为;
④当时,则平面截正方体所得截面图形的面积为18.
其中所有正确结论的序号是______.
【答案】①③④
【解析】对于①,当点和点重合时,平面平面,
连接交于点,连接交于点,连接,,,,
∵∥,且∥,∴四边形平行四边形,∴∥,
∵平面,平面,∴∥,
∵∥, 平面,平面,∴∥,
又∵,,平面,∴平面,
故①正确;
对于②,分别以所在的直线为轴,轴,轴,
由几何关系可知,要使是等腰直角三角形,则,
由已知得,,设点,
则,,
∵,∴,此方程无解,则不存在点P,
使得是等腰直角三角形,故②不正确;
对于③,因,则,,,
即,则P轨迹是在上的线段,不包括端点、,如下图所示,
由已知得△为等腰三角形,则△底边上的高,随着P向点运动,
逐渐减小,
故在线段上存在一点P使得,
同理可知靠近点处也存在一点P使得,
设线段,由勾股定理可知,所以点P轨迹的长度为,故③正确;
对于④,连接,过点作的平行线交于点,连接,
则为平面截正方体所得的截面图形,
由已知得,由△∽△可知,
又因为,且∥,所以四边形为等腰梯形,
其中梯形的高,所以截面面积为,故④正确.
故答案为:①③④.
三、解答题. 共6小题,共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 已知,.
(1)求的值;
(2)求的值.
解:(1)因为,,所以,,
又因为,所以,所以.
(2)因为,,
所以.
17. 如图,在正方体中,E,F分别是棱,的中点.
(1)证明:平面;
(2)证明:平面.
解:(1),所以平面,
因为平面,所以,
因为为正方形,所以,
又因为,平面,
所以平面.
(2)设,连接OE,
因为为正方体,所以,且,
所以,且,
因为E,F分别,的中点,所以,且,
所以,且,
所以四边形为平行四边形.所以,
又因为平面,平面,
所以平面.
18. 已知在中,.
(1)求A的大小;
(2)若,在下列三个条件中选择一个作为已知,使存在且唯一,求的周长.
①的面积为;②;③AB边上的高线CD长为.
解:(1)由正弦定理,得,
所以,
因为,所以,所以,
因为,,所以,即,
又因为,所以.
(2)选择①,
因为,即,
即,所以,
又因为,即,
所以,所以的周长为.
若选择②,
因为,且,
所以不唯一,所以②不合题意.
选择③,
因为AB边上的高线CD长为,即,所以,
又因为,即,
所以,所以的周长为.
19. 已知函数.
(1)求的值;
(2)求函数的单调递增区间;
(3)若函数在区间上有且只有两个零点,求m的取值范围.
解:(1).
(2)
,
由,,
得,,
所以的单调递增区间是.
(3)因为,所以,
依题意,解得,
所以m的取值范围为.
20. 如图,在四棱锥中,平面平面,,四边形为正方形,为的中点,为上一点,为上一点,且平面平面.
(1)求证:;
(2)求证:为线段中点,并直接写出到平面的距离;
(3)在棱上是否存在点,使得平面平面?若存在,求;若不存在,说明理由.
解:(1)因为四边形为正方形,所以,
因为平面平面,平面平面,平面,
所以平面,
又平面,所以.
(2)因为平面平面SCD,平面平面,
平面平面,所以,
又因为E为AD的中点,所以M为线段BC中点,
由(1)知,平面,又平面,
所以平面平面,所以点到平面的距离等于点到的距离,
因为,所以为正三角形,又为的中点,
所以点到的距离为,因为平面平面SCD,
所以点M到平面SCD的距离为.
(3)存在,当N为SC中点时,平面平面,证明如下:
连接EC,DM交于点O,连接SE,
因为,并且,所以四边形EMCD为平行四边形,所以,
又因为N为SC中点,所以,
因为平面平面ABCD,平面平面,
又平面SAD,由已知,
所以平面ABCD,所以平面ABCD,
又因为平面DMN,所以平面平面ABCD,
所以存在点N,使得平面平面ABCD,.
21. 对于定义在上的函数和正实数若对任意,有,则为阶梯函数.
(1)分别判断下列函数是否为阶梯函数(直接写出结论):
①;②.
(2)若为阶梯函数,求的所有可能取值;
(3)已知为阶梯函数,满足:在上单调递减,且对任意,有.若函数有无穷多个零点,记其中正的零点从小到大依次为直接给出一个符合题意的a的值,并证明:存在,使得在上有4046个零点,且.
解:(1),则;,
则,
故①否;②是.
(2)因为为阶梯函数,所以对任意有:
,
所以,对任意,,
因为是最小正周期为的周期函数,
又因为,所以,.
(3).
函数,
则有:,
,
取,
则有:,,
由于在上单调递减,因此在上单调递减,
结合,
则有:在上有唯一零点,在上有唯一零点,
又由于,则对任意,
有:,,
因此,对任意,在上有且仅有两个零点:,,
综上所述,存在,使得在上有4046个零点:
,,,,…,,,
其中,.
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