人教版第一册上册函数的单调性课时练习

这是一份人教版第一册上册函数的单调性课时练习，共30页。
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为为增函数，故，解得.故选：.
2．（2023·全国·高一专题练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据题意，函数在时为单调递增，即，解得；
易知，二次函数是开口向上且关于对称的抛物线，所以为单调递增；
若满足函数在上单调递增，
则分段端点处的函数值需满足，如下图所示：
所以，解得；
综上可得.
故选：A
3．（2022秋·高一课时练习）已知是上的增函数，是其图象上两点，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意，，则，故，
所以，即解集为.故选：C
4．（2023·全国·高一假期作业）已知函数在上是递减函数，且，则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】是减函数，，；
故选：D.
5．（2022·陕西）定义在R上函数满足以下条件：①函数图像关于轴对称，②对任意，当时都有，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】∵函数图像关于对称，且对任意，
当时都有，
∴在，上单调递减，在单调递增，
，∴．故选：B．
6．（2023春·山西·高一校联考阶段练习）若函数，在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当时，函数单调递增所以
当时，是单调递增函数，所以，所以
当时，对勾函数取值要大于或等于指数式的值，所以，解之得：，
综上所述：实数a的取值范围是故选：B
7．（2023·江苏·高一专题练习）已知函数，若对任意，不等式恒成立，，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，因此在定义域上是增函数，
，
不等式即为，所以，
所以在上恒成立，
若，即，显然成立，
若，即时，由于，因此，，从而也满足题意，
综上，，故选：B．
8（2022秋·广西桂林·高一校考期中）函数的单调增区间是______.
【答案】
【解析】因为函数可化为，
当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增，
所以函数的单调递增区间为，
故答案为：.
9．（2023·江苏·高一假期作业）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】任取且设，
则
．
因为在上单调递增，，
所以，则．
又，所以，
所以，则实数的取值范围为．
故答案为：．
10．（2023·湖南）函数在上是增函数，则实数a的值为__________．
【答案】0
【解析】当时，函数，在上单调递增，符合题意；
当时，函数，其对称轴为，
若，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；
若，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，
综上，.
故答案为：0.
11．（2023·全国·高一假期作业）函数在上为增函数，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】函数开口向上，对称轴为，
要使函数在上为增函数，则，解得，即.
故答案为：
12．（2023春·上海嘉定·）已知在区间上是严格增函数，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】，
因为在区间上是严格增函数，
所以，即.
故答案为：.
13．（2023秋·四川达州·高一校考阶段练习）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 ______
【答案】
【解析】二次函数的图像开口向上，单调增区间为，
又函数在区间上是增函数，
则，解之得，则实数的取值范围是
故答案为：
14．（2022秋·高一单元测试）已知函数与在区间上都是减函数，那么__________.
【答案】.
【解析】根据二次函数的表达式可知，的对称轴为，开口向下，若在区间上是减函数，则，
是反比例型函数，若在区间是减函数，则，所以.
所以与在区间上都是减函数，a的取值范围为.
故答案为:..
15．（2023·高一课时练习）若是上的偶函数，且在上单调递增，则下列条件中：①；②；③；④，能使得成立的序号是___________．
【答案】①②④
【解析】函数为偶函数，所以，且在上单调递增，
由偶函数性质知函数在单调递减，
对于①，当时，恒成立；
对于②，当时，则，恒成立；
对于③，当时，不恒成立，比如，，；
对于④，当时，若，则，恒成立
若，则，恒成立；
故答案为：①②④.
16．（2023·陕西）若，则函数在上的值域是______________．
【答案】
【解析】，
任取，，且，
则，
所以，
所以函数在上单调递增，
则，，
所以函数在上的值域是.
故答案为：.
17．（2022秋·山西大同·高一统考期中）若“，”是真命题，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题意，“，”是真命题
对于能成立，只需要即可，
令，对称轴为，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即,
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
18．（2022秋·浙江台州·高一台州一中校考开学考试）规定表示取、中的较大者，例如，，则函数的最小值为______.
