高一上学期期中考重难点归纳总结（解析版）2024-2025学年高一数学必修第一册（人教版）同步讲练

这是一份高一上学期期中考重难点归纳总结（解析版）2024-2025学年高一数学必修第一册（人教版）同步讲练，共22页。试卷主要包含了集合间的关系，充分条件与必要条件，常用的逻辑用语，不等式的性质，基本不等式，一元二次不等式，函数的三要素，函数的单调性等内容，欢迎下载使用。


考点一 集合间的关系
【例1-1】（2023秋·江苏南京·高一校考开学考试）已知集合M满足，则所有满足条件的集合M的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【解析】由题意可知，M中必含元素1，2，且至少含有3，4，5中的一个，
于是集合M的个数等价于集合的非空子集的个数，即．
故选：C.
【例1-2】（2023秋·江苏南京·高一校考开学考试）若集合，，且，则实数的值是（ ）
A．B．C．或D．或或0
【答案】D
【解析】当时，可得，符合题意，
当时，，
当时，，
综上，的值为或或.
故选：D.
【一隅三反】
1．（2023秋·湖南株洲·高一株洲二中校考阶段练习）若集合,则能使成立的所有组成的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时,即,时成立;
当时,满足,解得;
综上所述:.
故选:C.
2．（2023秋·辽宁抚顺·高一抚顺一中校考阶段练习）已知集合，，，则，，的关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，
，
，
且，，，，，，
所以.
故选：B
考点二 集合间的运算
【例2-1】（2023秋·福建莆田）已知全集，集合，或，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由或得，
又，
所以.
故选：B.
【一隅三反】
1．（2023秋·四川成都）设集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，，得，
所以，
故选：B
2．（2023秋·江苏盐城·高一校联考期末）设全集，集合，或，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，所以.
故选：C
3．（2023秋·湖南益阳 ）已知，，.则中的元素个数是（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】C
【解析】因为，，
所以集合是直线上的点的集合，集合是椭圆上的点的集合；
因为，所以若要求中的元素个数，只需联立方程即可；
联立并化简得，，
解得或，即椭圆和直线有两个交点或，
所以中的元素个数是2.
故选：C.
考点三 充分条件与必要条件
【例3-1】（2023秋·宁夏吴忠）使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．或
C．D．
【答案】C
【解析】由得，
因为选项中只有，
故只有C选项中的条件是使不等式成立的一个充分不必要条件．
故选：C.
【例3-2】（2022·全国·高一专题练习）荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积跬步”是“至千里”的（ ）
A．充分条件B．必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据“做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标”，即要达成目标必须一点一点积累，
所以 “积跬步”是“至千里”的必要条件.
故选：B
【一隅三反】
1．（2024秋·重庆沙坪坝 ）已知，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由不等式，等价于，解得，
由，故是的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2023春·四川广元）若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，则，
因为，则，
即是的充分而不必要条件，
所以，
故选：B
3．（2023秋·江苏南通）设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由，解得，
所以，
又由，解得，
所以，
因为是的必要不充分条件，
所以集合真包含于，
所以，解得，
经检验，时，，满足题意；
时，，满足题意；
所以实数的取值范围是.
故选:A.
考点四 常用的逻辑用语
【例4-1】2（湖北省鄂州市部分高中教研协作体2022-2023学年高一上学期期中数学试题）存在量词命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【解析】“”的否定是.
故选：B.
【例4-2】（2023·山西吕梁·统考二模）已知命题：，，则为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题设命题为真，即在上恒成立，
所以，
则为真命题的一个充分不必要条件应该是的一个真子集，
故选：A．
【一隅三反】
1．（2023秋·宁夏银川）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【解析】由全称命题的否定知：原命题的否定为，.
故选：D.
2．（2023秋·河南 ）若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由命题“”是真命题
则满足，即，所以．
故选：A．
3．（2023秋·高一课时练习）已知命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】命题，使为真命题，则，
解得或，
而命题“，使”是假命题，则，
所以实数a的取值范围是.
