高中数学人教版第一册下册弧度制达标测试

这是一份高中数学人教版第一册下册弧度制达标测试，共21页。试卷主要包含了集合中的角所表示的范围是，象限角.等内容，欢迎下载使用。

1．（2023春·上海静安·高一统考期末）在平面直角坐标系中，以下命题中所表述的角都是顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合的角.
①小于的角一定是锐角；
②第二象限的角一定是钝角；
③终边重合的角一定相等；
④相等的角终边一定重合.
其中真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】对于①，的角是小于的角，但不是锐角，所以①错误，
对于②，的角是第二象限的角，但不是钝角，所以②错误，
对于③，的角和的角终边相同，但不相等，所以③错误，
对于④，因为角都是顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合的角，所以若角相等，则终边一定重合，所以④正确，
所以真命题的个数是1，
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当时，，此时表示的范围与表示的范围一样；
当时，，此时表示的范围与表示的范围一样，故选：C．
3（2023·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．角60和角600是终边相同的角
B．第三象限角的集合为
C．终边在轴上角的集合为
D．第二象限角大于第一象限角
【答案】C
【解析】，与终边不相，故A错误；
第三象限角的集合为，故B错误；
终边在轴上角的集合为，
即，
即，故C正确；
是第二象限角，第一象限角，，
故D错误；
故选：C.
4．（2023·全国·高一专题练习）已知为第三象限角，则为第（ ）象限角.
A．二或四B．三或四C．一或二D．二或三
【答案】A
【解析】因为为第三象限角，
所以
所以
当为偶数时，记,
所以
所以为第二象限角，
当为奇数时，记,
所以
所以为第四象限角，
所以为第二或第四象限角，
故选:A.
5（2023秋·浙江·高二校联考开学考试）一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为1cm）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁以的速度爬行，黑蚂蚁以的速度爬行，则2秒钟后，两只蚂蚁之间的直线距离为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【解析】
如图所示，红蚂蚁以的速度爬行，黑蚂蚁以的速度爬行，
则2秒钟后，红蚂蚁绕圆的角度为，到达B处，黑蚂蚁绕圆的角度为，到达C处，
此时，即为正三角形，故.
故选：A
6（2023秋·江西 ）《梦溪笔谈》是我国科技史上的杰作，其中收录了扇形弧长的近似计算公式：.如图，公式中“弦”是指扇形中所对弦的长，“矢”是指所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆的直径.若扇形的面积为，扇形的半径为4，利用上面公式，求得该扇形的弧长的近似值为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设该扇形的圆心角为，由扇形面积公式得，所以，
取的中点，连接，交于点，
则，则，
，，
所以扇形的弧长的近似值为.
故选：D

7．（2023春·黑龙江绥化·高一校考阶段练习）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜欢在扇面上写字作画．如图是书画家唐寅（1470—1523）的《枯木寒鸦图》扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，设，，

