高中数学人教版第一册下册函数的奇偶性同步达标检测题

这是一份高中数学人教版第一册下册函数的奇偶性同步达标检测题，共28页。试卷主要包含了下列关于奇函数与偶函数的叙述中等内容，欢迎下载使用。

1．（2023·高一课时练习）下列函数中，是奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】对于A，的定义域为R，，函数是奇函数，A是；
对于B，的定义域为R，，函数不是奇函数，B不是；
对于C，的定义域为R，，函数不是奇函数，C不是；
对于D，的定义域为R，，函数不是奇函数，D不是.
故选：A
2．（2023·高一课时练习）下列关于奇函数与偶函数的叙述中：
①奇函数的图象必通过原点；
②偶函数的图象必与y轴相交；
③奇函数或偶函数的定义域必关于原点对称；
④既是奇函数又是偶函数的函数必是.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解析】奇函数的图象关于原点对称，但不一定过原点，如，故①错；
偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与轴相交，如，故②错；
根据奇函数或偶函数的定义，其定义域必关于原点对称，故③对；
既是奇函数又是偶函数的函数不一定是，如，故④错；
故选：B
3．（2023·高一课时练习）已知，则等于（ ）
A．8B．C．D．10
【答案】C
【【解析】函数的定义域为R，
令函数，显然，
即函数是R上的奇函数，因此，即，而，
所以.故选：C
4（2023·河北）已知为偶函数，当时，，则当时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当时，，则，又因为是偶函数，所以.故选：B.
5．（2022秋·河南）已知是定义在R上的奇函数，当时则在R上的表达式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】当时，，所以，则，
结合已知解析式知：.故选：D
6．（2023·浙江）已知是上的偶函数，当时，，则（ ）
A．1.4B．3.4C．1.6D．3.6
【答案】C
【解析】因为是上的偶函数，所以，所以关于对称，
当时，，所以.故选：C.
7．（2022秋·江西赣州·高一统考期中）函数且，则（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】A
【解析】由，令，
则，，故是奇函数，
所以，
所以．故选:A．
8．（2023北京）已知是定义在上的周期为3的偶函数，若，，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由是定义在上的周期为3的偶函数，则，即，解得，
所以实数的取值范围是.故选：A.
9．（2023·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期末）已知函数关于对称，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数关于对称，所以函数的图象关于对称，即函数为偶函数，
所以，所以，
因为当时，恒成立，所以函数在上单调递增，
又，所以，所以，故选：A.
10．（2022秋·安徽马鞍山）若定义在上的函数为奇函数，且在上单调递增，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为为的奇函数，又，在上单调递增，
所以，函数在上单调递增，
由，可得，或，或，由，，可得；
由，，可得；所以的解集为.故选：D.
11．（2022秋·江西抚州）下列四个函数中是偶函数，且在上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对于A，是偶函数，当时是增函数；
对于B，是偶函数，当时是增函数；
对于C，，不是偶函数；
对于D，设，则，，
当时，，，是偶函数，
当时，，是对称轴，开口向上的抛物线，是减函数；
故选：D.
12．（2023·浙江）（多选）已知定义域为的函数满足：，，且，则下列结论成立的是（ ）
A．B．为偶函数C．为奇函数D．
【答案】ABD
【解析】因为，，
取可得，
又，所以，A对；
取可得，
因为，所以，
所以为偶函数，C错，B对；
取可得，
又，
所以，D对．
故选：ABD
12．（2022秋·江西赣州·高一统考期中）（多选）定义在上的函数满足，且是单调函数，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】因为定义在上的函数满足，所以是奇函数，从而，所以A正确；
因为是单调函数，且，所以是上的单调递增函数，
故，所以B正确；取，则满足题干的所有条件，
此时，所以C错误；由于，
且是上的单调递增函数，故，所以D正确.故选：ABD.
13．（2023秋·浙江衢州·高一统考期末）（多选）已知定义在上的非常数函数满足，则（ ）
A．B．为奇函数C．是增函数D．是周期函数
【答案】AB
【解析】对于A项，令得：，解得：，故A项正确；
对于B项，令得：，由A项知，，所以，所以为奇函数，故B项正确；
对于C项，当时，，，满足，但是减函数.故C项错误；
对于D项，当时，，，满足，但不是周期函数.故D项错误.
故选：AB.
