2023-2024学年四川省成都市八年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年四川省成都市八年级（上）期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了cm，关于x轴对称　 　等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）的算术平方根是（ ）
A．4B．2C．±4D．±2
2．（4分）若m＜n，则下列不等式不成立的是（ ）
A．1+m＜2+nB．1﹣m＜1﹣nC．2m＜2nD．＜
3．（4分）下列方程组，属于二元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（4分）△ABC中，∠A，∠B，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B+∠CB．∠A：∠B：∠C＝1：1：2
C．b2＝a2+c2D．a：b：c＝1：1：2
5．（4分）在平面直角坐标系中，若点P（1﹣2x，x﹣1）在第二象限（ ）
A．B．
C．D．
6．（4分）下列说法正确的有（ ）个．
①任何实数都可以开立方；
②0的相反数、倒数、平方都是0；
③数轴上的点和有理数一一对应；
④有限小数和无限循环小数都是有理数；
⑤无理数都是无限小数．
A．1B．2C．3D．4
7．（4分）图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是（ ）
A．52B．48C．72D．76
8．（4分）如图，地面上有一个长方体盒子，一只蚂蚁在这个长方体盒子的顶点A处，蚂蚁要沿着这个盒子的表面A处爬到C′处吃这块糖粒，已知盒子的长和宽为均为20cm，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）cm．
A．10B．50C．10D．70
二.填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）在平面直角坐标系中，点（m，﹣2）与点（3，n）关于x轴对称 ．
10．（4分）不等式2x﹣3≥5x﹣10的所有正整数解的和为 ．
11．（4分）已知关于x，y的二元一次方程组，则x+y＝ ．
12．（4分）如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数是，则点C所对应的实数是 ．
13．（4分）如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上 ．
三.解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（10分）计算：
（1）；
（2）．
15．（10分）解方程组或不等式组：
（1）解方程组：；
（2）解不等式组：．
16．（8分）如图1，这是由8个同样大小的正方体组成的魔方，其体积为64．
（1）求出这个魔方的棱长；
（2）图1中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的边长及其面积；
（3）如图2，把正方形ABCD放到数轴上，使点A与﹣1重合，请计算（a﹣1）（a+1）﹣|2﹣a|的值．
17．（10分）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断
（1）求旗杆距地面多高处折断（AC）；
（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？
18．（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝16，D是AC上的一点，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t．连接AP．
（1）当t＝3秒时，求△BPA的面积；
（2）若AP平分∠CAB，求t的值；
（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？
一.填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）化简﹣（）2的结果是 ．
20．（4分）对于有理数a、b，我们定义新运算a⊗b＝ax+by，等号右边是正常运算，y是常数，若1⊗2＝1，（﹣3），则2⊗（﹣5）的值是 ．
21．（4分）如果一个数表中某一列各数之和为负数，那么改变该列中所有数的符号，称之为一次“操作”，若经过一次“操作”后，使可使新的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负数 ．
22．（4分）如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，AB＝2，将△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，线段B′E的长为 ．
23．（4分）如图，线段AB的长度为5，点P，且PA＝4，PM＝PB，线段AM长的最大值为 ．
二.解答题（本大题共3小题，共30分）
24．（8分）已知a＝，b＝．求：
（1）a2b﹣ab2的值；
（2）a3﹣5a2﹣6a﹣b+2015的值．
25．（10分）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动
