2024年山东省济南市中考数学全真模拟试卷

这是一份2024年山东省济南市中考数学全真模拟试卷，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．有理数、在数轴上的位置如图所示，化简：（ ）
A．B．C．D．
2．图1是一个玻璃烧杯，图2是由玻璃烧杯抽象出的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为（ ）
A．B．C．D．
3．据报道，2024年春节假期河源万绿湖景区共接待游客约220000人次．数字220000用科学记数法表示是（ ）
A．B．C．D．
4．下列计算正确的是 （ ）
A．B．C．D．
5．光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线 ）的夹角等于入射光线与法线的夹角 ．如图一个平面镜斜着放在水平面上， 形成形状，，在上有一点E， 从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．下列计算正确的是（ ）
A．(a－1)2＝a2－1B．4a·2a＝8a2
C．2a－a＝2D．a8÷a2＝a4
8．若点，，在反比例函数的图象上，则，，大小关系为（ ）
A． B．C．D．
9．如图，为的直径，交于点，点是的中点，连接．若，，则阴影部分的面积是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，点A是反比例函数在第二象限图象上的一点，其纵坐标为1，分别作轴、轴，点D为线段的三等分点作轴，交双曲线于点E，连接．若，则k的值为（ ）
A．-2B．C．D．
二、填空题
11．因式分解： ．
12．方程的解为 ．
13．定义新运算：对于非零的两个实数a和b，规定，如．若，则x的值为 ．
14．已知是关于的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根为 ．
15．如图， 四边形四个顶点的坐标分别是，，，，在该平面内找一点 P，使它到四个顶点的距离之和最小， 则P点坐标为 ．
16．如图，在正方形的边上取一点，连接，将沿翻折，点恰好与对角线上的点重合，连接，若，则的面积是 ．
三、解答题
17．计算：
18．解不等式组：，并写出它的所有非负整数解．
19．如图，已知，于点D，于点E，，求证：．
20．如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑板的倾斜角由降为，已知原滑板的长为米，点、、在同一水平地面上．
(1)求改善后滑板的长为多少米？
(2)若滑板的正前方能有米长的空地就能保证安全，原滑板的前方有米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由．（参考数据：， ，，以上结果均保留到小数点后两位）．
21．如图，点D是内一点，点E，F，G，H分别是，，，的中点．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)如果，，，，求四边形的周长．
22．某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同．
(1)求表中a的值；
(2)若该商场购进餐椅的数量比餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过260张，该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
23．如图，一次函数与反比例函数交于、两点，延长交反比例函图象于点，连接．

(1)求一次函数与反比例函数表达式．
(2)求的面积．
(3)在x轴上是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
24．如图①在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴正半轴交于C
(1)若，，求此抛物线的解析式；
(2)如图②，直线交（1）中抛物线于两点，为抛物线上之间（含两点）的动点，过点作轴于点E，于点，试求最大值和最小值；
(3)如图③，在（1）的条件下，平移此抛物线使其顶点为坐标原点，直线交平移后的抛物线于两点，在此抛物线上存在一个定点，使总是成立，试求出此定点的坐标，并写出点到直线的最大距离．
原进价（元/张）
零售价（元/张）
成套售价（元/套）
餐桌
a
270
500
餐椅
70
参考答案：
1．A
【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负，化简绝对值以及整式的加减，根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．解题的关键是综合运用各知识点．
【详解】解：根据数轴上点的位置得：，，
∴，，，，
∴
．
故选：A．
2．A
【分析】根据物体的三视图选出正确选项．
【详解】解：A选项正确；
B选项错误，中间的小圆要是实线；
C选项错误，这是主视图；
D选项错误，这不是三视图之一．
故选：A．
【点睛】本题考查物体的三视图，需要注意在画三视图时虚线和实线的区别，实线代表从视角看可以看见，虚线表示看不见．
3．B
【分析】本题主要考查科学记数法的运用．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，由此即可求解．
【详解】解：数字220000用科学记数法表示是，
故选：B．
4．D
【分析】本题考查了整式和二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握积的乘方法则、幂的乘方法则和二次根式的性质．
【详解】A. ，故此选项错误；
B. ，故此选项错误；
C. ，故此选项错误；
D. ，故此选项正确，
故选：D．
5．B
【分析】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，过点D作交于点F，根据题意可得，，因此，最后由三角形的内角和定理求得的度数．
【详解】过点D作交于点F，
入射角等于反射角，
，
，
，
，
在中，，，
，
在中，，
故选：B．
6．D
【分析】二次根式（），据此即可计算．
【详解】解：由题意得
，
解得：；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式被开方数含有字母的取值范围，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
7．B
【分析】直接利用完全平方公式、同底数幂的乘除法运算法则、合并同类项的知识分别判断得出答案．
【详解】A．，此选项错误，不符合题意；
