江西省九江市2024届高三第三次高考模拟统一考试数学试卷（解析版）

这是一份江西省九江市2024届高三第三次高考模拟统一考试数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了5D， 若，则等内容，欢迎下载使用。
一､选择题
1. 为深入学习党的二十大精神，某校开展“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛，其中高三年级选派8名同学参赛，这8名同学的成绩（总分10分）依次如下：，则这组数据的分位数为（ ）
A. 8B. 9C. 9.5D. 10
【答案】C
【解析】8名同学成绩数据由小到大重新排列为：
是整数，
分位数是第6位数和第7位数的平均数，即.
故选：C.
2. 在中，角所对的边分别为，已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，
由正弦定理，
因为，
展开化简，
又.
故选:B.
3. 已知等差数列的公差为，是与的等比中项，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为是与的等比中项，
所以.
又因为数列为等差数列，公差为，
所以，化简得，即，
所以.故选：A.
4.考古发现在金字塔内有一组神秘的数字“142857”,我们把它和自然数1到6依次相乘,得,，结果是同样的数字，只是调换了位置.若将这组神秘数字“142857”进行重新排序，其中偶数均相邻的排法种数为（ ）
A. 24B. 36C. 72D. 144
【答案】D
【解析】第一步：将三个偶数看成一个整体，与三个奇数进行全排列共种排法；
第二步：将三个偶数进行全排列共；
根据分步乘法计数原理可得： 将这组神秘数字“142857”进行重新排序，其中偶数均相邻的排法种数为.故选：D.
5. 已知圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则该圆锥的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设圆锥底面圆半径为，母线为，高为.
由题意得，解得，，
该圆锥的体积是.
故选：A.
6. 已知椭圆的左右焦点分别为,过且倾斜角为的直线交于第一象限内一点.若线段的中点在轴上,的面积为,则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如图,为线段的中点,为线段的中点,,又轴, 轴.
在中, ,设,则的面积为,
,
,则C的方程为.
故选：D.
7. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令，则，
所以由，
得，
即，
即，得，
所以，
故选：C.
8. 在平面直角坐标系中,已知直线与双曲线的左右两支分别交于两点,是线段的中点,是轴上一点(非原点)，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】B
【解析】设且，则，
因为，所以，得，
设直线的方程为，，
由，得，
由，得，
所以，所以，①
，
因为，是线段的中点，
所以，即，化简得，
由①，得，所以，
所以，
所以离心率，
故选：B
二､多项选择题
9. 已知二项式，则（ ）
A. 展开式中的系数为45
B. 展开式中二项式系数最大的项是第5项
C. 展开式中各项系数之和为1
D. 展开式中系数最大的项是第5项或第7项
【答案】AD
【解析】，当时，，系数为，故A正确；
由组合数性质可知，中间项系数最大，
展开式中二项式系数最大的项是第6项，故B错误；
令，得展开式中各项系数之和为，故C错误；
当为奇数时，系数为负数，当为偶数时，系数为正数，
当或时，系数最大，正确.
故选：AD.
10. 已知虚数满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 的虚部为D.
【答案】ABD
【解析】对于A，由，得正确；
对于B，由，得，B正确；
对于C，设，
则，
，解得，
的虚部为或，C错误.
对于D，又，D正确.故选：ABD.
11. 如图，正方体的棱长为1，点在截面内，且，则（ ）
A. 三棱锥的体积为B. 线段的长为
C. 点的轨迹长为D. 的最大值为
【答案】ACD
【解析】对于A，在正方体中，易证平面，平面平面，且两平面间的距离为，又的面积，所以三棱锥的体积故A正确；
对于B，如图①所示，设的中心为，则，
故B错误；
对于C，如图②所示，由知，，
点的轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分，
由三段劣弧构成，其长度为圆周长的一半故C正确；
对于D，，
为在方向上的投影，由图①可知，
当位于点或的位置时，最小，
此时取得最大值，如图②所示，建立空间直角坐标系，
则，，故D正确.
故选：ACD.
三､填空题
12. 若集合，则__________.
【答案】
【解析】.
又或，故.
故答案为：
13. 已知函数在区间上有且仅有三个零点，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】令，，，
问题转化为函数在区间上有且仅有三个零点，
，解得.故答案为：
14. 某儿童游乐场有一台打地鼠游戏机，共有9个洞.游戏开始后，每次有且仅有一只地鼠从某洞中冒出，地鼠第1次从1号洞冒出来.假设游戏过程中地鼠从上一个洞继续冒出的概率为，从其它洞冒出的可能性相等，则地鼠第3次从1号洞冒出的概率是__________.假设游戏结束时，地鼠一共冒出次，则地鼠从1号洞冒出的次数期望值为__________.