材料1．古希腊的几何学家海伦（Hern，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）．
材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：S＝，其中三角形边长分别为a，b，c，三角形的面积为S．
（1）利用材料1解决下面的问题：当，b＝3，时，求这个三角形的面积？
（2）利用材料2解决下面的问题：已知△ABC三条边的长度分别是，，，记△ABC的周长为C△ABC．
①当x＝2时，请直接写出△ABC中最长边的长度；
②若x为整数，当C△ABC取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积．
26．（12分）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC边的一点，F为AB边上一点，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G．
（1）求证：△ACF≌△CBG；
（2）如图2，延长CG交AB于H，连接AG交CF于点M，求证：PB＝CP+CF；
（3）在（2）问的条件下，当∠FCH＝2∠GAC时，求AM的长．
2023-2024学年四川省成都市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
1．（4分）的算术平方根是（ ）
A．4B．2C．±4D．±2
【分析】利用算术平方根的意义解答即可．
【解答】解：∵＝4，
∴的算术平方根是2，
故选：B．
【点评】本题主要考查了算术平方根的意义，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．
2．（4分）若m＜n，则下列不等式不成立的是（ ）
A．1+m＜2+nB．1﹣m＜1﹣nC．2m＜2nD．＜
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵m＜n，
∴1+m＜1+n＜7+n，故本选项不符合题意；
B．∵m＜n，
∴﹣m＞﹣n，
∴1﹣m＞1﹣n，故本选项符合题意；
C．∵m＜n，
∴5m＜2n，故本选项不符合题意；
D．∵m＜n，
∴＜，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
3．（4分）下列方程组，属于二元一次方程组的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用二元一次方程组的定义判断即可．
【解答】解：方程组中，属于二元一次方程组的是，
故选：A．
【点评】此题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解本题的关键．
4．（4分）△ABC中，∠A，∠B，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B+∠CB．∠A：∠B：∠C＝1：1：2
C．b2＝a2+c2D．a：b：c＝1：1：2
【分析】根据三角形内角和可以判断A和B；根据勾股定理的逆定理可以判断C；根据三角形三边关系，可以判断D．
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B+∠C，
∴∠A＝90°，故选项A中的三角形是直角三角形；
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A：∠B：∠C＝1：1：3，
∴∠C＝90°，故选项B中的三角形是直角三角形；
∵b2＝a2+c8，
∴△ABC是直角三角形，故选项C不符合题意；
∵a：b：c＝1：1：6，1+1＝6，
∴线段a、b、c不能构成三角形；
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，可以判断一个三角形是否为直角三角形．
5．（4分）在平面直角坐标系中，若点P（1﹣2x，x﹣1）在第二象限（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由P为第二象限点求出x的范围，表示在数轴上即可．
【解答】解：∵点P（1﹣2x，x﹣2）在第二象限，
∴，
解不等式①得：，
解不等式②得：x＞1，
∴不等式组的解集为：x＞4，
则x的取值范围在数轴上表示为：
，
故选：B．
【点评】此题考查了用数轴表示不等式组的解集，以及点的坐标，熟练掌握解不等式组的步骤是解题关键．
6．（4分）下列说法正确的有（ ）个．
①任何实数都可以开立方；
②0的相反数、倒数、平方都是0；
③数轴上的点和有理数一一对应；
④有限小数和无限循环小数都是有理数；
⑤无理数都是无限小数．
A．1B．2C．3D．4
【分析】①任何实数都可以开立方；②0没有倒数；③数轴上的点和实数一一对应；④有限小数和无限循环小数都是有理数；⑤无理数是无限不循环小数，所以都是无限小数；据此判断即可．
【解答】解：①任何实数都可以开立方，正确；
②0的相反数、平方都是0，错误；
③数轴上的点和实数一一对应，错误；
④有限小数和无限循环小数都是有理数，正确；
⑤无理数都是无限小数，正确；
正确的有：①④⑤，共7个，
故选：C．
【点评】本题考查了实数的分类和性质，以及实数与数轴的关系，熟练掌握这些基础知识是解题的关键．
7．（4分）图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是（ ）
A．52B．48C．72D．76