B．，此选项正确，符合题意；
C．，此选项错误，不符合题意；
D．，此选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方公式、同底数幂的乘除法、合并同类项，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键．
8．A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟记反比例函数的增减性是解题的关键．先判断出反比例函数图象在第一、三象限，再根据反比例函数的性质，在每一个象限内，随的增大而减小判断．
【详解】解：，
反比例函数的图象位于第一、三象限，
，
，
，
，
．
故选：A．
9．B
【分析】本题考查圆周角定理，扇形的面积公式，等边三角形的判定及性质，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．连接，，交于，由圆周角定理可，，可知和均为等边三角形，继而可知，可得，再结合阴影部分的面积即可求解．
【详解】解：连接，，交于，
点为劣弧的中点，
，
，
，
，
，
∴和均为等边三角形
，
，
，
则阴影部分的面积，
故选：B．
10．B
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键．
根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
【详解】解：设，则，
∵，
∴，
解得．
故选：B．
11．
【分析】原式提取，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：原式，
故答案为：．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．/-2
【分析】本题考查了解分式方程，现将分式方程化为整式方程，再解一元一次方程即可．
【详解】方程两边同乘，得，
解得，
故答案为：．
13．
【分析】本题侧重考查了解分式方程，掌握定义的新运算的意义是解题的关键．根据已知新定义进行转化，然后结合分式方程的求法可求．
【详解】解：，
，
，
，
解得：，
经检验，是的解．
故答案为：
14．/0.5
【分析】本题考查一元二次方程的解和解一元二次方程，将代入方程中，求出，然后解方程即可．解题的关键是理解题意，学会利用未知数构建方程解决问题．
【详解】∵是关于的一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴关于的一元二次方程为，
∴，
∴或，
∴或，
∴该方程的另一个根是，
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了线段最短，一次函数的实际应用．连接、，交于点P，由两点之间线段最短，可得出的最小值就是线段的长，的最小值就是线段的长，到四个顶点的距离之最小的点就是点P，分别求出和的解析式，并求出其交点坐标即可得出答案．
【详解】解：连接、，交于点P，如图所示，
∵两点之间线段最短，
∴的最小值就是线段的长，的最小值就是线段的长，
∴到四个顶点的距离之和最小的点就是点P，
设所在直线的解析式为，
∵点在直线上，
∴，
解得：
∴所在直线的解析式为
设所在直线的解析式为
点，在直线上，
∴
解得：
∴所在直线的解析式为
联立两直线
解得：，
∴点P的坐标为：．
故答案为：．
16．/
【分析】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识．由折叠可得，，且，可得，即可求对角线的长，则可求面积．
【详解】解：如图，连接交于，
为正方形，
，，，，．
沿翻折，
，，，，
，
，
，
，
，
．
．
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算绝对值、零指数幂、负整数指数幂、乘方，再加减计算即可，熟练掌握运算法则、正确计算是解题的关键．
【详解】解：
．
18．；非负整数解为0、1、2、3
【分析】先求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集，最后找出非负整数解即可．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
原不等式组的解集是，
非负整数解为0、1、2、3．
【点睛】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，解本题的关键在熟练掌握求解一元一次不等式组的一般步骤．
19．证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，先由垂直的定义得到，再由三角形内角和定理证明，进而证明，则．
【详解】证明：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
20．(1)改善后滑板的长为米
(2)这样改造能行，理由见解析
【分析】本题考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．
（1）在中，通过解直角三角形求出的长，进而在中求出的长得解；
（2）分别在、中求出、的长，即可求出的长，进而可求出改造后滑滑板前方的空地长，若此距离大于等于米则这样改造安全，反之则不安全；
解题的关键是掌握并灵活运用锐角三角函数，当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边是解答此类题的一般思路．
【详解】（1）解：在中，，，
∴，
，
在中，，
∴（米），
∴改善后滑板的长为米；
（2）这样改造能行，
理由：
在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴这样改造是可行的．
21．(1)见解析
(2)13
【分析】（1）根据三角形的中位线定理即可求证；
（2）根据中位线定理可得，根据含角的直角三角形特征求出，进而得出，即可求解．
【详解】（1）证明：在中，E、H分别是、中点，
∴且，
同理得且，
∴且，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）知：，四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
在中，，，，
∴，
∵在中H、G是、中点，
∴，
∴四边形的周长为．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，三角形的中位线定理，含直角三角形的特征，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
