高中数学人教版第一册上册第二章 函数函数课后练习题

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1．（2023·湖南）把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，可以得到函数y＝（ ）的图象
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以把图象上所有的点向右平移个单位长度即可得到函数的图象故选：D.
2．（2023·甘肃陇南 ）将函数图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，以下方程是函数图像的对称轴方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的，
纵坐标不变，得到函数的图像，
再将图像向右平移个单位长度，
得到，
其图像的对称轴满足，
即，
令时，有，
故选：C.
3．（2023秋·山东德州 ）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】对于A，，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：D.
4（2023春·河南新乡·高一新乡市第一中学校考阶段练习）已知曲线，，则下列结论正确的是（ ）
A．把上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
B．把上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C．把上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
D．把上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
【答案】D
【解析】因为，
把曲线上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，
可得到函数的图象，
再把所得图象向左平移个单位可得到曲线的图象.
故选：D.
5．（2023春·山东泰安·高一统考期中）为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点（ ）
A．向右平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度
【答案】B
【解析】因为，
所以只要把的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，可得的图象，
故选：B
6．（2023春·四川遂宁·高一射洪中学校考期中）要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）
A．向右平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向左平移个单位
【答案】B
【解析】因为，
所以将函数的图象向右平移个单位得到，
即函数的图象.
故选：B
7．（2023·江西赣州·统考模拟预测）将函数图象上的所有点向左平移个单位长度（纵坐标不变）后得到函数的图象，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
，
所以的最小值为.
故选：D
8．（2023秋·江苏宿迁·高一江苏省泗阳中学校考期末）已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（ ）

A．B．
C．函数为偶函数D．函数在区间上单调递减
【答案】BD
【解析】函数的部分图象，
可得，，，则．
又，所以，，
所以，，又，，，故A错误．
由，
，
，故B正确；
将函数的图象向左平移个单位长度得到，
则为奇函数，故C错误；
当则，因为在上单调递减，
所以函数在区间上单调递减，故D正确，
故选：BD．
9．（2023秋·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）（多选）已知函数，下列结论中不正确的有（ ）
A．函数的最小正周期为，且图象关于对称
B．函数的对称中心是
C．函数在区间上单调递增
D．函数的图象可以由的图象向右平移个单位得到
【答案】AC
【解析】因为，
所以函数的最小正周期为，，故A错误；
令，得，
所以的对称中心是，故B正确；
当时，，
又在上不单调，
所以在区间上不单调，故C错误；
的图象向右平移个单位得到的图像对应的解析式为:
，故D正确.
故选：AC.
10．（2023春·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考期中）（多选）将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于对称
B．若，，则的最小值为
C．函数的图象关于直线对称
D．函数的图象在上单调递增
【答案】AD
【解析】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），
可得的图象；再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.
由于当时，，故A正确；
的最小正周期为，若，，
则的最小值为一个周期，即，故B错误；
无对称轴，故C错误；
时，，且单调递增，
又函数在单调递增，由复合函数的单调性，
得函数的图象在上单调递增，故D正确.
故选：AD
11（2023湖北）（多选）已知函数，则下列说法中不正确的是（ ）
A．函数的周期是
B．函数的图象的一条对称轴方程是
C．函数在区间上为减函数
D．函数是偶函数
【答案】ACD
【解析】因为函数，所以周期是函数的周期的一半，
所以函数的周期为．故A错误；
当时，，所以是函数图象的一条对称轴．故B正确；
，
，
所以, 故C错误；
，则图像不关于y轴对称，故D错误，
故选ACD．
12．（2023春·江西抚州·高一统考期末）（多选）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．
B．函数的图象关于直线对称
C．函数图象向右平移个单位可得函数的图象
D．若方程在上有两个不等实数根，，则
【答案】ACD
【解析】对于A：由图可知，，所以，
所以，则，
将点代入得：，
所以，，又，所以，
所以，A正确；
对于B，因为，故B错误；
对于C，将函数图象向右平移个单位，
可得函数，故C正确；
对于D，因为，所以函数图象关于对称，
由条件结合图象可知，于是，
所以，故D正确．
故选：ACD．
13．（2023·全国·高三专题练习）（多选题）设函数，若的图象与直线在上有且仅有1个交点，则下列说法正确的是（ ）
A．的取值范围是
B．在上有且仅有2个零点
C．若的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则
D．若将图象上各点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，则在上单调递增
【答案】AC
【解析】，
因为的图象与直线在上有且仅有1个交点，
且，结合正弦函数的图象：

所以，
解得：，故A选项正确；
由图可知，在上可能有2个、3个、4个零点，故B选项错误；
的图象向右平移个单位长度得到，
则，解得，
因为，所以，故C选项正确；
，
则
因为，所以，
因为，故在上不一定单调递增，D选项错误；
故选：AC.
14．（2023秋·北京东城 ）函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为 ，若将的图象向右平移个单位后，得到新函数解析式为 .