14．（2023春·云南普洱·高一校考阶段练习）（多选）设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．是偶函数B．是偶函数
C．是偶函数D．是偶函数
【答案】ABD
【解析】因为满足，所以是偶函数；
因为满足，所以是偶函数，
因为满足，所以是奇函数；
因为满足，所以是偶函数；
故选：ABD．
15．（2023春·云南普洱·高一校考阶段练习）（多选）下列函数中，既是偶函数又是在区间上单调递增的函数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】是偶函数，在区间上单调递增，故A满足；
是奇函数，故B不满足；
是偶函数，但在区间上单调递减，故C不满足；
是偶函数，在区间上单调递增，故D满足，
故选：AD
16．（2023·新疆）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为_________．
【答案】
【解析】由于函数是上的奇函数，则.
当时，，
设，则，则，
所以.
综上所述，.
故答案为：
17．（2023·高一课时练习）己知偶函数的定义域为，且在上是增函数，若，则不等式的解集是__________．
【答案】
【解析】因为是偶函数，且在上是增函数，
所以在上是减函数，
又，所以，
当时，不等式即为，解得；
当时，不等式即为，解得，
此时，
故答案为：，
18．（2022秋·贵州毕节·高一统考期末）设函数，的最大值为，最小值为，则__________．
【答案】4
【解析】的定义域是，，
所以为奇函数，设的最大值为，则最小值为，
所以，所以．故答案为：
19．（2022秋·高一单元测试）若定义在R上的函数满足：对任意，有，则下列说法中：①为奇函数；②为偶函数；③为奇函数；④为偶函数.一定正确的是_________________.
【答案】③
【解析】对任意，有，
令，得，
令，，得，
整理得，故为奇函数，
无法判断的奇偶性.
故答案为：③.
20．（2022春·北京·高一校考期中）已知函数是定义在上的偶函数，，当时，，则不等式的解集是______.
【答案】
【解析】函数是定义在上的偶函数，，解得.
又，当时，，
函数在上单调递减，，
，解得，故答案为：.
21．（2023·江苏苏州）已知偶函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】由题知：在区间上单调递减，在上单调递增，
且，
当时，，，，符合题意，
当时，，，，不符合题意，
当时，，，，符合题意，
当时，，，，不符合题意，
综上的解集为
故答案为：
22．（2022秋·广东佛山）若函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，函数的解析式为_________；若函数是定义在上的偶函数，且在上为增函数．则不等式的解集为_________
【答案】
【解析】令，即，则；
由题意可得：.
故答案为：；
23．（2022秋·广东肇庆）已知函数是定义在上的函数．
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)判断函数的单调性，并用定义法证明；
【答案】(1)奇函数，证明见解析
(2)f（x）在（－1，1）上为单调递增函数，证明见解析
【解析】（1）函数f（x）为奇函数
证明如下：函数f（x）的定义域为，
.
所以函数f（x）为奇函数.
（2）f（x）在上为单调递增函数
证明如下：
设－1＜x1＜x2＜1，
则.
因为－1＜x1＜x2＜1，，
所以，
则.
故f（x）在上为单调递增函数.
24．（2022春·海南省直辖县级单位·高一海南二中校考开学考试）已知函数．
(1)判断的奇偶性并证明；
(2)当时，判断的单调性并证明；
(3)在(2)的条件下，若实数满足，求的取值范围.
【答案】(1)奇函数，证明见解析；
(2)单调递增，证明见解析；
(3)．
【解析】（1）是奇函数，证明如下：
∵f(x)的定义域关于原点对称，
且，
∴函数是奇函数；
（2）f(x)在上单调递增，证明如下：
任取，且，
则，
∵，∴，
∴，即，
∴f(x)在上单调递增；
（3）由(2)知函数在上单调递增，由，
得，解之得，
∴实数的取值范围是．
25．（2023山东）已知是定义在R上的偶函数，当时，.
(1)求的解析式；
(2)画出的图象；
(3)求该函数的值域．
【答案】(1)
(2)图象见解析
(3)
【解析】（1）当时，，故，
因为是定义在R上的偶函数，所以，
所以，
综上，；
（2）当时，，
故此时函数在上单调递减，在上单调递增，
又因为为偶函数，故在上单调递减，在上单调递增，
且，，
画出函数图象如下：
（3）由（2）可知看出函数的值域为.