22．(1)表中a的值为
(2)当购进餐桌40张、餐椅220张时，才能获得最大利润，最大利润是10400元
【分析】（1）根据数量总价单价，即可得出结论，解之经检验后即可得出a值；
（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅张，由餐桌和餐椅的总数量不超过260张，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，设销售利润为y元，根据销售方式及总利润单件单套利润销售数量，即可得出y关于x的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）利用一次函数的性质解决最值问题．
【详解】（1）根据题意得：，
解得：，
经检验，a是原分式方程的解．
答：表中a的值为．
（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅张，
根据题意得：，
解得：，
设销售利润为y元，
根据题意得：
，
∵，
∴当时，y取最大值，最大值为
答：当购进餐桌40张、餐椅220张时，才能获得最大利润，最大利润是10400元．
23．(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为
(2)
(3)存在，，或，或或．
【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形面积的计算，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
（1）将代入的得，于是得到反比例函数的解析式为，将，代入解方程组即可得到结论；
（2）过作轴于点，过作轴于点，得到，于是得到结论；
（3）根据点与点关于原点对称，得到，设，①当时，②当时，③当时，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）将代入的得，
反比例函数的解析式为，
将代入得，
，
将，代入得，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）过作轴于点，过作轴于点
，，，，
的面积四边形的面积的面积，梯形的面积四边形的面积的面积，
的面积梯形的面积；
（3）延长交反比例函图象于点，
点与点关于原点对称，
，
设，
，，，
①当时，，
，
解得，
，或，；
②当时，，
，
解得，
；
③当时，，
，
解得，
，
综上所述，，或，或或．
24．(1)yx2+x；
(2)当t时，ME+MF有最大值，当t＝﹣1时，ME+MF有最小值；
(3)D的坐标是（﹣2，﹣2），点到直线的最大距离是2．
【分析】（1）求出抛物线的对称轴为直线x＝1，再由对称性可得A（﹣1，0），B（3，0），由sin∠ABC，得到tan∠OBC，求出c的值，再将点A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax，即可求a；
（2）先联立方程组求出T点坐标，设M（t，t2+t）（﹣1≤t≤2），由题意可求MEt2+t，G（t，t），OGt，MGt2+tt2，再由∠GMF＝∠EOG，得到cs ∠GMF＝cs ∠EOG，即，则FM（t2），所以ME+MF（t）2，当t时，ME+MF有最大值，当t＝﹣1时，ME+MF有最小值；
（3）平移后抛物线解析式为yx2，设D（n，n2），P（xP，xP2），Q（xQ，xQ2），联立x2＝kx﹣2k﹣4，由根与系数的关系可得xP+xQ＝﹣2k，xPxQ＝﹣4k﹣8，过点D作x轴，作P⊥于，作Q⊥于，可证明△PD∽△DQ，则，可得﹣2nk﹣4k﹣4＝0，即（n+2）（n﹣2）﹣2k（n+2）＝0，因为k为任意实数，所以n+2＝0，即可求D（﹣2，﹣2），又由直线l过定点H（2，﹣4），当DH⊥PQ时，D到l的距离最大，此时最大距离为2．
【详解】（1）解：如图①，
由题意可得抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵AB＝4，
由对称性可得A（﹣1，0），B（3，0），
∴OB＝3，
∵sin ∠ABC，设，，
由勾股定理得，
∴tan ∠OBC，
∴OC，
∴y＝ax2﹣2ax，
将点A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax得0＝a＋2a＋，
解得a，
∴函数解析式为yx2+x；
（2）如图②，设ME与ST相交于点G，
联立直线与yx2+x得，
，
解得或，
∵点T在第一象限，
∴T（2，），
∵M为抛物线上A、T之间（含A、T两点）的动点，
设M（t，t2+t）（﹣1≤t≤2），
∵ME⊥x轴，
∴MEt2+t，
由题知G（t，t），
∴OG，GE＝，
∴MGt2+tt2，
∵MF⊥ST于点F，
∴∠GFM＝∠GEO＝90°，
∵∠MGF＝∠EGO，
∴∠GMF＝∠EOG，
∴cs ∠GMF＝cs ∠EOG，即，
∴FM（t2），
∴ME+MFt2+t（t2）（t）2，
∵，
∴抛物线开口向下，
∵﹣1≤t≤2，
∴当t时，ME+MF有最大值，
当t＝﹣1时，ME+MF有最小值；
（3）∵平移此抛物线使其顶点为坐标原点，
∴平移后抛物线解析式为yx2，
设D（n，n2），P（xP，xP2），Q（xQ，xQ2），
联立与yx2x2＝kx﹣2k﹣4，
∴x2+2kx﹣4k﹣8＝0，
∴xP+xQ＝﹣2k，xPxQ＝﹣4k﹣8，
过点D作x轴，作P⊥于，作Q⊥于，如图③，
∵∠PDQ＝90°，
∴∠DP+∠PD＝90°，∠DP+∠DQ＝90°，
∴∠PD＝∠DQ，
∵∠DP＝∠DQ＝90°，
∴△PD∽△DQ，
∴，
∵D＝n﹣xP，D＝xQ﹣n，Pn2xP2，Qn2xQ2，
∴（n﹣xP）（xQ﹣n）＝（n2xP2）（n2xQ2），
整理得，（n+xP）（xQ+n）＝﹣4，
∴﹣2nk﹣4k﹣4＝0，即（n+2）（n﹣2）﹣2k（n+2）＝0，
∴（n+2）(n-2-2k)=0，
∵k为任意实数，
∴n+2＝0，
∴n＝﹣2，
∴D（﹣2，﹣2），
∵y＝kx﹣2k﹣4＝k（x﹣2）﹣4，
∴直线l过定点H（2，﹣4），
当DH⊥PQ时，D到l的距离最大，此时最大距离为DH＝，
∴点D到直线l的最大距离为2．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，还考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程的解法和根与系数关系、解直角三角形等知识，熟练掌握二次函数的图像及性质，构造三角形相似求D点坐标是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
B
D
B
D
B
A
B
B