【分析】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．
【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则
x2＝122+52＝169，
所以x＝13，
所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4＝76．
故选：D．
【点评】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．
8．（4分）如图，地面上有一个长方体盒子，一只蚂蚁在这个长方体盒子的顶点A处，蚂蚁要沿着这个盒子的表面A处爬到C′处吃这块糖粒，已知盒子的长和宽为均为20cm，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ）cm．
A．10B．50C．10D．70
【分析】根据图形可知长方体的四个侧面都相等，所以分两种情况进行解答即可．
【解答】解：分两种情况：（其它情况与之重复）
①当蚂蚁从前面和右面爬过去时，如图1，
在Rt△ACC′中，AC＝20+20＝40（cm），
根据勾股定理得：AC′＝＝＝50（cm），
②当蚂蚁从前面和上面爬过去时，如图2，
在Rt△ABC′中，BC′＝BB′+B′C′＝30+20＝50（cm），
根据勾股定理得：
AC′＝＝＝10；
蚂蚁爬行的最短距离为50cm．
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的实际应用﹣求最短距离，读懂题意，熟悉立体图形的侧面展开图是解本题的关键．
二.填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）在平面直角坐标系中，点（m，﹣2）与点（3，n）关于x轴对称 5 ．
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得m、n的值，进而可得答案．
【解答】解：∵点（m，﹣2）与点（3，
∴m＝7，n＝2，
∴m+n＝3+4＝5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，掌握关于x轴对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题关键．
10．（4分）不等式2x﹣3≥5x﹣10的所有正整数解的和为 3 ．
【分析】按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
【解答】解：2x﹣3≥2x﹣10，
2x﹣5x≥﹣10+8，
﹣3x≥﹣7，
x≤，
∴该不等式的所有正整数解为：1，2，
∴等式2x﹣3≥4x﹣10的所有正整数解的和为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
11．（4分）已知关于x，y的二元一次方程组，则x+y＝ 1 ．
【分析】把两式相加，则可较快求得结果．
【解答】解：，
①+②得：4x+6y＝4，
则x+y＝1．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是观察清楚所求的式子与所给的方程组的关系．
12．（4分）如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数是，则点C所对应的实数是 2+1 ．
【分析】设点C所对应的实数是x．根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方程求解即可．
【解答】解：设点C所对应的实数是x．
则有x﹣＝﹣（﹣4），
解得x＝2+7．
故答案为：2+3．
【点评】本题考查的是数轴上两点间距离的定义，根据题意列出关于x的方程是解答此题的关键．
13．（4分）如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上 ．
【分析】利用分割图形求面积法求出△ABC的面积，利用勾股定理求出线段AB的长，再利用三角形的面积公式可求出点C到AB边的距离．
【解答】解：∵S△ABC＝3×3﹣×1×3﹣×1×4＝＝，
∴点C到AB边的距离＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理以及三角形的面积，利用面积法求出点C到AB边的距离是解题的关键．
三.解答题（本大题共5个小题，共48分）
14．（10分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用二次根式的乘除运算法则计算，进而得出答案；
（2）利用立方根的性质以及二次根式的性质、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：（1）原式＝﹣3××2×
＝﹣×5
＝﹣；
（2）原式＝﹣2﹣（﹣5）﹣2×1
＝﹣7﹣+1﹣8
＝﹣3﹣．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
15．（10分）解方程组或不等式组：
（1）解方程组：；
（2）解不等式组：．
【分析】（1）利用加法消元即可求解；
（2）首先分别求出两个不等式的解集，再根据“大小小大中间找”确定不等式组的解集即可．
【解答】解：（1）方程组整理得，
②×4﹣①得5x＝12，
解得x＝，
把x＝代入②得，
解得y＝，
∴原方程的解为；