26．（2023·高一课时练习）若函数对任意，恒有成立，且．
(1)求证：是奇函数；
(2)求的值；
(3)若时，，试求在上的最大值和最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)，
(3)最大值为2，最小值为
【解析】（1）定义域为，令，得，再令，得，
所以，故是奇函数；
（2）因为，故令得，即，
又是奇函数，所以，
令得，
令得
故；
（3）不妨设，
中，令得，
，
因为，又时，，
所以，即，
所以在R上单调递减，
故．
27．（2023春·湖北宜昌·高一校考阶段练习）已知函数．
(1)若，判断的奇偶性（不用证明）．
(2)当时，先用定义法证明函数在上单调递增，再求函数在上的最小值．
(3)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)奇函数
(2)证明见解析，最小值为
(3)
【解析】（1）为奇函数．理由如下：
，
函数的定义域为，关于原点对称，
，
所以是奇函数．
（2）当时，，
，且，
所以，
因为，
所以，，，
所以，即，于是有，
所以函数在上单调递增，
所以函数在上的最小值为．
（3）若对任意，恒成立，
则
所以问题转化为a大于函数在上的最大值，
，，
由二次函数函数的性质知，开口向下，对称轴为，
所以函数在上单调递减，
所以最大值为，即.
所以实数a的取值范围是．
28．（2023秋·浙江杭州·高一杭十四中校考期末）已知函数是定义在R上的偶函数.
(1)求实数m的值；
(2)利用定义证明在上的单调性；
(3)若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)-1.
(2)证明见解析.
(3).
【解析】（1）因为函数是定义在R上的偶函数，
，
.
（2）由（1）可知，
设，
，，，
，，
，在上的单调递增.
（3）,,
又因为函数是定义在R上的偶函数，在上的单调递增.
，
当，当
，求实数a的取值范围是.
29．（2022秋·云南西双版纳·高一西双版纳州第一中学校考期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有.
(1)求，的值；
(2)判断的单调性（不需要写证明过程）；
(3)若对，都有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)函数在为单调递增函数
(3)
【解析】1）函数是定义在上的奇函数
∴，即∴.
又因为，即，所以，经检验得符合题意.
综上所述，.
（2）由（1）知，，，所以，由对勾函数的性质知，在上单调递减，所以在上单调递增，
又因为函数是定义在上的奇函数
所以函数在为单调递增函数.
（3）由（1）可知，，则
因为当时，有，函数是定义在上的奇函数
所以，
所以，
综上所述，，
由（2）知，函数在区间上单调递增，
所以，
由于对恒成立，则，，
即，于是有，解得或，
因此，实数的取值范围是.
1．（2023四川省达州）是定义域为R的奇函数，，，则（ ）
A．3B．C．6D．0
【答案】B
【解析】由知，函数是以4为周期的周期函数，又是奇函数，，
所以.
故选：B
2．（2023春·海南省直辖县级单位·高一嘉积中学校考期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，则（ ）
A．B．2C．0D．5
【答案】D
【解析】因为是定义在上的奇函数，所以，
因为，所以，
所以，
所以的周期为6，
所以
，
故选：D
3．（2022春·安徽滁州·高一统考期末）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，则，
若函数满足，则有，
则有，可得，则函数是周期为8的周期函数，
所以，
因为，
所以，
因为当时，，
所以，即.
故选：A.
4．（2023春·湖北·高一荆州中学校联考期中）设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】不妨设，且，
因为，所以，
不等式两边同除以得，，即，
令，则，
所以在上单调递减，
定义域为，
又是定义在上的奇函数，
故，
所以为偶函数，
故在上单调递增，
因为，所以，
当时，变形得到，即，解得，
所以解集为，
当时，变形得到，即，解得，
所以解集为，
所以不等式的解集为.
故选：D
5．（2023春·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考阶段练习）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为为奇函数，所以有，
因为为偶函数，所以有，
，
所以函数的周期为，
由，
由，
由，
，
，
故选：A
6．（2023·云南·校联考模拟预测）（多选）已知，都是定义在上且不恒为0的函数，则（ ）
A．为偶函数
B．为奇函数
C．若为奇函数，为偶函数，则为奇函数
D．若为奇函数，为偶函数，则为非奇非偶函数
【答案】AD
【解析】选项A：
设，
因为是定义在上的函数，所以的定义域为，
，所以为偶函数，故A正确；
选项B：
，
因为是定义在上的函数，所以的定义域为，，所以为偶函数，故B错误；
选项C：
设，
因为，都是定义在上的函数，所以的定义域为，
因为为奇函数，为偶函数，所以，
所以为偶函数，故C错误；
选项D：
设，
因为，都是定义在上的函数，所以的定义域为，，
因为是不恒为0的函数，
所以不恒成立，所以不是奇函数，，
因为是不恒为0的函数，所以不恒成立，
所以不是偶函数，所以是非奇非偶函数，故D正确，
故选：AD.