故选：D
考点五 不等式的性质
【例5】（2023秋·上海浦东新 ）已知，下列选项中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】对于选项A，因为，满足，但不满足，所以选项A错误；
对于选项B，因为，由不等性质，同向可加性知成立，所以选项B正确；
对于选项C，因为，满足，但不满足，所以选项C错误；
对于选项D，因为，满足，但不满足，所以选项D错误，
故选：B.
【一隅三反】
1（2023秋·黑龙江哈尔滨）如果，那么下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确.
故选：D.
2．（2023秋·四川南充·高一阆中中学校考开学考试）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，由基本不等式性质可得，
故，B正确，ACD错误.
故选：B
考点六 基本不等式
【例6-1】（2023秋·黑龙江哈尔滨 ）若，且，则的最小值为（ ）
A．4B．C．2D．
【答案】A
【解析】因为，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值为.
故选：A.
【例6-2】（2023秋·河北保定 ）若，且，则的最小值为（ ）
A．1B．5C．25D．12
【答案】C
【解析】因为，所以，
当且仅当时取等号，解不等式，，当，时，取等号.
故选：C
【一隅三反】
1．（2023秋·浙江 ）已知，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，且，
故，
当且仅当，即时取得等号.
故选：B
2．（2023秋·黑龙江鸡西）若正数x，y满足，则的最小值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】方法一 由条件得，
由，知，
从而，
当且仅当，即，时取等号．
故的最小值为5．
方法二 对原条件式转化得，
则 ，
当且仅当，，即，时取等号．
故的最小值为5．
故选：D
3．（2023秋·四川眉山 ）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据题意，两个正实数x，y满足，变形可得，即
则有，
当且仅当时，等号成立，则的最小值为2，
若不等式有解，则有，解可得或，
即实数m的取值范围是．
故选：D．
考点七 一元二次不等式
【例7-1】（2022秋·江西南昌·高一南昌市豫章中学校考阶段练习）若不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意知，不等式的解集为，
即为不等式在上恒成立，
当时，即时，不等式恒成立，满足题意；
当时，即时，则满足，
即，解得，
综上可得，实数的取值范围是.
故选：B.
【例7-2】（2022秋·全国·高一阶段练习）已知不等式的解集为，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】∵不等式的解集为，
∴，∴，
∴，
∴ABC都正确；
又，
∴D错误．
故选：D．
【一隅三反】
1．（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】因为不等式的解集为，
故相应的二次函数的图像开口向下，所以，故A错误；
易知2和是方程的两个根，则有，，
又，故，，故BC正确；
因为，所以，故D正确．
故选：BCD
2．（2023秋·辽宁朝阳 ）（多选）若关于的不等式的解集为，则的值不可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】因为，则二次函数的图象开口向上，
且关于的不等式的解集为，
所以，不等式的解集为，且，
所以，关于的二次方程的两根分别为、，
由韦达定理可得，则，
则，又因为，所以，，
所以，，
故选：AD.
3．（2022秋·全国·高一期中）若不等式对一切实数x都成立，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】由不等式对一切实数都成立，
当时，即，可得，此时对一切实数都成立；
当时，则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围是.
故答案为：.
考点八 函数的三要素
【例8-1】（2022秋·江西南昌·高一校考期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为函数的定义域为，所以满足，即，
又函数有意义，得，解得，
所以函数的定义域为.
故选：C
【例8-2】（2023秋·浙江台州·高一温岭中学校考开学考试）下列选项中表示同一函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】C
【解析】对于A，因为定义域为，而的定义域为，
所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数；
对于B，因为定义域为，而的定义域为，
所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数；
对于C，易知函数和的定义域为，值域为，且所以是同一函数．
对于D，易知函数和的定义域为，
而的值域为，的值域为，两函数值域不同，
故不能表示同一函数.
