2024-2025学年上学期初中数学北师大版九年级期中必刷常考题之用频率估计概率

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A．0.80B．0.85C．0.90D．0.95
2．（2023秋•青铜峡市期末）在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6左右，则布袋中黄球可能有（ ）
A．15个B．20个C．30个D．35个
3．（2023秋•罗定市校级期末）在一个不透明的袋子里有红球、黄球共15个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中黄球的个数可能是（ ）
A．4B．6C．9D．10
4．（2024•银川校级二模）如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（ ）
A．6m2B．5m2C．4m2D．3m2
5．（2024春•龙凤区校级期末）在一个不透明的盒子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.5，由此可估计袋中红球的个数约为（ ）
A．6个B．8个C．10个D．12个
二．填空题（共5小题）
6．（2024•莱西市一模）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 ．
7．（2024•光明区校级三模）如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为3m的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是 m2．
8．（2023秋•雷州市期末）如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率为 ．（精确到0.001）
9．（2024•台江区校级模拟）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球 个．
10．（2024•宝应县一模）县林业部门考查银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如表所示：
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024春•句容市期中）某运动员进行打靶训练，对该名运动员打靶正中靶心的情况进行统计，并绘制成了如图所示的统计图，请根据图中信息回答问题：
（1）该名运动员正中靶心的频率在 附近摆动，他正中靶心的概率估计值为 ．
（2）如果一次练习时他一共打了150枪．
①试估计他正中靶心的枪数．
②如果他想要在这次练习中想要打中靶心180枪，请计算出他还需要打大约多少枪？
12．（2024•秦安县校级三模）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于0.25，
（1）请估计摸到白球的概率将会接近 ；
（2）计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？
（3）如果要使摸到白球的概率为25，需要往盒子里再放入多少个白球？
13．（2024春•城厢区校级月考）在一个不透明的箱子里装有若干张无奖卡，现将20张有奖卡放入箱子（所有卡片形状、大小、材质均相同）．搅匀后从中随机摸出一张卡，记下是否有奖，再将它放回箱子中，不断重复此过程，获得如下频数表：
（1）若从箱子里随机摸一张卡，估计有奖的概率为 ．（精确到0.1）
（2）请估算出箱子里无奖卡的数量．
（3）A，B两位同学各抽得一张有奖卡，两人均获得一张文艺演出的入场券，如图所示，他们各要在编号为①②③的三个座位上选一个坐下，请求出A，B坐到相邻座位的概率．（画树状图或列表分析问题）
14．（2023秋•登封市校级期末）在一个不透明的口袋里装有红、白两种颜色的球共4个，它们除颜色外其余都相同．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近 ．（精确到0.01）
（2）试估算口袋中白球有 个．
（3）现有另一个不透明的口袋中装有一红一白两个球，它们除颜色外其余都相同．一学生从两个口袋中各摸出一个球，请利用画树状图或列表的方法计算这两个球颜色相同的概率．
15．（2023秋•安州区期末）一个不透明的箱子里装有1个白色小球和若干个红色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到白色小球的频率稳定于0.25左右．
（1）请你估计箱子里红色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．
2024-2025学年上学期初中数学北师大版九年级期中必刷常考题之用频率估计概率
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024•顺城区一模）我国自古以来就有植树的传统，植树可以净化沙土，防止土地沙漠化，对于调节气候、涵养水源、减轻大气污染具有重要意义．在清明时节植树为最佳，因为此时的气候温暖，适宜树苗的成活．某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如图统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ）
A．0.80B．0.85C．0.90D．0.95
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】C
【分析】由图可知，成活概率在0.9上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9．
【解答】解：这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.90．
故选：C．
【点评】本题考查了利用频率估计概率．由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为近似相等．用到的知识点为：总体数目＝部分数目÷相应频率．部分的具体数目＝总体数目×相应频率．
2．（2023秋•青铜峡市期末）在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.6左右，则布袋中黄球可能有（ ）
A．15个B．20个C．30个D．35个
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】B
【分析】利用频率估计概率得到摸到白球的概率为0.6，然后根据概率公式计算出白球个数，再求黄球数即可．
【解答】解：设袋子中白球有x个，
根据题意，得：
x50=0.60，
解得：x＝30，
则50﹣30＝20（个），
即布袋中黄球可能有20个，
故选：B．
【点评】本题考查了频数与频率，解答本题的关键要明确：频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比），即频率＝频数÷总数．
3．（2023秋•罗定市校级期末）在一个不透明的袋子里有红球、黄球共15个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中黄球的个数可能是（ ）