【答案】
【解析】根据图象知，，
将点代入，得，
，又，则，
，
将的图象向右平移个单位后，得到新函数解析式为．
故答案为：，．
15．（2023秋·河北唐山·高一滦南县第一中学校考期末）设函数的图像上一个最高点，离最近的一个对称中心．
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得函数图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，求函数的单调减区间；
(3)求函数在闭区间内的最大值以及此时对应的的值．
【答案】(1)
(2)单调递减区间为
(3)时，有最大值为2
【解析】（1）解：因为图象的一个最高点为，则，
又最高点，离最近的一个对称中心之间的横向距离是，
所以最小正周期为，则，
故，且图像过，代入得，
即，所以，
又，所以，故；
（2）解：由题意可得
令，解得，
函数的单调递减区间为．
（3）解：因为，所以，则．
当时，即时，有最大值为2．
16．（2023春·江西宜春 ）已知函数
(1)求函数的最小正周期及对称轴方程；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在[0，2π]上的单调递减区间.
【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程为，
(2)
【解析】（1），
，
所以函数的最小正周期为，
令，，得函数的对称轴方程为，
（2）将函数的图象向左平移个单位后所得图象的解析式为，
所以，
令，
所以.又，
所以在上的单调递减区间为.
1．（2023·四川 ）将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的倍，得到函数的图象，若函数在区间内没有零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，得到，
再把所得函数图象的横、纵坐标都变为原来的倍，得到函数的图象，
即，因为函数在上没有零点，则，即，
即，则，由，得，得，
若函数在上有零点，则，，
即，又，则.当时，解得.
当时，解得.当时，解得，与矛盾.
综上，若函数在上有零点，则或，
则若没有零点，则或.
故选：C.
2．（2023春·浙江杭州·高一校考期中）（多选）已知函数，（ ）
A．若在区间上单调，则
B．将函数的图像向左平移个单位得到曲线C，若曲线C对应的函数为偶函数，则的最小值为
C．若方程在区间上恰有三个解，则
D．关于x的方程在上有两个不同的解，则
【答案】BCD
【解析】对于A，，，
若在区间上单调递增，则，
解得，由，则，又，解得，所以，
若在区间上单调递减，则，
解得，同理可得，有，
综上，或，A错误；
对于B，的图像向左平移个单位得到，
若为偶函数，则有，解得，，
而，所以最小值为，B正确；
对于C，，，
函数在区间上恰有三个极值点，则有，
解得：，C正确；
对于D，，即，
，，则，
解得： ，D正确.
故选：BCD
3．（2023秋·江苏苏州）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式及单调减区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和.
【答案】(1)，单调减区间为.
(2)
【解析】（1）由题意可知，函数，
又因为函数为奇函数，所以可得，，
又，解得
因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，
可得周期，由可得.
故函数.
令，
可得单调减区间为，.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数.
由方程得或，
即或（舍）
当时，，所以或或或；
即方程有四个实数根，不妨设为；
可得.
所以，
故所有根之和为.
4．（2023秋·安徽）已知函数的部分图象如图所示．
(1)求的解析式；
(2)将图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若与的图象关于对称，求不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由函数的图象，可得，所以，
又由，所以，可得，所以，
因为，即，
解得，即，
又因为，所以，所以，
即函数的解析式为.
（2）将图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），
得到函数，
设是函数的图象上的任意一点，点关于直线的对称点为，
则，代入函数，
可得，即，
又由不等式，即，
设，即，
由余弦函数的性质，可得，即，
解得或，
即，
即不等式的解集为.
5．（2023春·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）已知函数的最大值为，与直线的相邻两个交点的距离为.将的图象先向右平移个单位，保持纵坐标不变，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数.
(1)求的解析式.
(2)若，且方程在上有实数解，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为函数的最大值为，所以，
又与直线的相邻两个交点的距离为，所以，所以，
则.
将的图象先向右平移个单位，保持纵坐标不变，得到，
再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数.
（2），
在上有实数解，
即在上有实数解，
即在上有实数解，
令，所以，
由，所以，所以，则，
同时，所以，
所以在上有实数解，
等价于在上有解，即在上有解，
①时，无解；
②时，有解，
即在有解，即在有解，
令，，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的值域为，
所以在有解等价于.
综上：.
6．（2023春·四川成都·高一统考期末）已知函数，函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位得到的图象，.
(1)若，求；
(2)若对任意，存在使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】1）
，
若，则，
∴，∴.
（2），
当时，，，
若对任意，存在使得成立，
则函数的值域是的子集.
，
令，记，
当时，，
，
在时单调递减，则，即，
由题意得，解得，又，矛盾，所以无解；
当时，，
，
，
在时单调递减，在时单调递增，在时单调递减，
，
由题意得，解得，
又，所以；
当时，，，
，
在时单调递减，在时单调递增，
，
由题意，解得，
又，所以；
当时，，，
，
在时单调递减，则，即，
由题意得，解得，
又，所以，
综上可得，.