【答案】
【解析】令表示地鼠第次从1号洞冒出的概率，则.
当地鼠第2次从1号洞冒出时，第3次从1号洞冒出的概率为；
当地鼠第2次没有从1号洞冒出时，第3次从1号洞冒出的概率为.
同理可得：
，
是以为首项，为公比的等比数列，
，也适合；
游戏结束时，地鼠一共冒出次，则地鼠从1号洞冒出的次数期望值为.故答案为：；.
四､解答题
15. 车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过实验测得轿车行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据，如下表所示：
（1）求该品牌轮胎凹槽深度与行驶里程的相关系数，并判断二者之间是否具有很强的线性相关性；（结果保留两位有效数字）
（2）根据我国国家标准规定：轿车轮胎凹槽安全深度为（当凹槽深度低于时刹车距离增大，驾驶风险增加，必须更换新轮胎）.某人在保养汽车时将小轿车的轮胎全部更换成了该品牌的新轮胎，请问在正常行驶情况下，更换新轮胎后继续行驶约多少公里需对轮胎再次更换？
附：变量与的样本相关系数；对于一组数据，，其线性回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：.
解：（1）计算得，
，
由公式知，二者之间具有很强的线性关系.
（2）设轮胎凹槽深度与行驶里程的线性回归方程为，
则=
=,
线性回归方程为,
令，得
即更换新轮胎后继续行驶约6.4万公里需要对轮胎再次更换.
16. 如图,已知四棱锥的底面为直角梯形,，为等边三角形.
（1）证明：；
（2）若二面角的大小为，求二面角的正弦值.
（1）证明：取的中点，连接线段，由，得，
由，得为等边三角形，则，
又平面，于是平面，又平面，
所以
（2）解：由（1）知为二面角的平面角，即，
在平面内过作，显然直线两两垂直，
以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，
由，
得，，，
设平面的法向量为，，
，取，得，而，
设平面的法向量为，则，取，得，
设二面角的平面角为，则，
因此，所以二面角的正弦值为.
17. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为是上第一象限内的动点.当直线的倾斜角为时，.
（1）求的方程；
（2）已知点是上不同两点.若四边形是平行四边形，证明：直线过定点.
（1）解：由题意可知：抛物线的焦点，准线，
过点A作轴的垂线，垂足为，作准线的垂线，垂足为，
由抛物线定义可得，
因为直线的倾斜角为，则，
可得，解得，
所以的方程为.
（2）证明：设直线方程为，，
联立方程组，消去整理得，
则，
因为四边形是平行四边形，
则，即，
代入中得，整理得，
则直线：，
所以直线过定点.
18. 已知函数，且.
（1）讨论的单调性；
（2）若方程有三个不同的实数解，求的取值范围.
解：（1）解法一：
令，则
在上单调递增.
又当时，，即；当时，，即
在上单调递减，在上单调递增.
解法二：
①当时，由得，由得
在上单调递减，在上单调递增
②当时，同理可得在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）解法一：由，得，易得
令，则
又为偶函数，
由（1）知在上单调递增，，即有三个不同的实数解.
令，由，得由，得，
在上单调递增，在上单调递减，且
在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减
当时，；当时，，故
解得或，故的取值范围是
解法二：由得，易得
令，则在上单调递减，在上单调递增.
由，得或
两边同时取以为底的对数，得或，
，即有三个不同的实数解
下同解法一.
19. 已知数列共有项，且，若满足，则称为“约束数列”.记“约束数列”的所有项的和为.
（1）当时，写出所有满足的“约束数列”；
（2）当时，设“约束数列”为等差数列.请判断是的什么条件，并说明理由；
（3）当时，求的最大值.
解：（1）当时，所有满足的“约束数列”有：
①；②；③
（2）是充分不必要条件.理由：
①当时，.
则
，
当且仅当时，成立，“约束数列”是公差为1等差数列
②当“约束数列”是等差数列时，由，
得，或，或，
若，则的公差为；
若，则的公差为；
若，则的公差为，
即当“约束数列”是等差数列时，或或2024.
由①②，得是的充分不必要条件.
（3）要使得取最大值，则，
当且仅当同时满足以下三个条件时，取最大值.
①当时，；
②当时，；
③当时，.
.
行驶里程万
0.0
0.4
1.0
1.6
2.4
2.8
3.4
4.4
轮胎凹槽深度
8.0
7.8
7.2
6.2
56
4.8
4.4
4.0