【答案】
【解析】在同一直角坐标系中分别画出与的图象如图，
两个函数的图象有四个交点A，B，C，D．由图可知，B为函数图象的最低点，联立方程组，解得或（舍去），
所以的最小值为．
故答案为：．
19．（2022秋·广东汕头·高一汕头市第一中学校考期中）已知函数，且.
(1)求实数m的值；
(2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论；
(3)求函数在上的最值.
【答案】(1)4
(2)单调递增，证明见解析
(3)
【解析】（1）根据题意得：，解得：；
（2）在上的单调递增；理由如下：
设，则
∵，故，，∴ ，∴f（x）在上的单调递增；
（3）根据题意，由（2）可知，在上单调递增，
故，，
∴函数在上的值域为.
20．（2023春·重庆江北·高一字水中学校考开学考试）已知二次函数（，，）只能同时满足下列三个条件中的两个：①的解集为；②；③的最小值为．
(1)请写出满足题意的两个条件的序号，并求的表达式；
(2)解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）若满足②，则二次函数开口向下，
的解集不能满足为，
此时有最大值，所以①②不能同时满足，②③不能同时满足，
所以满足的两个条件为①③，
所以解得，所以.
（2）因为，
所以对称轴为，且函数在单调递减，单调递增，
因为，
即，
因为恒成立，恒成立，
所以，即，
解得或，
所以不等式的解为.
21．（2023·全国·高一专题练习）已知
(1)根据单调性的定义证明函数在区间上是减函数
(2)若函数（）的最大值与最小值之差为1，求实数的值
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）且，
则，
因为，所以，
又因为，所以，
因此，
所以在是减函数；
（2）由（1）可知，是减函数，
所以时，取得最大值为，
时，取得最小值为，
因为最大值与最小值之差为1，
所以，解得.
22．（2022秋·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期中）设函数 (a为常数）.
(1)若f(x)在R上是增函数，求a的取值范围；
(2)在（1）的条件下，求在上的最小值.
【答案】(1)；
(2)最小值.
【解析】（1）因为函数在R上是增函数，则有，解得，
所以a的取值范围是.
（2）函数图象的对称轴为，由（1）知，而，
当时，函数在上单调递增，当时，，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，
当时，函数在上单调递减，当时，，
所以函数在上的最小值.
23．（2023·河北承德）已知函数.
(1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值．
【答案】(1)函数在上是增函数，证明见解析；
(2)最大值为，最小值为.
【解析】（1）函数在上是增函数，
证明：任取，且，
.
∵，，
∴，即.
∴函数在区间上是增函数.
（2）由（1）知函数在区间上是增函数，
故函数在区间上的最大值为，
最小值为.
24（2022秋·四川成都·高一石室中学校考期中）已知函数．
(1)判断在上的单调性，并用定义加以证明；
(2)设函数，，求的值域．
【答案】(1)单调递减，证明见解析
(2)
【解析】（1）在上的单调递减，证明如下：
设，则
，
因为，所以，，，
，即，
所以，即，
所以函数在上的单调递减；
（2），
设，在上单调递增，当时，，
所以，
令，，
由（1）可知，在上单调递减，
又，，所以，
所以的值域为.
25．（2023·江西吉安）已知，函数．
(1)当，请直接写出函数的单调递增区间（不需要证明）；
(2)记在区间上的最小值为，求的表达式；
(3)对（2）中的，当，时，恒有成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）解：当时，，
所以，函数的单调递增区间为.
（2）解：由题意可知，
①当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，；
②当时，函数在上单调递减，则.
综上所述，.
（3）解：当，时，令，则，
①若，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
且，，
此时，，此时；
②若时，当时，函数在上单调递减，
此时，，此时.
综上所述，.
26．（2022秋·安徽合肥·高一合肥市第五中学校考阶段练习）已知 的定义域为， 对任意都有， 当时，，.