由弧长公式可得：，解得：，
扇形的面积，
扇形的面积
所以扇面的面积．
故选：D．
8．（2023春·安徽·高一校联考期中）勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.如图，勒洛三角形ABC的周长为π，则该勒洛三角形ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为勒洛三角形ABC的周长为π，
所以每段圆弧长为，解得，
即正三角形的边长为1，
由题意可得，
故选：C
9．（2023·全国·高一假期作业）下列说法正确的是（ ）
A．第一象限角一定是锐角B．终边相同角一定相等
C．小于90°的角一定是锐角D．钝角的终边在第二象限
【答案】D
【解析】对于A，第一象限角是，第一象限角不一定是锐角，故A错误；
对于B，终边相同角不一定相等，它们可能差，故B错误；
对于C，小于90°的角不一定是锐角，也可能是零角或者负角，故C错误；
对于D，钝角是大于90°且小于180°的角，故D正确；
故选：D.
10．（2023春·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考期中）数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形，再分别以点为圆心，线段长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为，则其面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】莱洛三角形的周长为，可得弧长，
则等边三角形的边长，
分别以点A、B、C为圆心，圆弧所对的扇形面积均为，
等边的面积，
所以莱洛三角形的面积是.
故选：C.
11．（2023春·云南曲靖·高一校考阶段练习）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体II·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴.如图所示，水滴是由线段和圆的优弧围成，其中恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为1，点到圆弧所在圆圆心的距离为2，则该封闭图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图，
设圆弧所在圆的圆心为，连接，依题意得，
且，则，
所以，
所以该封闭图形的面积为.
故选：A.
12（2023秋·山东临沂·高一校考期末）设，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为表示终边落在轴上角的集合，
表示终边落在轴正半轴上角的集合，
表示终边落在轴负半轴上角的集合，
所以，，正确；，故错误.
故选：D
13．（2023春·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校考期中）（多选）下列结论正确的是（ ）
A．是第二象限角
B．第三象限角的集合为
C．终边在轴上的角的集合为
D．若角为锐角，则角为钝角
【答案】AC
【解析】对于选项A：因为，且为第二象限角，
所以是第二象限角，故A正确；
对于选项B：第三象限角的集合为，故B错误；
对于选项C：终边在轴上的角的集合为，故C正确；
对于选项D：若角为锐角，即，则，所以角不一定为钝角，
例如，则为直角，故D错误；
故选：AC.
14（2023·全国·高一课堂例题）（多选）与角终边相同的角的集合是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】与终边相同的角可写为：，
，，，
与角终边相同的角的集合为：，A正确；，C正确.
故选：AC.
15．（2022秋·河北石家庄·高一石家庄精英中学校考阶段练习）（多选）下列说法正确的有（ ）
A．
B．若角是锐角，则是第一或第二象限角
C．若角是第二象限角，则是第一或第三象限角
D．角是第三或第四象限角的充要条件是
【答案】AC
【解析】由题意A项，∴故A正确.
B项，若角是锐角，∴∴
∴不仅可能是第一或第二象限角，也可能在轴上，故B错误.
C项，若角是第二象限角，∴∴
则是第一或第三象限角故C正确.
D项，若角是第三或第四象限角
则，且∴，必要性成立
若，则
∴角是第三或第四象限角或在轴的负半轴上充分性不成立故错误.故选：AC.
16．（2023秋·吉林长春·高一长春市实验中学校考期末）（多选）若角是第二象限角，则下列各角中是第三象限角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】因为角是第二象限角，所以，，
对于A ，，，故是第三象限角，故A正确；
对于B，，，故是第一象限角，故B不正确；
对于C ，，，故是第三象限角，故C正确；
对于D，,,故是第三象限角或轴负半轴上的角或第四象限角，故D不正确.
故选：AC
17（2022秋·陕西商洛·高一校考阶段练习）（多选）下列转化结果正确的是（ ）
A．化成弧度是B．化成角度是
C．化成弧度是D．化成角度是
【答案】ABD
【解析】对于A, 化成弧度是,故A正确，
对于B，，故B正确，
对于C，，故C错误，
对于D，，故D正确，
故选：ABD
18．（2023春·江西上饶·高一上饶市第一中学校考阶段练习）如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合为 ．

【答案】．
【解析】由图，阴影部分下侧终边相同的角为，上侧终边相同的角为且，
所以阴影部分（包括边界）的角的集合为.
故答案为：
19．（2023·全国·高三专题练习）若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线上，则角α的取值集合是
【答案】
【解析】直线的倾斜角是，所以终边落在直线上的角的取值集合为
故答案为：
20．（2023秋·江西抚州·高二江西省乐安县第二中学校考开学考试）若扇形的圆心角为，半径.则它的弧长为 .
【答案】
【解析】因为，又扇形的圆心角为，半径为，
所以它的弧长为，
故答案为：
22．（2023春·江西上饶·高一统考期末）已知是边长为2的等边三角形.如图，将的顶点与原点重合，在轴上，然后将三角形沿着轴正方向滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个点之间的距离称为“一个周期”，则完成“一个周期”时，顶点的路径长度为 .
【答案】/
【解析】如图，
顶点先以2为半径绕点顺时针旋转弧度，再以2为半径绕点顺时针旋转弧度，其路径长度为.
故答案为：
23．（2023·全国·高一课堂例题）若角是第二象限角，试确定角，是第几象限角．
【答案】可能是第三象限角、第四象限角或终边在轴非正半轴上的角；可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角
【解析】因为是第二象限角，所以，
可得，
所以可能是第三象限角、第四象限角或终边在轴非正半轴上的角．
又由 ，
当时，，此时是第一象限角；
当时，，此时是第二象限角；
当时，，此时是第四象限角．
综上所述，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角．
24．（2023·全国·高一假期作业）已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r．
(1)若，求扇形的弧长．
(2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设扇形的弧长为l．
因为，即，
所以．
（2）由题设条件，知，则，
所以扇形的面积．
当时，S有最大值36，
此时，
所以当时，扇形的面积最大，最大面积是36．
25．（2023春·江西抚州·高一江西省抚州市第一中学校考期中）某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成的)．已知米，米，线段、线段与弧、弧的长度之和为米，圆心角为弧度．
(1)求关于的函数解析式；
(2)记该宣传牌的面积为，试问取何值时，的值最大?并求出最大值．
【答案】(1)；
(2)当时，y的值最大，最大值为．
【解析】（1）根据题意，弧的长度为米，弧的长度米，
，
．
（2）依据题意，可知，
化简得：，，
当，．
∴当时，y的值最大，且最大值为．
26．（2022秋·陕西商洛·高一校考阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为．
(1)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角；
(2)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．
【答案】(1)
(2)取得最大值25，此时
【解析】（1）由题意得，解得(舍去)，．
所以扇形圆心角．
（2）由已知得，．
所以，
所以当时，取得最大值25，
,解得.
当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大为25.
27．（2023秋·高一课时练习）已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是R.
（1）若，，求扇形的弧长l及面积S；
（2）若扇形的周长是一定值C（），当为多少弧度时，该扇形有最大面积？并求最大面积；
（3）若扇形的面积是一定值S（），当为多少弧度时，该扇形有最小周长？并求最小周长.
【答案】13.（1），；（2）当弧度时，扇形面积最大，为；（3）当弧度时，扇形周长最小，为.
【解析】（1）若，，则，所以扇形的弧长，扇形的面积；
（2）扇形周长，
，
．
当且仅当，即时，扇形面积有最大值．
（3）扇形的面积，所以
所以当且仅当即时周长取得最小值
1．（2023秋·江苏淮安·高一统考期末）如图，正六边形的边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则围成的阴影部分的面积为 ．

