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高中数学函数的奇偶性同步练习题
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这是一份高中数学函数的奇偶性同步练习题，共13页。
一．函数的奇偶性
1.奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(x)＋f(－x)＝0，偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0.
2.x具有对称性．因为函数y＝f(x)的奇偶性考查的是f(－x)与f(x)的关系，所以f(x)与f(－x)都有意义，即x与－x都应在函数的定义域内，所以定义域在数轴上关于原点对称．否则，这个函数一定不具有奇偶性，例
3.若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
4.既是奇函数又是偶函数的函数只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的非空数集.
二.函数的奇偶性与单调性
1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a2.若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a三.奇偶函数的运算性质
在公共定义域内：
1.两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；
2.两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数；
3.一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数.
四.函数的对称轴与对称中心(拓展)
(1)若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(T＋x)＝f(T－x)(T为常数)，则x＝T是f(x)的对称轴.
(2)若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(a，b为常数)，则(a，b)是f(x)的对称中心.
一．判断函数奇偶性的方法
1.定义法：一求二看三判断
2.图象法
3.性质法
设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
4.分段函数奇偶性的判断，要分别从x＞0或x＜0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．
二．利用奇偶性求解析式
1.求哪个区间上的解析式，x就设在那个区间上；(2)把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中；
2.利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x).
三．利用函数奇偶性和单调性解不等式
1.利用图象解不等式．
2.转化为简单不等式求解．
（1）利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)的形式；
（2）根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解．
注意：列不等式(组)时不要忘掉函数定义域．
四．比较大小的
1.在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小．
2.不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
五．函数的周期性、奇偶性与单调性的综合应用
函数周期性的概念：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期，T的最小正数取值称为函数f(x)的最小正周期．
考点一 函数奇偶性的判断
【例1-1】（2023·山西）判断下列函数的奇偶性：
； (2) ； (3).
（4）； （5）
【一隅三反】
1．（2023春·上海宝山）函数的奇偶性为（ ）
A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数
2．（2023·高一课时练习）函数的奇偶性是（ ）
A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数
3．（2023·北京）下列函数中，是偶函数的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·天津滨海）下列判断正确的是（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．是偶函数D．既是奇函数又是偶函数
5．（2023·全国·高一假期作业）对于两个定义域关于原点对称的函数和在它们的公共定义域内，下列说法中正确的是（ ）
A．若和都是奇函数，则是奇函数
B．若和都是偶函数，则是偶函数
C．若是奇函数，是偶函数，则是偶函数
D．若和都是奇函数，则不一定是奇函数
考点二 奇偶函数的图像特征
【例2】（2022秋·安徽马鞍山）已知定义在R上的函数是奇函数，且当时，．
(1)求和的值；
(2)求函数的解析式；
(3)作函数的图象，并写出它的单调区间和值域．
【一隅三反】
1．（2023春·上海金山·高一统考阶段练习）已知．
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)判断并证明函数在区间上的单调性；
(3)根据函数的性质，画出函数的大致图像．
2．（2023·河南三门峡·高一统考期末）已知函数的图象关于原点对称，且当时，．
(1)试求在上的解析式；
(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间．
3．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）已知函数是定义在R上的偶函数，如图所示，现已画出函数在y轴左侧的图象，
(1)请画出y轴右侧的图像，并写出函数的解析式和单调减区间；
(2)若函数，求函数的最大值．
考点三 利用奇偶性求函数值
【例3-1】（2023春·云南红河）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则___.