(1)求；
(2)证明：在上是减函数；
(3)解不等式：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
【解析】（1），令，则，
解得：，
令，则，
因为，故，解得：；
（2）证明：令，且，
则，
因为当时，，
所以，
故，所以在上是减函数；
（3）令，则，
令得：，
令得：，
令，则，
故变形为，
故，
整理得：
所以，
即，
由（2）得：在上是减函数，
所以，解得：，
不等式的解集为.
1．（2023·甘肃天水）已知，则“”是“函数在内单调递减”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若函数在内单调递减，
当时，在内单调递减，符合题意.
当时，的开口向上，对称轴为，
则，解得.
当时，的开口向下，对称轴为，
则，解得.
综上所述，若函数在内单调递减，则.
所以“”是“函数在内单调递减”的充分不必要条件.
故选：A
2．（2023春·湖南永州·高一永州市第四中学校考开学考试）定义在的函数满足：对，，且，成立，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由且，，
则两边同时除以可得，
令，则在单调递增，
由得且，
即解得，
故选：D.
3．（2023·河南信阳）函数，，对，，使成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
当时， ，，
即值域为.
又，则为增函数，
当时， 值域为.
要使对，，使得 成立，
则，
，解得 ，所以实数的取值范围是.
故选：C.
4．（2023春·广西防城港·高一统考期中）（多选）设函数是定义在上的函数，并且满足下面三个条件：①对正数，都有；②当时，；③.则下列说法不正确的是（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．若关于x的不等式恒成立，则的取值范围是
【答案】ACD
【解析】因为对正数，都有，
所以，
所以，A错误；
由已知，，，
所以，又，
所以，
所以，B正确，
任取两个实数，且，则
，
因为，所以，
又当时，，所以，
所以，故，
所以函数在上单调递增，
又不等式可化为
，，
所以，，（此时已经可以判断C错误）
所以，，
解得，且，
故，C错误；
不等式可化为
，，
所以，，
当时，，没有意义，不满足要求，（此时已经可以判断D错误），
当时，，，
由已知，，，
当时，，
所以，
若，则且，
由已知，，
当时，，又，
所以不存在满足条件，
所以的取值范围是，D错误，
故选：ACD.
5．（2023·江苏南京）（多选）已知函数，对于任意，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】令，故A正确；
由已知，①
令满足题干要求，则，故B错误；
由①可知，令，则，
又因为，则，所以，故C正确；
因为，所以，
又由①，令，则，
所以，故D正确.
故选：ACD.
6．（2023·辽宁抚顺）已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数在上是减函数
C．
D．不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，
令，得，所以，故A正确；
对于B，令，得，所以，
任取，且，则，
因为，所以，即，所以，
所以在上是减函数，故B正确；
对于C，
，故C错误；
对于D，因为，，所以，
又因为，
所以由得，故，
因为在上是减函数，
所以，解得，
所以不等式的解集为，故D正确.
故选：ABD．
7．（2022秋·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）（多选）设函数是定义在上的减函数，并且同时满足下列两个条件：①对，都有；②；则下列结论正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．
D．使关于的不等式有解的所有正数的集合为
【答案】ACD
【解析】因为对，都有，
令，即，则，故选项A正确；
令，则，又，所以，故选项C正确；
令，则，所以，
所以，，可化为，
故，所以
因为函数在上单调递减，所以，且，
解得：，所以的取值范围为，故选项B错误；
不等式可化为，
故，所以且，，
得，此不等式有解，等价于，
在的范围内，由基本不等式，当且仅当，即时等号成立，，，故即为所求范围，故选项D正确，
故选：ACD．
8．（2023·江苏常州·高一华罗庚中学校考期中）已知函数在上单调递减，则实数a 的范围为____________．
【答案】或
【解析】由题仅考虑在上的单调性.
①当时，，其在上单调递增，不合题意；
②当时，.
