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北京市第五十五中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷(无答案)
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这是一份北京市第五十五中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷(无答案)，共5页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高三数学
本试卷共4页，共150分，调研时长120分钟
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题.共10小题，每小题4分，共40分，每题4个选项中只有一个选项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.复数的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
3. 的展开式中，的系数是（ ）
A.160B.80C.50D.10
4.设，为非零向量，则“”是“与共线”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.函数，，，且的最小值为，则的值为（ ）
A. B.1C.2D.3
6.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，其中谈到的“堑堵”是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有堑堵如图所示，其中，若，平面将堑堵分成了两部分，这两部分体积比值为（ ）
A.1：1B.1：2C.1：3D.1：4
7.点P在圆C：上，，.则当最小时，（ ）
A.8B.6C.4D.2
8.高斯是德国著名的数学家、近代数学惦记着奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2，已知函数，则函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
9.已知某种垃圾的分解率为v，与时间t（月）满足函数关系式（其中a，b为非零常数），若经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，经过24个月，这种垃圾的分解率为20%，那么这种垃圾完全分解至少需要经过（ ）（参考数据：）
A.48个月B.52个月C.64个月D.120个月
10.已知抛物线和所围成的封闭曲线E如图所示，点M，N在曲线E上，给定点，则下列说法中不正确的是（ ）
A.任意，都存在点M，N，使得
B.任意，都存在点M，N，满足这对点关于点A对称
C.存在，当点M，N运动时，使得
D.任意，恰有三对不同的点M，N，满足每对点M，N关于点A对称
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分
11.若直线是双曲线的一条渐近线，则______.
12.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，角终边经过点，角是由角终边绕原点O逆时针旋转90°得到的，则等于______.
13.已知抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，从以下两个条件中任选一个条件，使得抛物线开口向右并根据所选条件写出一个抛物线的标准方程.①焦点；②经过点.你所选的条件是，得到的一个抛物线标准方程是_______.
14.已知等比数列满足：，，，则公比_________，的最小值为_________.
15.在平面直角坐标系中，若，，定义两点之间的曼哈顿距离.
（1）记为点B与直线上一点的曼哈顿距离的最小值.如果点，直线：，则_________.
（2）已知空间内定点，动点P满足，则动点P围成的几何体的表面积是_______.
三、解答题：共6小题，共85分.
16.（本小题13分）在中，，.
（1）求A的大小；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.条件①：AC边上的高；条件②：；条件③：.
17.（本小题14分）如图，在四棱锥中，直线平面. ，，，，，平面平面，F为线段的中点，E为线段上一点.
（1）证明：；
（2）证明：；
（3）是否存在点E，使得点E到平面的距离是，若存在求出的值，若不存在请说明理由.
18.（本小题13分）某企业为了解职工A款APP和B款APP的用户量情况，对本单位职工进行简单随机抽样，获得数据如下表.假设所有职工对两款APP是否使用相互独立.
（1）分别估计该企业男职工使用A款APP的概率、该企业女职工使用A款APP的概率；
（2）从该企业男、女职工中各随机抽取1人，记这2人中使用A款APP的人数为X，求X的分布列及数学期望；
（3）据电商行业2024年8月发布的市场分析报告显示，A款APP的用户中男性占52.04%、女性占47.96%；B款APP的用户中男性占38.92%、女性占61.08%.
试分析该企业职工使用A款APP的男、女用户占比情况和使用B款APP的男、女用户占比情况哪一个与市场分析报告中的男、女用户占比情况更相符.
19.（本小题15分）椭圆E：的左右顶点分别为，，，离心率为.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过作直线与椭圆E交于不同的两点M，N，其中与x轴不重合，直线与直线交于点P，判断直线与的位置关系，并说明理由.
20.（本小题15分）已知函数，直线为曲线在点处的切线.
（1）当时，求出直线的方程；
（2）若，讨论的单调性，并求出的最值；
（3）若直线与曲线相交于点，且，求实数的取值范围.
21.（本小题15分）给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列A：满足如下三个性质：①，且；②；③与不同时在数对序列A中.