故选：C．
【例8-3】（2023秋·重庆沙坪坝 ）已知函数的定义域为，则实数k的取值范围为（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得，恒成立，
当时，即，很显然不满足，
当时，有，解得.
综上可得，.
故选：B
【一隅三反】
1．（2023秋·湖南株洲·高一株洲二中校考阶段练习）下列选项中表示同一函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】D
【解析】对于A，的定义域为，而定义域为R，
故二者不是同一函数；
对于B，的定义域为R，与的定义域为，
故二者不是同一函数；
对于C，与对应关系不同，
故二者不是同一函数；
对于D，与的定义域以及对应关系、值域都相同，
故二者为同一函数，
故选：D
2．（2022秋·四川遂宁·高一射洪中学校考期中）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．且D．且
【答案】D
【解析】由题意可知：且，
故选：D
3．（2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由函数的定义域为，即，得，
因此由函数有意义，得，解得，
所以函数的定义域为.
故选：D
4．（2023·全国·高一专题练习）下列图象中，不是函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据函数的定义可知，对应定义域内的任意变量只能有唯一的与对应，
选项ABC中，每一个都有唯一的与对应，满足函数的定义，可以是函数图象，
选项D中，出现两个不同的和同一个对应，所以不满足值的唯一性．
所以D不能作为函数图象．
故选：D．
5．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域是R，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意，，不等式恒成立，
当时，恒成立，则，
当时，有，解得，则，因此
所以的取值范围是.
故选：C
考点九 函数的单调性
【例9-1】（2023春·新疆塔城·高一乌苏市第一中学校考开学考试）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函数的单调递减区间为，
因为函数在区间上是减函数，则，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C
【例9-2】（2023秋·宁夏吴忠 ）已知函数在时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】当时，函数是实数集上的减函数，
所以在时，随的增大而减小，符合题意，
当时，二次函数的对称轴为，
因为在时，随的增大而减小，
所以有，
综上所述：的取值范围是，
故选：D
【一隅三反】
1．（2023秋·甘肃临夏·高一校考期末）函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】的对称轴为：，
要使函数在区间上单调递增，则，解得.
故选：B.
2（2023秋·广东惠州 ）是函数在单调递减的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】，
显然函数的单调递减区间为，
所以时，函数在单调递减；
若函数在单调递减，则，
所以是函数在单调递减的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2023秋·江苏常州 ）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据复合函数单调性可知，函数在区间上单调递减,
因此可知对称轴，且，解得.
故选：D
4．（2023秋·湖南长沙）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】二次函数的对称轴为，且开口向下，
因为是上的增函数，
所以有，故选：B
考点十 函数的奇偶性
【例10-1】（2023秋·广东惠州 ）已知在上的奇函数，当时，，则（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】B
【解析】根据题意可知，
由奇函数性质可知；
所以.
故选：B
【例10-2】（2023秋·辽宁 ）已知函数是定义在上的偶函数，则（ ）
A．1B．C．0D．2
【答案】C
【解析】由题意可得，则，可得.
故选：C.
【例10-3】（2023秋·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考开学考试）已知偶函数在上单调递减，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由于函数为偶函数，故，
且在上单调递减，
所以，即，
故选:D．
【例10-4】（2023秋·陕西 ）已知函数是偶函数，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】由函数，
因为函数为偶函数，可得，
即，所以，解得.
故选：D.
【一隅三反】
1．（2023秋·新疆喀什 ）已知，，则（ ）
A．3B．1C．-1D．-5
【答案】B
【解析】设，定义域为，
则，
故为奇函数，
又，则，
所以.
故选：B
2．（2023秋·新疆喀什 ）若函数是R上的偶函数，且在区间上是增函数，则下列关系成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】，且在区间上是增函数，∴．
故选：B
3．（2023春·陕西安康 ）若是奇函数，则（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】B
【解析】是奇函数，则，，
即，解之得，
则，经检验是奇函数.
故选：B