【例3-2】（2023·广东）已知函数，且，则______．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高一假期作业）已知是上的奇函数，当时，，则（ ）
A．4B．C．7D．
2．（2023·全国·高一假期作业）已知是定义在上的奇函数，且，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023·湖南）已知函数，且，则______．
考点四 利用奇偶性求函数解析式
【例4-1】（2022秋·江西景德镇·高一统考期中）若是上的奇函数，且当时，，则当，______．
【例4-2】（2023·广西）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则函数在R上的表达式为______．
【一隅三反】
1．（2023·重庆璧山）已知函数在上为偶函数，且当时，，则当时，的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高一假期作业）已知是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的表达式为_________．
3．（2023·山东）已知奇函数则__________．
考点五 函数奇偶性的应用
【例5-1】（2022秋·江西宜春·高一校考阶段练习）设是定义在上偶函数，则在区间上是（ ）
A．增函数B．减函数C．先增后减函数D．与，有关，不能确定
【例5-2】（2023安徽）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【例5-3】（2023春·河南）已知函数为定义在上的奇函数，且当时，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【例5-4】（2023春·江苏扬州·高一统考开学考试）已知是定义在上的偶函数，对于任意的，（），都有成立．若，则实数m的取值范围为（ ）
A．或B．
C．或 D．
【一隅三反】
1．（2023·江苏盐城）设是定义在上的奇函数，则＝（ ）
A．B．C．D．
2．（2023福建）已知是奇函数且对任意正实数，恒有，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023秋·高一单元测试）设偶函数 在区间 上单调递增， 则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·广东深圳）定义在上的偶函数在单调递减，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022秋·高一课时练习）若函数在上是偶函数，在上单调递增，则，，的大小关系是___________.
6．（2023·贵州黔西·高一统考期末）已知定义域为的函数是奇函数且.若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为_______.
考点六 函数性质的综合运用
【例6-1】（2023·北京）函数是定义在上的奇函数，且．
(1)确定的解析式；
(2)判断在上的单调性，并证明你的结论；
(3)解关于的不等式．
【例6-2】（2023春·广西南宁·高一校联考开学考试）设函数是定义在上的增函数，对于任意都有．
(1)证明是奇函数；
(2)解不等式．
【一隅三反】
1．（2023·江苏苏州）已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用单调性定义证明；
(3)解不等式.
2．（2023·陕西渭南）已知二次函数.
(1)若函数是偶函数，求实数的值；
(2)是否存在实数，使得函数在上的值域也是?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
3．（2023秋·高一单元测试）已知函数y＝f(x)的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，且当x>0时，f(x)<0恒成立.
(1)证明函数y＝f(x)是R上的单调函数；
(2)讨论函数y＝f(x)的奇偶性；
(3)若f(x2－2)＋f(x)<0，求x的取值范围.
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
一．函数的奇偶性
1.奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(x)＋f(－x)＝0，偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0.
2.x具有对称性．因为函数y＝f(x)的奇偶性考查的是f(－x)与f(x)的关系，所以f(x)与f(－x)都有意义，即x与－x都应在函数的定义域内，所以定义域在数轴上关于原点对称．否则，这个函数一定不具有奇偶性，例
3.若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
4.既是奇函数又是偶函数的函数只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的非空数集.
二.函数的奇偶性与单调性
1.若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a
在公共定义域内：
1.两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；
2.两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数；
3.一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数.
四.函数的对称轴与对称中心(拓展)
(1)若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(T＋x)＝f(T－x)(T为常数)，则x＝T是f(x)的对称轴.
(2)若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(a，b为常数)，则(a，b)是f(x)的对称中心.
一．判断函数奇偶性的方法
1.定义法：一求二看三判断
2.图象法
3.性质法
设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
4.分段函数奇偶性的判断，要分别从x＞0或x＜0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．
二．利用奇偶性求解析式
1.求哪个区间上的解析式，x就设在那个区间上；(2)把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中；
2.利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x).
三．利用函数奇偶性和单调性解不等式
1.利用图象解不等式．
2.转化为简单不等式求解．
（1）利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)的形式；
（2）根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解．
注意：列不等式(组)时不要忘掉函数定义域．
四．比较大小的
1.在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小．
2.不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．
五．函数的周期性、奇偶性与单调性的综合应用
函数周期性的概念：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期，T的最小正数取值称为函数f(x)的最小正周期．
考点一 函数奇偶性的判断
【例1-1】（2023·山西）判断下列函数的奇偶性：
； (2) ； (3).