A．4B．6C．9D．10
【考点】利用频率估计概率．
【答案】C
【分析】根据红球在总数中所占比例与实验所得频率应该相等，列式解答即可求出答案．
【解答】解：设袋中红球有x个，
根据题意，可得：x15=0.4，
解得：x＝6，
则黄球的个数为15﹣6＝9（个）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．
4．（2024•银川校级二模）如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（ ）
A．6m2B．5m2C．4m2D．3m2
【考点】利用频率估计概率；用样本估计总体；折线统计图．
【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】A
【分析】首先假设不规则图案面积为x m2，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
【解答】解：假设不规则图案面积为x m2，
由已知得：长方形面积为15m2，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：x15m2，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.4，
综上有：x15=0.4，
解得x＝6．
故选：A．
【点评】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．
5．（2024春•龙凤区校级期末）在一个不透明的盒子中有20个除颜色外均相同的小球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.5，由此可估计袋中红球的个数约为（ ）
A．6个B．8个C．10个D．12个
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】C
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：设盒子中有红球x个，
由题意可得：x20=0.5，
解得：x＝10，
故选：C．
【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
二．填空题（共5小题）
6．（2024•莱西市一模）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.6左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 9.6 ．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】9.6．
【分析】用总面积乘以落入黑色部分的频率稳定值即可．
【解答】解：经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
据此可以估计黑色部分的面积为16×0.6＝9.6．
故答案为：9.6．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
7．（2024•光明区校级三模）如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为3m的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是 94 m2．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】94．
【分析】用正方形的面积乘以小石子落在不规则区域的频率稳定的常数0.25即可得出答案．
【解答】解：根据题意可估计不规则区域的面积是3×3×0.25=94（m2），
故答案为：94．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
8．（2023秋•雷州市期末）如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率为 0.440 ．（精确到0.001）
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】0.440．
【分析】根据图中的数据即可解答．
【解答】解：由图可知，随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率逐渐稳定在0.440附近，
∴“凸面向上”的概率为0.440，
故答案为：0.440．
【点评】本题考查了模拟实验，由频率估计概率，解题的关键是明确概率的定义．
9．（2024•台江区校级模拟）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，则袋中约有绿球 8 个．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据绿球个数除以总个数即可．
【解答】解：∵通过大量重复摸球试验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.4，
∴摸到绿球的概率是0.4，
设有x个绿球，
∵口袋中有9个红球，3个白球，
∴x9+3+x=0.4，
解得x＝8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查的是频率估计概率，熟记概率公式是解题的关键．
10．（2024•宝应县一模）县林业部门考查银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如表所示：
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为 0.9 ．
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用表格中数据估算这种树苗移植成活率的概率即可得出答案．
【解答】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活的频率稳定在0.9，
∴银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为0.9，
故答案为：0.9．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即为概率．
三．解答题（共5小题）
11．（2024春•句容市期中）某运动员进行打靶训练，对该名运动员打靶正中靶心的情况进行统计，并绘制成了如图所示的统计图，请根据图中信息回答问题：
（1）该名运动员正中靶心的频率在 0.9 附近摆动，他正中靶心的概率估计值为 0.9 ．
（2）如果一次练习时他一共打了150枪．
①试估计他正中靶心的枪数．
②如果他想要在这次练习中想要打中靶心180枪，请计算出他还需要打大约多少枪？
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】（1）0.9，0.9；
（2）①135枪；②50枪．
【分析】（1）根据图形数据的稳定数值可得答案；
