北京市2024届九年级上学期期中检测数学试卷

这是一份北京市2024届九年级上学期期中检测数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1．二次函数的最小值是（ ）
A．1B．-1C．2D．-2
2．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）是由四个图案构成，这四个图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．有一个实数根
4．将抛物线的图象向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
5．用配方法解一元二次方程，此方程可化为的正确形式是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点，，将矩形OABC绕点O逆时针旋转90°，则旋转后点B的对应点坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转角（）至，使得点恰好落在AB边上，则等于（ ）
A．150°B．90°C．30°D．60°
8．某农业基地现有杂交水稻种植面积36公顷，计划两年后将杂交水稻种植面积增加到48公顷，设该农业基地杂交水稻种植面积的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
9．某超市一种干果现在的售价是每袋30元，每星期可卖出100袋．经市场调研发现，如果在一定范围内调整价格，每涨价1元，每星期就少卖出5袋．已知这种干果的进价为每袋20元，设每袋涨价x（元），每星期的销售量为y（袋），每星期销售这种干果的利润为z（元）．则y与x，z与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，一次函数关系B．一次函数关系，二次函数关系
C．二次函数关系，二次函数关系D．二次函数关系，一次函数关系
10．抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是方程的一个根．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．①③C．③④D．①④
二、填空题：本大题共8个小题，每小题2分，共16分．
11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________．
12．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则b的值是__________．
13．写出一个开口向下，顶点在x轴上的二次函数的表达式__________．
14．如图，P是正方形ABCD内一点，将绕点C逆时针方向旋转后与重合，若，则__________．
15．如图，直线与抛物线交于A，B两点，其中点，点，则不等式的解集为__________．
16．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是__________．
17．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是，那么飞机着陆后滑行__________秒才能停下来．
18．如图，已知，，，，点D在CB所在直线上运动，以AD为边作等边三角形ADE，则__________．在点D运动过程中，CE的最小值__________．
三．解答题：共54分，第19-24题，每题5分，第25-28题，每题6分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
19．解方程：．
20．如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上，将点E绕点D逆时针旋转得到点F，若点F恰好落在边BC的延长线上，连接DE，DF，EF．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）若，则的面积为__________．
21．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）若是该方程的一个实数根，求代数式的值．
22．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出关于原点中心对称的，并写出点的坐标：__________；
（2）画出将绕点按顺时针方向旋转90°所得的．
23．已知：二次函数中的x和y满足下表：
（1）m的值为__________；
（2）求出这个二次函数的解析式；
（3）当时，则y的取值范围为__________．
24．如图，有一块长为21m，宽为10m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，且人行通道的宽度不能超过3米．
（1）如果两块绿地的面积之和为，求人行通道的宽度；
（2）能否设计人行通道的宽度，使得每块绿地的宽与长之比等于3：5，请说明理由﹒
25．下面给出六个函数解析式：
，，，，，．
小明根据学习二次函数的经验，分析了上面这些函数解析式的特点，研究了它们的图象和性质．下面是小明的分析和研究过程，请补充完整：
（1）观察上面这些函数解析式，它们都具有共同的特点，可以表示为形如：__________，其中x为自变量；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；
（3）对于上面这些函数，下列四个结论：
①函数图象关于y轴对称
②有些函数既有最大值，同时也有最小值
③存在某个函数，当（m为正数）时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小
④函数图象与x轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个
所有正确结论的序号是__________；
（4）结合函数图象，解决问题：
若关于x的方程有一个实数根为3，则该方程其它的实数根为__________．
26．在平面直角坐标系xOy中，点，在抛物线上，其中．
（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
（2）①当时，求y的值；
②若，求的值（用含a的式子表示）；
（3）若对于，都有，求a的取值范围．
27．如图，在中，，将BC边绕点C逆时针旋转（）得到线段CD．
（1）判断与的数量关系并证明；
（2）将AC边绕点C顺时针旋转得到线段CE，连接DE与AC边交于点M（不与点A，C重合）．
①用等式表示线段DM，EM之间的数量关系，并证明．
②若，，直接写出AM的长．（用含a，b的式子表示）
28．对于某一函数给出如下定义：若存在实数p，当其自变量的值为p时，其函数值等于p，则称p为这个函数的不变值．在函数存在不变值时，该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度．特别地，当函数只有一个不变值时，其不变长度q为零．例如，下图中的函数有0，1两个不变值，其不变长度q等于1．
（1）函数①，②，③中存在不变值的是__________(填序号)；
（2）函数．
①若其不变长度为0，则b的值为__________；
②若，求其不变长度q的取值范围；
（3）记函数的图象为，将沿翻折后得到的函数图象记为．函数G的图象由和两部分组成，若其不变长度q满足，则m的取值范围为__________．
北京市重点中学2023-2024第一学期初三数学期中检测参考答案
一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分．
1．D2．B3．C4．A5．A
6．A7．D8．C9．B10．B
二、填空题：本大题共8个小题，每小题2分，共16分．
11．12．13．答案不唯一，如14．
15．16．且17．2018．4；
三．解答题：共54分，第19-24题，每题5分，第25-28题，每题6分．
19．解：
∴，．
20．（1）是等腰直角三角形．
证明：在正方形ABCD中，，．
∵F落在边BC的延长线上，
∴．
∵将点E绕点D逆时针旋转得到点F，
∴．
∴．
∴．
∵
∴，即，
∴是等腰直角三角形．
（2）的面积为8．
21．（1）证明：∵，
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；
（2）解：把代入方程得，
即，
∴．
22.（1）如图所示（画图2分）；；
（2）如图所示．
23．解：（1）∵抛物线经过点和，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴当和所对应的函数值相等，
∴；
故答案为：3；
（2）∵抛物线经过点和，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点为，
设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
∴抛物线解析式为．
（或者写成）．
（3）当时，，
当时，y有最小值-1，
当时，，
∴当时，则y的取值范围为．
故答案为：．
24．解：（1）设人行通道的宽度为x米，
则两块矩形绿地的长为（米），
宽为（米），
根据题意得：，
解得：（舍去），，
答：人行通道的宽度为2米；
（2）设人行通道的宽为y米时，每块绿地的宽与长之比等于3：5，
根据题意得：，
解得：，
∵，
∴不能改变人行横道的宽度使得每块绿地的宽与长之比等于3：5．
25．解：（1）①，（a，b，c是常数，）．
（2）图象如图1所示．
图1
（3）①③．
（4）如图2，-1，0．
图2
26，解：（1）抛物线的对称轴为直线．
（2）①当时，；
②．
（3）①当时，
∵，，
∴，只需讨论的情况．
若，
∵时，y随着x的增大而增大，
∴，符合题意；
若，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵时，，时，y随着x的增大而增大，
∴，符合题意．
②当时，
令，，
此时，但，不符合题意．
综上所述，a的取值范围是．
27．（1）．
证明：根据题意，．
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）①．
证明：延长CA至点N，使．
∵，，
∴．
∴，．
∵，
∴
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
②．
28．解：（1）①③
（2）①∵函数的不变长度为零，
∴方程有两个相等的实数根．
∴．
②解方程，得，．
∵，
∴．
∴函数的不变长度q的取值范围．
（3）m的取值范围为或．
以上答案仅供参考，如有其它正确方法，请酌情给分！x
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2
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4
5
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y
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