【答案】
【解析】如图，连接.
由题意知，线段的长度都等于半径，
所以，为正三角形，则，
故的面积为，
扇形的面积为，
由图形的对称性可知，扇形的面积与扇形的面积相等，
所以阴影部分的面积.
故答案为：.

2．（2023春·山东潍坊·高一校联考期中）某数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线上取长度为的线段，并作等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点；再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点；再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点；再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，；以此类推，得到的螺线如图所示.当螺线与直线有个交点（不含点）时，则螺线长度为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【解析】第1次画线：以点为圆心，扇形半径为，旋转，划过的圆弧长为；
第2次画线：以点为圆心，扇形半径为，旋转，
划过的圆弧长为，交累计1次；
第3次画线：以点为圆心，扇形半径为，旋转，
划过的圆弧长为3，交累计2次；
第4次画线：以点为圆心，扇形半径为，旋转，
划过的圆弧长为；
第5次画线：以点为圆心，扇形半径为，旋转，
划过的圆弧长为，交累计3次；
前5次累计画线；
第6次画线：以点为圆心，扇形半径为，旋转，
划过的圆弧长为，交累计4次，累计画线.
故选：A.
3．（2023春·河北张家口·高一统考期中）如图，已知扇形的周长为，当该扇形的面积取最大值时，弦长（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，则，，
由可得，
所以，扇形的面积为，
当且仅当，即时，扇形的面积最大，此时．
因为，则扇形的圆心角，
取线段的中点，由垂径定理可知，

因为，则，
所以，.
故选：A.
4．（2023春·辽宁沈阳·高一沈阳二十中校联考期中）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，则下列结论错误的是（ ）（参考数据：）

A．
B．若，扇形的半径，则
C．若扇面为“美观扇面”，则
D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为
【答案】D
【解析】扇形的面积为，其圆心角为，半径为R，圆面中剩余部分的面积为，
选项A：.故A正确；
选项B：由，可得 ，解得，又扇形的半径，
则.故B正确；
选项C：若扇面为“美观扇面”，则，
解得.故C正确；
选项D：若扇面为“美观扇面”，则，又扇形的半径，
则此时的扇形面积为.故D错误.
故选：D
5（2023春·北京海淀·高一北大附中校考期中）如图放置的边长为1的正沿轴滚动．设顶点的运动轨迹对应的函数解析式为，给出下列结论，其中正确结论的个数为（ ）
①的图象关于点对称；
②的图象关于直线对称；
③在其两个相邻零点间的曲线长度为；
④在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积为．
说明：“正沿轴滚动”包括沿轴正方向和负方向滚动．沿轴正方向滚动指的是先以顶点为中心顺时针旋转，当顶点落在轴上时，再以顶点为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正可以沿轴负方向滚动．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】当正沿轴正方向滚动，
绕旋转轨迹是以为圆心，为半径，圆心角为的弧上，从旋转到；
绕旋转轨迹是以为圆心，为半径，圆心角为的弧上，从旋转到；
绕旋转时点不动，后续继续旋转重复上述过程，只是圆心位置改变，
同理，正沿轴负方向滚动，
先绕旋转，然后绕旋转，再绕旋转，每次旋转角度、半径都相同，只是圆心不同；
综上，在轴上部分轨迹如上图示，由图易知：区间图象在x轴上周期性出现，
所以的图象关于对称，不关于对称，①错，②对；
在其两个相邻零点间的曲线长度为，③对；
在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积为，④错.
故选：B
6．（2023秋·河南周口·高一校考开学考试）如图，等边三角形的边长为2，以为圆心，1为半径作圆分别交，边于，，再以点为圆心，的长为半径作圆交边于，连接，，那么图中阴影部分的面积为 .

【答案】
【解析】
过作于于，
∵等边三角形的边长为

∴图中阴影部分的面积为：
.
故答案为: .