山西省大同市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份山西省大同市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共21页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷及答题卡相应的位置。
3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
4.考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1.山西省第十六届运动会于2023年8月8日在大同体育中心开幕，下列用篆书描绘的体育图标中，是中心对称图形的是（ ）
A.B.C.D.
2.已知关于的一元二次方程的一个根是，另一个根是（ ）
A.B.C.D.
3.关于二次函数，下列叙述正确的是（ ）
A.函数的图象开口向下B.对称轴是轴
C.当时，有最大值D.当时，随的增大而增大
4.用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（ ）
A.B.C.D.
5.如图，将绕着点逆时针旋转至，使点恰好落在线段上，若，则的度数为（ ）
A.B.C.D.6.将地物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线为（ ）
A.B.
C.D.
7.“绿色电力，与你同行”，根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计2022年新能源汽车年销售量为700万辆，预计2024年新能源汽车年销售量将达到1372万辆.则这两年新能源汽车销售量年平均增长率为（ ）
A.B.C.D.
8.若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A.B.C.D.
9.如图，四边形是半圆的内接四边形，若是直径，点是弧的中点，，则的度数为（ ）
A.B.C.D.
10.下图是一次函数的图象，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A.B.C.D.
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11.若点与点关于原点对称，则的值为________.12.已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是________.
13.如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个时刻间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为________.
14.已知二次函数的图象如图所示.则的取值范围是________.
15.如图，将绕点逆时针旋转得到，点，，，在同一直线上，连接，若，，，则________.
三、解答题（本大题共8个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（本题共2个小题，每小题5分，共10分）
解方程：（1）（2）
17.（本题9分）如图，在斗面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形；
（1）与关于原点对称，画出，写出的坐标；（2）以为旋转中心将顺时针旋转得到，画出；
（3）直接写出点旋转到所经过的路径的长度.
18.（本题6分）如图，矩形为大同古城管理部门计划在古城东南邑围建的一个小型表演场地，其中两边靠墙（墙足够长），另外两边用长为的隔离带（虚线部分）围成，求所围成矩形的最大面积.
19.（本题7分）如图，在中，弦交半径于点，连接，过点作的切线，交的延长线于点.若，试判断与的位置关系，并说明理由.
20.（本题10分）东方甄选是浙东方推出的直播新平台，今年5月，随看“东方甄选山西行”系列直播活动的完美收官，各类“山西好物”的总销售额也突破亿元大关.我市某公司在直播中推出的一款“忘忧”产品礼盒，每盒的成本为100元，若按每盒150元销售，则同时段每小时可售出40盒.为了让利全国网友，公司决定降价销售，经核算，发现销售价每降低1元，同时段每小时的销量就增加2盒.设该礼盒售价为每盒元，同时段每小时的销售量为盒，每小时的销售利润为元.
（1）写出与及与的函数表达式.
（2）直播间在让利顾客的前提下，要使一小时的销售利润达到2400元，销售价应定为每盒多少元？
（3）当销售价定为多少元时每小时的利润最大？并求出最大利润.
21.（本题7分）阅读以下材料，并完成相应的任务：
定义：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
下面是该定理的部分证明过程：
已知：如图，与相切于点，点，在上，连接，，.
求证：.
证明：连接并延长，交于点，连接.
任务：（1）上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：________________________
依据2：________________________
（2）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分.
（3）已知图中的半径2，弦切角，直接写出的长.
22.（本题12分）综合与实践
问题情境：如图1，正方形和正方形有公共顶点，，，现将正方形绕点按顺时针方向旋转，旋转角为，连接，.
图1 图2 图3
猜想证明：（1）猜想图2中与的数量关系并证明；
探究发现：（2）如图3，当时，连接，延长交于点，求证：垂直平分；
拓展延伸：（3）在旋转过程中，当的面积最大时，直接写出此时旋转角的度数和的面积.
23.（本题14分）综合与探究与相切于点
（依据1）
是的直径
（依据2）
如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接，.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接，，求面积的最大值，并求出此时点的坐标；
（3）点为抛物线对称轴上一点，是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出的坐标；若不存在，请说明理由.
2023-2024学年度第一学期九年级期中教学质量监测
数学参考答案及评分标准
一、选择题（每小题3分，共30分）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 12.1 13. 14. 15.5
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16.（本题共两个小题，每小题5分，共10分）
（1）解：
1分
方程有两个不相等的实数根 2分
3分
5分
（2）解： 6分
7分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
B
D
C
B
D
B
A
A
8分
或
10分
17.（1）
如图，即为所求 3分
4分
（2）如图，即为所求 7分
（3） 9分
18.解：设边的长度为，矩形的面积为
则边的长为， 1分
由题得 3分
4分
时，有最大值，最大值为225 5分
答：矩形的最大面积为. 6分
19.解： 1分
理由：连接 2分
3分
相切
4分
5分
6分
即 7分
20.解：（1）即 1分
即 2分
（2） 3分
5分
要让利顾客
答：销售价应定为每件130元. 6分
（3） 8分
当时，有最大值， 9分
答：销售价定为每件135元时，利润最大，最大利润为2450元。 10分
21.解：（1）依据1：圆的切线垂直于过切点的半径 1分
依据2：直径所对的圆周角是直角 2分
（2） 3分
4分
5分
（3）2
22.（1） 1分
证明：在正方形中，
在正方形中， 2分
即 3分
4分
5分
（2）证明：由（1）知，
6分
即
7分
，，
，
8分
9分
垂直平分 10分
（3）的面积 12分
23.解：（1）将，代入，得 2分
抛物线的解析式为 3分
（2）过作轴，交于点 4分
当时，
5分
设直线的表达式为将，代入，得
6分
设，
7分
8分
当时， 9分当时，
10分
（3），，， 14分