北京理工大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中复习三数学试题

这是一份北京理工大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中复习三数学试题，共15页。试卷主要包含了已知两点，，直线等内容，欢迎下载使用。
A． B． C． D．
2．已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程是（ ）
A．B． C． D．
3．已知两点，，直线：线段相交，则的取值范围是
（ ）
A． B．或C． D．
4．已知半径为的圆经过点，则其圆心到点的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．在三棱锥中，平面，D，E，F分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱AB，的中点.点P为线段EF上的动点.则下面结论中错误的是（ ）
A． B．平面 C．D．是锐角
7．已知空间向量，则下列选项中正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
8．（多选）在空间直角坐标系中，，，，则（ ）
A． B． 点到平面的距离是
C． 异面直线与所成角的余弦值为 D． 与平面所成角的正弦值为
9．（多选）已知，是圆O：上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若点到直线的距离为，则
C．若，则的最小值为
D．若，则的最大值为
10．直线l过且与圆相切，则直线l的方程为___________
11．已知四面体棱长均为，点，分别是、的中点，则___________.
12．如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是___________.
①直线平面，②三棱锥的体积为定值，
③异面直线与所成角的取值范围是
④直线与平面所成角的正弦值的最大值为
13.已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点.
(1)用表示，并求出；
(2)求证：.
14.已知直线.
(1)证明：直线过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求的取值范围；
(3)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（为坐标原点），求直线的方程.
15.在平面直角坐标系中，已知，，为三个不同的定点，且，，不共线，以原点为圆心得圆与线段，，都相切.
(1)求圆的方程及，的值；
(2)若直线：与圆相交于，两点，且，求的值.
1．四面体中，，点在上，且，为中点，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意画出如下图形：
为中点，则，，则，
∴.
故选：B.
2．已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程是（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【解析】因为直线的斜率为，直线与直线平行，
所以，直线的斜率为，
因为直线经过点，
所以，直线的方程为：，即
故选：A
3．已知两点，，直线：线段相交，则的取值范围是
（ ）
A． B．或C． D．
【答案】B
【解析】
因为直线，如图
直线：即恒过，
而，
因为直线与线段相交，结合图形，
故直线的斜率的范围为：或．
故选：B
4．已知半径为的圆经过点，则其圆心到点的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，圆心的轨迹方程为，则其圆心到点的距离的最大值为.
故选：C.
5．在三棱锥中，平面，D，E，F分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
因为平面，而平面，
故，而，故可建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则且，
故，
故，，，
设平面的法向量为，则：
由可得，取，则，
设直线与平面所成角为，
则.
故选：B.
6．在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱AB，的中点.点P为线段EF上的动点.则下面结论中错误的是（ ）
A．B．平面
C．D．是锐角
【答案】D
【解析】以D为坐标原点，分别以DA，DC，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
则，，
，，
所以，A正确；
因为，平面，平面，
所以平面，B正确；
，
所以，
所以，C正确；
，
当时，，
此时为钝角，故D错误.
故选：D
7．已知空间向量，则下列选项中正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
【答案】BCD
【解析】当时，，解得：，故A错误；
令，则，，故B正确；
，所以，解得：，故C正确；
当，，
因为，，故D正确．
故选：BCD
8．在空间直角坐标系中，，，，则（ ）
A．
B． 点到平面的距离是
C． 异面直线与所成角的余弦值为
D． 与平面所成角的正弦值为
【答案】BD
【解析】因为，，所以，A错误．
在空间直角坐标系中，结合与两点的坐标可知轴与平面垂直，所以为平面的一个法向量，则点到平面的距离是，B正确．
因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，C错误．
设与平面所成的角为，，则，D正确．
故选：BD
9．已知，是圆O：上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若点到直线的距离为，则
C．若，则的最小值为
D．若，则的最大值为
【答案】AD
【解析】因为，是圆O：上两点，
当时，为正三角形，所以，A正确；
点到直线的距离为时，，B错误；
的值可转化为单位圆上的到直线
的距离之和，又，
所以为等腰三角形，设是的中点，
则，且，
则在以点为圆心，半径为的圆上，
两点到直线的距离之和为
点到直线的距离的倍，
点到直线的距离为，
所以点到直线的距离的最大值为，
最小值为，则两点到直线的距离之和
最大值为，最小值为.
所以的最大值为，
最小值为，C错误，D正确；
故选：AD
10．直线l过且与圆相切，则直线l的方程为___________
【答案】或.
【解析】由圆的方程，得，
则圆心坐标为，半径为，
当直线的斜率不存在时，直线：，与圆相切，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线：，即，
由直线与圆相切，得圆心到直线的距离，
即，解得，所以：；
综上，直线的方程为或.
故答案为：或.
11．已知四面体棱长均为，点，分别是、的中点，则___________.
【答案】
【解析】因为点，分别是、的中点，
所以，，
，
，
所以.
故答案为：
12．如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是___________.
①直线平面，
②三棱锥的体积为定值，
③异面直线与所成角的取值范围是
④直线与平面所成角的正弦值的最大值为
【答案】①②④
【解析】对于①，连接，则，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，同理可得，因为，平面，所以平面，所以①正确，
对于②，因为∥，平面，平面，所以∥平面，因为点在线段上运动，所以点到平面距离为定值，因为的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以②正确，
对于③，连接，因为∥，所以异面直线与所成角即为与所成的角，因为，所以为等边三角形，所以当点位于点或点时，与所成的角为，当点位于的中点时，，此时与所成的角为，所以异面直线与所成角的取值范围是，所以③错误，
对于④，如图，以为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，则，
所以，设平面的法向量为，则，令，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为
，
当时，直线与平面所成角的正弦值最大，最大值为，所以④正确，
故答案为：①②④
13.已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点.
(1)用表示，并求出；
(2)求证：.
【解析】（1）因为点是的重心，所以
因为点是线段的中点，所以.
因为正四面体的棱长为，
所以,
所以
，
所以.
（2）
，
所以.
14.已知直线.
(1)证明：直线过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求的取值范围；
(3)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（为坐标原点），求直线的方程.
【解析】（1）证明：直线的方程可化为，
令，解得
所以无论取何值，直线总经过定点.
（2）由方程知，当时，直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，
要使直线不经过第四象限，则必须有
解得；
当时，直线为，符合题意，
故的取值范围是.
（3）由题意可知，再由直线的方程，
得.
依题意得解得.
因为
所以，
所以直线的方程为.
15.在平面直角坐标系中，已知，，为三个不同的定点，且，，不共线，以原点为圆心得圆与线段，，都相切.
(1)求圆的方程及，的值；
(2)若直线：与圆相交于，两点，且，求的值.
【解析】（1）因为圆与相切，所以半径等于到的距离．
直线，所以，圆．
圆与相切，，所以直线，所以．
直线
到的距离为1，所以或（舍
所以．
（2）设，，，，因为，在直线上，所以，．
联立得，所以．
则．