7．（2023春·浙江杭州·高一浙江大学附属中学期中）（多选）已知是定义在R上的奇函数，且为偶函数，当时，，下列结论正确的有（ ）
A．函数的周期是4B．直线是函数的一条对称轴
C．在上单调递减D．
【答案】ABD
【解析】对于A，因为函数为偶函数，所以，
即的图象关于直线对称，
因为为奇函数，所以，
则，所以，
所以是周期为4的函数，故A正确；
因为关于直线对称，且为奇函数，
所以关于直线对称，又是周期为4的函数，
所以关于直线对称，
因为，所以直线是函数的一条对称轴，故B正确；
由是定义在上的奇函数，所以，
当时，，可得当时，，
令，则，所以，
此时单调递增，
因为，
所以在上的单调性相当于在上的单调性，故此时递增，故C错误；
，
所以，故D正确.
故选：ABD.
8．（2022秋·安徽合肥·高一统考期末）已知函数，其中m为常数.
(1)若函数是奇函数，求m的值；
(2)判断函数的单调性并证明；
(3)在（1）的条件下，对于任意，不等式恒成立，求实数n的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【解析】（1）函数，定义域为R，
若函数是奇函数，，
，，解得.
（2）在R上单调递减，证明如下，
任取，则，
由，有，，，
所以，即，故在R上单调递减；
（3）由（1）（2）可知，函数是奇函数且在R上单调递减，，即，
得，即，
令，则，
当，即时，在上单调递增，，解得，所以；
当，即时，，解得
当，即时，在上单调递减，，解得与矛盾，所以无解；
综上，实数n的取值范围为.
9．（2023·江苏苏州·高一统考期中）若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”.已知定义在上的奇函数，当时，.
(1)求的解析式；
(2)求函数在内的“倒域区间”；
(3)求函数在定义域内的所有“倒域区间”.
【答案】(1)
(2)
(3)和
【解析】（1）解：当时，则，
由奇函数的定义可得，
所以，.
（2）解：设，因为函数在上递减，且在上的值域为，
所以，，解得，
所以，函数在内的“倒域区间”为.
（3）解：在时，函数值的取值区间恰为，
其中且，，所以，，则，
只考虑或，
①当时，因为函数在上单调递增，在上单调递减，
故当时，，则，所以，，所以，，
由（2）知在内的“倒域区间”为；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
故当时，，所以，，所以，.
，
因为在上单调递减，则，解得，
所以，在内的“倒域区间”为.
综上所述，函数在定义域内的“倒域区间”为和.
10．（2023秋·广东揭阳）已知是定义在上的奇函数，其中、，且.
(1)求、的值；
(2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明；
(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)在上为减函数，证明见解析
(3)
【解析】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，则，可得，
则，则，解得，所以，，下面验证函数为奇函数.
对任意的，，故函数的定义域为，
则，故函数为奇函数，合乎题意，
因此，，.
（2）解：函数在上单调递减，证明如下：
任取、且，即，则，，
则，
所以，，故函数在上单调递减.
（3）解：若对任意的，总存在，使得成立，
则函数在上的值域为函数在上的值域的子集，
因为函数在上单调递减，
则当时，，，
所以，记在区间内的值域为.
①当时，在上单调递减，
则，，得在区间内的值域为.
因为，所以对任意的，总存在，使得成立.
②当时，，在上单调递减，且，
则，，得在区间内的值域为，
因为，所以对任意的，总存在，使得成立.
③当时，，在上单调递减，在上单调递增，
则，得在区间内的值域为
，所以，该不等式组无解；
④当时，，在上单调递减，在上单调递增，
则，得在区间内的值域为，不符合题意.
综上，实数的取值范围为.
11．（2023春·辽宁鞍山·高一校联考阶段练习）已知函数对于任意实数恒有，且当时，，又．
(1)判断的奇偶性并证明；
(2)求在区间的最小值；
(3)解关于的不等式：．
【答案】(1)为奇函数，证明见解析
(2)
(3)答案见解析
【解析】（1）为奇函数，理由如下：
函数的定义域为，关于原点对称，
令得，解得，
令得所以对任意恒成立，所以为奇函数，
（2）任取，且，则.因为当时，，所以.
，即，所以在上单调递增，
所以在区间的最小值为，
因为，令得，
令，得，
在区间的最小值为，
（3）由，
得，
由得，
由在上单调递增得整理得，即，
当时，，解得；当时，，
当时，，，解集为，
当时，，
当时，，解集为，
当时，，解集为，
当时，，解集为，
综上所述：当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为．