（1）当，时，写出所有满足的数对序列A；
（2）当时，证明：；
（3）当N为奇数时，记m的最大值为，求.男职工
女职工
使用
不使用
使用
不使用
A款APP
72人
48人
40人
80人
B款APP
60人
60人
84人
36人
高三数学
本试卷共4页，共150分，调研时长120分钟
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题.共10小题，每小题4分，共40分，每题4个选项中只有一个选项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.复数的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
3. 的展开式中，的系数是（ ）
A.160B.80C.50D.10
4.设，为非零向量，则“”是“与共线”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.函数，，，且的最小值为，则的值为（ ）
A. B.1C.2D.3
6.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何问题有着深入的研究，其中谈到的“堑堵”是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱.现有堑堵如图所示，其中，若，平面将堑堵分成了两部分，这两部分体积比值为（ ）
A.1：1B.1：2C.1：3D.1：4
7.点P在圆C：上，，.则当最小时，（ ）
A.8B.6C.4D.2
8.高斯是德国著名的数学家、近代数学惦记着奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2，已知函数，则函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
9.已知某种垃圾的分解率为v，与时间t（月）满足函数关系式（其中a，b为非零常数），若经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，经过24个月，这种垃圾的分解率为20%，那么这种垃圾完全分解至少需要经过（ ）（参考数据：）
A.48个月B.52个月C.64个月D.120个月
10.已知抛物线和所围成的封闭曲线E如图所示，点M，N在曲线E上，给定点，则下列说法中不正确的是（ ）
A.任意，都存在点M，N，使得
B.任意，都存在点M，N，满足这对点关于点A对称
C.存在，当点M，N运动时，使得
D.任意，恰有三对不同的点M，N，满足每对点M，N关于点A对称
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分
11.若直线是双曲线的一条渐近线，则______.
12.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，角终边经过点，角是由角终边绕原点O逆时针旋转90°得到的，则等于______.
13.已知抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，从以下两个条件中任选一个条件，使得抛物线开口向右并根据所选条件写出一个抛物线的标准方程.①焦点；②经过点.你所选的条件是，得到的一个抛物线标准方程是_______.
14.已知等比数列满足：，，，则公比_________，的最小值为_________.
15.在平面直角坐标系中，若，，定义两点之间的曼哈顿距离.
（1）记为点B与直线上一点的曼哈顿距离的最小值.如果点，直线：，则_________.
（2）已知空间内定点，动点P满足，则动点P围成的几何体的表面积是_______.
三、解答题：共6小题，共85分.
16.（本小题13分）在中，，.
（1）求A的大小；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.条件①：AC边上的高；条件②：；条件③：.
17.（本小题14分）如图，在四棱锥中，直线平面. ，，，，，平面平面，F为线段的中点，E为线段上一点.
（1）证明：；
（2）证明：；
（3）是否存在点E，使得点E到平面的距离是，若存在求出的值，若不存在请说明理由.
18.（本小题13分）某企业为了解职工A款APP和B款APP的用户量情况，对本单位职工进行简单随机抽样，获得数据如下表.假设所有职工对两款APP是否使用相互独立.
（1）分别估计该企业男职工使用A款APP的概率、该企业女职工使用A款APP的概率；
（2）从该企业男、女职工中各随机抽取1人，记这2人中使用A款APP的人数为X，求X的分布列及数学期望；
（3）据电商行业2024年8月发布的市场分析报告显示，A款APP的用户中男性占52.04%、女性占47.96%；B款APP的用户中男性占38.92%、女性占61.08%.
试分析该企业职工使用A款APP的男、女用户占比情况和使用B款APP的男、女用户占比情况哪一个与市场分析报告中的男、女用户占比情况更相符.
19.（本小题15分）椭圆E：的左右顶点分别为，，，离心率为.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过作直线与椭圆E交于不同的两点M，N，其中与x轴不重合，直线与直线交于点P，判断直线与的位置关系，并说明理由.
20.（本小题15分）已知函数，直线为曲线在点处的切线.
（1）当时，求出直线的方程；
（2）若，讨论的单调性，并求出的最值；
（3）若直线与曲线相交于点，且，求实数的取值范围.
21.（本小题15分）给定正整数，已知项数为且无重复项的数对序列A：满足如下三个性质：①，且；②；③与不同时在数对序列A中.
（1）当，时，写出所有满足的数对序列A；
（2）当时，证明：；
（3）当N为奇数时，记m的最大值为，求.男职工
女职工
使用
不使用
使用
不使用
A款APP
72人
48人
40人
80人
B款APP
60人
60人
84人
36人
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