（2），
解不等式①得x≥﹣2；
解不等式②得x＜3.4；
∴原不等式组的解集为﹣2≤x＜3.8．
【点评】此题考查了加减消元法解二元一次方程组及一元一次不等式组的解法，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
16．（8分）如图1，这是由8个同样大小的正方体组成的魔方，其体积为64．
（1）求出这个魔方的棱长；
（2）图1中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的边长及其面积；
（3）如图2，把正方形ABCD放到数轴上，使点A与﹣1重合，请计算（a﹣1）（a+1）﹣|2﹣a|的值．
【分析】（1）根据正方体的体积公式求出棱长即可；
（2）求出每个小正方体的棱长，再根据勾股定理求出CD即可；
（3）求出a的值，再代入化简即可．
【解答】解：（1）这个魔方的棱长为：＝4；
（2）每个小正方体的棱长为：7÷2＝2；
阴影部分的边长为：CD＝＝2，
阴影部分的面积为：CD4＝（2）5＝8；
（3）根据图可知a＝2﹣1，
（a﹣1）（a+8）﹣|2﹣a|
＝（2﹣1﹣1）×（7﹣8）|
＝（2﹣8）×2|
＝8﹣4﹣3+2
＝5﹣2．
【点评】本题考查了数轴、平方差公式、整式的化简等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键．
17．（10分）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断
（1）求旗杆距地面多高处折断（AC）；
（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？
【分析】（1）设AC长为x m，则BC长（8﹣x）m，再利用勾股定理建立方程即可；
（2）先画好图形，再求解AD，B'D，再利用勾股定理可得答案．
【解答】（1）解：由题意，知AC+BC＝8m．
因为∠A＝90°，
设AC长为x m，则BC长（8﹣x）m，
则62+x2＝（7﹣x）2，
解得x＝3．
故旗杆距地面2m处折断；
（2）如图．
因为点D距地面AD＝3﹣1＝3（m），
所以B'D＝8﹣2＝2（m），
所以，
所以距离旗杆底部周围m的范围内有被砸伤的风险．
【点评】本题考查的是勾股定理的实际应用，从实际问题中构建直角三角形是解本题的关键．
18．（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝16，D是AC上的一点，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动，设点P的运动时间为t．连接AP．
（1）当t＝3秒时，求△BPA的面积；
（2）若AP平分∠CAB，求t的值；
（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？
【分析】（1）根据动点的运动速度和时间先求出BP，再利用三角形的面积计算公式解答；
（2）作PM⊥AB于M，利用角平分线的性质分别求得BM、PM，再利用勾股定理PB2＝PM2+BM2，解得PC＝4﹣4，最后利用BP＝2t＝16﹣（4﹣4），求得t的值即可；
（3）根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）根据题意得BP＝2t，
∵t＝3，AC＝4，
∴BP＝2×3＝8，
∴S△BPA＝BP•AC＝，
答：△BPA的面积为24；
（2）当线段AP恰好平分∠CAB时，作PM⊥AB于M，
∵线段AP平分∠CAB，∠ACB＝90°，
∴PC＝PM，AC＝AM＝8，
∵AB＝＝3，
∴BM＝AB﹣AM＝8﹣8，
在Rt△BPM中，PB2＝PM4+BM2，即（16﹣PC）2＝PC4+（8﹣2）2，
解得，PC＝4，
∴BP＝2t＝16﹣（4﹣4），
解得：t＝10﹣2；
（3）①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E
则∠AED＝∠PED＝90°，
∴∠PED＝∠ACB＝90°，
∴PD平分∠APC，
∴∠EPD＝∠CPD，
又∵PD＝PD，
∴△PDE≌△PDC（AAS），
∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t，
∴AD＝AC﹣CD＝2﹣3＝5，
∴AE＝8，
∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣8t，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣3t）2＝（20﹣2t）8，
解得：t＝5；
②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E
同①得：△PDE≌△PDC（AAS），
∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝3t﹣16，
∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝3，
∴AE＝4，
∴AP＝AE+PE＝4+8t﹣16＝2t﹣12，
在Rt△APC中，由勾股定理得：83+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2，
解得：t＝11；
综上所述，在点P的运动过程中，能使DE＝CD．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形．