任取，，
则，
因，则时，，
得在上单调递减.则；
③当时，令，
得或（舍去）.
则，
因函数，均在上单调递增，则在上单调递减，则
i当时，，则满足题意；
ii当时，有.
则当时，.
综上a 的范围是或.
故答案为：或
9．（2023春·湖北·高一随州市第一中学校联考阶段练习）函数在区间上的最大值为，则________．
【答案】#
【解析】设，根据对勾函数的性质，可得函数在区间为单调递增函数，
当时，函数取得最小值，最小值为，
当时，函数取得最大值，最大值为，
因为在区间上的最大值为，
所以当，即时，可得函数，
即，此时方程无解；
当且，即时，函数，不符合题意，舍去；
当，即时，可得函数，
即，解得，
综上可得，实数的值为.
故答案为：#.
10．（2023·江苏苏州）已知函数的值域为，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】对于函数，则，当且仅当时取等号，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
对于函数，令，则，且函数在定义域上单调递减，
令，解得或，所以与的两个交点分别为、，
则函数与的图象如下所示：
当时，当时，当时，
显然，此时函数的值域不为，不符合题意；
当时，当时，当时，
此时，即，此时函数的值域不为，不符合题意；
当时，在时，即，
此时的值域为，符合题意，
当时，当时，当时，
此时，即，此时函数的值域为，符合题意；
综上可得.
故答案为：
11．（2023·山东临沂·高一校考期末）已知函数，
(1)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；
(2)若对任意，存在，使得，求的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【解析】（1）解：由，即，
即对任意的恒成立，
当时恒成立，符合题意，
当时，问题等价于在上恒成立，
因为当且仅当，即时取等号，故符合题意，
当时，问题等价于在上恒成立，
则，解得或，
综上可得或.
（2）解：当时，．
又．
①当，即时，
对任意，．
所以，此时不等式组无解，
②当，即时，
对任意，．
所以，解得，
③当，即时，
对任意，．
所以此时不等式组无解，
④当，即时，
对任意，．
所以此时不等式组无解．
综上，实数的取值范围是．
12．（2023·广西钦州·）已知二次函数满足，对任意，都有恒成立．
(1)求的值；
(2)求函数的解析式；
(3)若，对于实数，，记函数在区间上的最小值为，且恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）解：对任意，都有恒成立．
令，可得，所以
（2）解：由，知，得．
由对任意恒成立，可得不等式对任意恒成立．
则，即，又，故，
所以，，则，
因为对任意的恒成立，合乎题意.
综上所述，函数的解析式为
（3）解：由（2）可得，则函数在上连续.
①当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以；
②当时，在上单调递增，
所以．
综上，.
当时，恒成立，
即对恒成立，即，
易得函数在上单调递增，，所以，；
当时，恒成立，即恒成立，
因为函数、在上均为增函数，
则函数在上单调递增，且其最大值为，所以，.
综上所述，实数的取值范围是.
13．（2023·湖北黄冈）已知函数，.
(1)当时，求的最小值;
(2)若关于x的不等式在上有解，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）令，，不妨设，
，
若，，则，，，
，在是减函数.
若，，则，，
，在是增函数.
，，
.
（2）要使在上有解，则需恒成立.
对于，，
由（1）可知在递减，在递增，
同理可求得，
当时，，解得或，
当时，，解得，
当时，，解得，
综上得或，
因此，当时，不等式在上有解.
14．（2022秋·江苏连云港·高一江苏省新海高级中学校考期中）已知，函数，
(1)求在上的最小值；
(2)若对于任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】1）的对称轴为，
①当即时，最小值，
②当即时，最小值，
③当即时，最小值，，
综上，
（2）由题意得，
，由得，故在单调递减，在单调递增，
同理得在上的最小值
解不等式，
①当时，，即，解得，
②当时，，解得，
③当时，，解得，
④当时，此时，，故无解，
⑤当时，同理得无解，
综上，的取值范围为