（4）； （5）
【一隅三反】
1．（2023春·上海宝山）函数的奇偶性为（ ）
A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数
2．（2023·高一课时练习）函数的奇偶性是（ ）
A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数
3．（2023·北京）下列函数中，是偶函数的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·天津滨海）下列判断正确的是（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．是偶函数D．既是奇函数又是偶函数
5．（2023·全国·高一假期作业）对于两个定义域关于原点对称的函数和在它们的公共定义域内，下列说法中正确的是（ ）
A．若和都是奇函数，则是奇函数
B．若和都是偶函数，则是偶函数
C．若是奇函数，是偶函数，则是偶函数
D．若和都是奇函数，则不一定是奇函数
考点二 奇偶函数的图像特征
【例2】（2022秋·安徽马鞍山）已知定义在R上的函数是奇函数，且当时，．
(1)求和的值；
(2)求函数的解析式；
(3)作函数的图象，并写出它的单调区间和值域．
【一隅三反】
1．（2023春·上海金山·高一统考阶段练习）已知．
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)判断并证明函数在区间上的单调性；
(3)根据函数的性质，画出函数的大致图像．
2．（2023·河南三门峡·高一统考期末）已知函数的图象关于原点对称，且当时，．
(1)试求在上的解析式；
(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间．
3．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）已知函数是定义在R上的偶函数，如图所示，现已画出函数在y轴左侧的图象，
(1)请画出y轴右侧的图像，并写出函数的解析式和单调减区间；
(2)若函数，求函数的最大值．
考点三 利用奇偶性求函数值
【例3-1】（2023春·云南红河）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则___.
【例3-2】（2023·广东）已知函数，且，则______．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高一假期作业）已知是上的奇函数，当时，，则（ ）
A．4B．C．7D．
2．（2023·全国·高一假期作业）已知是定义在上的奇函数，且，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（2023·湖南）已知函数，且，则______．
考点四 利用奇偶性求函数解析式
【例4-1】（2022秋·江西景德镇·高一统考期中）若是上的奇函数，且当时，，则当，______．
【例4-2】（2023·广西）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则函数在R上的表达式为______．
【一隅三反】
1．（2023·重庆璧山）已知函数在上为偶函数，且当时，，则当时，的解析式是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高一假期作业）已知是定义域为R的奇函数，当时，，则当时，的表达式为_________．
3．（2023·山东）已知奇函数则__________．
考点五 函数奇偶性的应用
【例5-1】（2022秋·江西宜春·高一校考阶段练习）设是定义在上偶函数，则在区间上是（ ）
A．增函数B．减函数C．先增后减函数D．与，有关，不能确定
【例5-2】（2023安徽）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【例5-3】（2023春·河南）已知函数为定义在上的奇函数，且当时，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【例5-4】（2023春·江苏扬州·高一统考开学考试）已知是定义在上的偶函数，对于任意的，（），都有成立．若，则实数m的取值范围为（ ）
A．或B．
C．或 D．
【一隅三反】
1．（2023·江苏盐城）设是定义在上的奇函数，则＝（ ）
A．B．C．D．
2．（2023福建）已知是奇函数且对任意正实数，恒有，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023秋·高一单元测试）设偶函数 在区间 上单调递增， 则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·广东深圳）定义在上的偶函数在单调递减，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022秋·高一课时练习）若函数在上是偶函数，在上单调递增，则，，的大小关系是___________.
6．（2023·贵州黔西·高一统考期末）已知定义域为的函数是奇函数且.若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为_______.
考点六 函数性质的综合运用
【例6-1】（2023·北京）函数是定义在上的奇函数，且．
(1)确定的解析式；
(2)判断在上的单调性，并证明你的结论；
(3)解关于的不等式．
【例6-2】（2023春·广西南宁·高一校联考开学考试）设函数是定义在上的增函数，对于任意都有．
(1)证明是奇函数；
(2)解不等式．
【一隅三反】
1．（2023·江苏苏州）已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用单调性定义证明；
(3)解不等式.
2．（2023·陕西渭南）已知二次函数.
(1)若函数是偶函数，求实数的值；
(2)是否存在实数，使得函数在上的值域也是?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
3．（2023秋·高一单元测试）已知函数y＝f(x)的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，且当x>0时，f(x)<0恒成立.
(1)证明函数y＝f(x)是R上的单调函数；
(2)讨论函数y＝f(x)的奇偶性；
(3)若f(x2－2)＋f(x)<0，求x的取值范围.
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
关于y轴对称
奇函数
设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
关于原点对称
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