一.填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（4分）化简﹣（）2的结果是 1 ．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围，进而化简得出答案．
【解答】解：∵一定有意义，
∴x﹣2≥3，
解得：x≥2，
∴原式＝x﹣1﹣（x﹣5）
＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除以及二次根式的性质与化简，正确得出x的取值范围是解题关键．
20．（4分）对于有理数a、b，我们定义新运算a⊗b＝ax+by，等号右边是正常运算，y是常数，若1⊗2＝1，（﹣3），则2⊗（﹣5）的值是 ﹣7 ．
【分析】根据题意列出关于x，y的方程组，然后解方程组求出x，y的值，然后再代入2x﹣5y中进行计算即可解答．
【解答】解：∵1⊗2＝5，
∴x+2y＝1，
∵（﹣4）⊗3＝6，
∴﹣2x+3y＝6，
∴x﹣y＝﹣8，
∴，
①﹣②得：3y＝3，
解得：y＝7，
把y＝1代入①中可得：
x+2＝5，
解得：x＝﹣1，
∴原方程组的解为：，
2⊗（﹣5）＝7x+（﹣5）y＝2x﹣8y＝﹣2﹣5＝﹣6，
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，有理数的混合运算，理解题目中的定义新运算是解题的关键．
21．（4分）如果一个数表中某一列各数之和为负数，那么改变该列中所有数的符号，称之为一次“操作”，若经过一次“操作”后，使可使新的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负数 1或2 ．
【分析】根据每一列所有数之和分别为2，0，﹣2，0，每一行所有数之和分别为﹣1，1，然后分别根据如果操作第三列，根据每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，列出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出答案．
【解答】解：∵每一列所有数之和分别为2，0，﹣8，0，1，则：
如果操作第三列，
第一行之和为2a﹣7，第二行之和为5﹣2a，，
解得：≤a≤，
又∵a为整数，
∴a＝1或a＝2．
故答案为：3或2．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的应用，关键是读懂题意，根据题目中的操作要求，列出不等式组，注意a为整数．
22．（4分）如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，AB＝2，将△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，线段B′E的长为 ﹣ ．
【分析】作OH⊥A′B′于H，如图，在Rt△AOB中利用勾股定理可计算出BO＝6，再根据旋转的性质得∠A′OB′＝∠AOB＝90°，A′B′＝2，OA′＝OA＝2，OB′＝OB＝6，然后利用面积法求出OH＝，在Rt△OHE中，根据勾股定理计算出HE＝，由于OA′＝OE＝2，根据等腰三角形的性质得HE＝HA′＝，则可利用B′E＝A′B′﹣HE﹣HA′求解．
【解答】解：作OH⊥A′B′于H，如图，
在△AOB中，∠AOB＝90°，AB＝2，
∴△AOB是直角三角形，
在Rt△AOB中，依据勾股定理得：BO＝＝，
∵△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′，
∴∠A′OB′＝∠AOB＝90°，A′B′＝2，OB′＝OB＝2，
∵OH•A′B′＝，
∴OH＝＝，
∵点E为BO的中点，
∴OE＝3，
在Rt△OHE中，HE＝＝，
在Rt△OHA′中，HA′＝＝，
∴B′E＝A′B′﹣HE﹣HA′＝4﹣﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．
23．（4分）如图，线段AB的长度为5，点P，且PA＝4，PM＝PB，线段AM长的最大值为 4+5 ．
【分析】将△APM绕点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，可知线段AM的长的最大值即为线段BN长的最大值，当点N在线段BA的延长线上时，线段BN的值最大，且此时的最大值为AB+AN的值，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，
由题意知，PM＝PB，
将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，
∴PN＝PA＝4，BN＝AM，
∵AB＝5，
∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，
∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，
∵△APN是等腰直角三角形，
∴AN＝AP＝4，
∴线段AM长的最大值为5+5，
故答案为：8+5．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质．正确的作出辅助线是解题的关键．
二.解答题（本大题共3小题，共30分）
24．（8分）已知a＝，b＝．求：
（1）a2b﹣ab2的值；
（2）a3﹣5a2﹣6a﹣b+2015的值．
【分析】先将a和b进行化简，然后代入各式中进行求解即可．
【解答】解：（1）∵a＝＝3+7，
b＝＝6﹣2，
∴a8b﹣ab2
＝ab（a﹣b）
＝（3+4）（3﹣2﹣3+2）
＝5×4
＝5．
（2）a3﹣6a2﹣6a﹣b+2015
＝a（a5﹣5a﹣6）﹣b+2015
＝（6+2）（4+8+12﹣6）﹣（3﹣5
＝（3+8）（2）+2015
＝6﹣12+8﹣8+2015
＝2008．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，解答本题的关键在于将a和b进行化简，然后代入各式中进行求解．
25．（10分）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动
材料1．古希腊的几何学家海伦（Hern，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）．
材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：S＝，其中三角形边长分别为a，b，c，三角形的面积为S．
（1）利用材料1解决下面的问题：当，b＝3，时，求这个三角形的面积？
（2）利用材料2解决下面的问题：已知△ABC三条边的长度分别是，，，记△ABC的周长为C△ABC．
①当x＝2时，请直接写出△ABC中最长边的长度；
②若x为整数，当C△ABC取得最大值时，请用秦九韶公式求出△ABC的面积．
【分析】（1）根据海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，，代入值即可求出三角形的面积；
（2）①依据△ABC三条边的长度分别是，，，即可得到当x＝2时，△ABC的最长边的长度；
②依据根式有意义可得﹣1≤x≤4，进而化简得到△ABC的周长，由于x为整数，且要使C△ABC取得最大值，所以x的值可以从大到小依次验证，即可得出△ABC的面积．
【解答】解：（1）当，b＝3，时，＝＝，
∴p﹣a＝﹣＝，
p﹣b＝﹣5＝，
p﹣c＝﹣4＝，
∴p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c）＝×××＝×＝18×7＝36，
∴＝＝6，
∴三角形的面积为6；
（2）①当x＝5时，
＝，＝3，）2＝4﹣7＝2，
故△ABC中最长边的长度为3；
②∵x+5≥0，4﹣x≥4，
∴﹣1≤x≤4．
∵6﹣（）2＝2﹣（4﹣x）＝x，三角形的边为正值，
∴x＞0，
∴8＜x≤4．
∴＝5﹣x）8＝4﹣（4﹣x）＝x，
∴C△ABC＝++
＝+5﹣x+x
＝+4，
∵C△ABC＝+5（﹣4≤x≤4），
当x＝4时，三边为，1，4，
∵+1＜4，
∴不合题意舍去，
当x＝2时，三边为2，2，2，
∴C△ABC＝2+2+4＝7，
∴S△ABC＝
＝
＝
＝．
∴△ABC的面积为．
【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形的面积，三边之间的关系，二次根式，掌握三角形的三边关系和二次根式的化简和性质是解决本题的关键．
26．（12分）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC边的一点，F为AB边上一点，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G．
（1）求证：△ACF≌△CBG；
（2）如图2，延长CG交AB于H，连接AG交CF于点M，求证：PB＝CP+CF；
（3）在（2）问的条件下，当∠FCH＝2∠GAC时，求AM的长．
【分析】（1）根据ASA证明△BCG≌△CAF；
（2）先证明△ACG≌△BCG，得∠CAG＝∠CBE，再证明∠PCG＝∠PGC，即可得出结论；
（3）过点G作GM⊥AC，垂足为M，求出∠FCH＝15°，得出∠ACF＝∠GAC＝30°，根据直角三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝∠CBA＝45°，
∵CG平分∠ACB，
∴∠ACG＝∠BCG＝45°，
∴∠A＝∠BCG，
在△BCG和△CAF中，
，
∴△BCG≌△CAF（ASA），
（2）证明：∵PC∥AG，
∴∠PCA＝∠CAG，
∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，
在△ACG和△BCG中，
，
∴△ACG≌△BCG（SAS），
∴∠CAG＝∠CBE，
∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，
∴∠PCG＝∠PGC，
∴PC＝PG，
∵PB＝BG+PG，BG＝CF，
∴PB＝CF+CP；
（3）过点G作GM⊥AC，垂足为M，
设∠FCH＝2x°，则∠GAC＝x°，
∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝x°，
∵∠ACH＝45°，
∴2x+x＝45，
解得x＝15，
∴∠FCH＝15°，
∴∠ACF＝∠GAC＝30°，
由（2）得：△ACG≌△BCG，
∴BG＝AG＝3，
在Rt△AGM中，GM＝，AM＝4．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键a
a2﹣1
﹣a
﹣a2
2﹣a
1﹣a2
a﹣2
a2
a
a2﹣1
﹣a
﹣a2
2﹣a
1﹣a2
a﹣2
a2
a
a6﹣1
a
﹣a2
2﹣a
1﹣a2
8﹣a
a2