（2）①总枪数乘以正中靶心的概率；
②正中靶心的枪数除以其概率得出总枪数，继而得出答案．
【解答】解：（1）该名运动员正中靶心的频率在0.9附近摆动，他正中靶心的概率估计值为0.9，
故答案为：0.9，0.9；
（2）①150×0.9＝135（枪），
答：估计他正中靶心的枪数为135枪；
②180÷0.9＝200（枪），
200﹣150＝50（枪），
答：他还需要打大约50枪．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
12．（2024•秦安县校级三模）在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于0.25，
（1）请估计摸到白球的概率将会接近 0.25 ；
（2）计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？
（3）如果要使摸到白球的概率为25，需要往盒子里再放入多少个白球？
【考点】利用频率估计概率．
【专题】统计与概率．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意容易得出结果；
（2）由60×0.25＝15，60﹣15＝45，即可得出结果；
（3）设需要往盒子里再放入x个白球；根据题意得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）根据题意得：当n很大时，摸到白球的概率将会接近0.25；假如你摸一次，你摸到白球的概率为0.25；
故答案为：0.25；
（2）60×0.25＝15，60﹣15＝45；
答：盒子里白、黑两种颜色的球分别有15个、45个；
（3）设需要往盒子里再放入x个白球；
根据题意得：15+x60+x=25，
解得：x＝15；
经检验x＝15是原方程的解，
答：需要往盒子里再放入15个白球．
【点评】本题考查了利用频率估计概率、概率公式的运用．大量反复试验下频率稳定值即概率；本题难度适中．
13．（2024春•城厢区校级月考）在一个不透明的箱子里装有若干张无奖卡，现将20张有奖卡放入箱子（所有卡片形状、大小、材质均相同）．搅匀后从中随机摸出一张卡，记下是否有奖，再将它放回箱子中，不断重复此过程，获得如下频数表：
（1）若从箱子里随机摸一张卡，估计有奖的概率为 0.1 ．（精确到0.1）
（2）请估算出箱子里无奖卡的数量．
（3）A，B两位同学各抽得一张有奖卡，两人均获得一张文艺演出的入场券，如图所示，他们各要在编号为①②③的三个座位上选一个坐下，请求出A，B坐到相邻座位的概率．（画树状图或列表分析问题）
【考点】利用频率估计概率；频数（率）分布表；列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）0.1；（2）180；（3）23．
【分析】（1）依据题意，根据用频率估计概率进行判断可以得解；
（2）依据题意，设箱子里无奖卡的数量为x，进而列方程计算可以得解；
（3）依据题意，列出表格进行分析后即可得解．
【解答】解：（1）由题意，根据用频率估计概率进行判断，
∴估计有奖的概率为0.1．
故答案为：0.1．
（2）由题意，设箱子里无奖卡的数量为x，
∴20x+20=0.1．
∴x＝180．
检验：把x＝180代入m+20＝200≠0，且左边＝右边，
∴x＝180，符合题意．
（3）由题意，可列表如下，
∴两人座位相邻有4种等可能情形．
∴A，B坐到相邻座位的概率=46=23．
【点评】本题主要考查了根据概率求解总数以及求解不放回试验中事件的概率的知识，掌握不放回试验的特点，是解答本题的关键．
14．（2023秋•登封市校级期末）在一个不透明的口袋里装有红、白两种颜色的球共4个，它们除颜色外其余都相同．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
（1）当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近 0.75 ．（精确到0.01）
（2）试估算口袋中白球有 3 个．
（3）现有另一个不透明的口袋中装有一红一白两个球，它们除颜色外其余都相同．一学生从两个口袋中各摸出一个球，请利用画树状图或列表的方法计算这两个球颜色相同的概率．
【考点】利用频率估计概率；列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】（1）0.75；
（2）3；
（3）12，理由见解析．
【分析】（1）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.75．
（2）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.75，然后利用概率公式计算白球的个数．
（3）先利用画树状图法展示所有8种等可能的结果数，再找出两个球颜色相同所占结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近0.75；
故答案为：0.75
（2）由（1）得摸到白球的概率率为0.75，
所以可估计口袋中白球有4×0.75＝3（个）；
故答案为：3
（3）将第一个口袋中3个白球分别记为白1，白2，白3，画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中两个球颜色相同的情况有4种．
∴两个球颜色相同的概率为48=12．
【点评】本题考查了如何利用频率估计概率，列表法或树状图法求概率，在解题时要注意频率和概率之间的关系．
15．（2023秋•安州区期末）一个不透明的箱子里装有1个白色小球和若干个红色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到白色小球的频率稳定于0.25左右．
（1）请你估计箱子里红色小球的个数；
（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）．
【考点】利用频率估计概率；列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据摸到白色小球的频率稳定于0.25左右，得到摸到白色小球的概率是0.25，设红色小球的个数为x，根据概率公式进行计算即可；
（2）画出树状图，求出概率即可．
【解答】解：（1）∵摸到白色小球的频率稳定于0.25左右，
∴摸到白色小球的概率是0.25，
设红色小球的个数为x，由题意，得：11+x=0.25，
解得：x＝3，
经检验x＝3是原方程的解；
∴箱子里红色小球的个数为3；
（2）画出树状图，如下：
共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为6，
∴两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为616=38．
【点评】本题考查利用频率估计概率，利用概率求小球的数量，以及画树状图求概率．熟练掌握概率是频率的稳定值，求出小球的数量，是解题的关键．
移植的棵数a
100
300
600
1000
7000
15000
成活的棵数b
84
279
505
847
6337
13511
成活的频率ba
0.84
0.93
0.84
0.85
0.91
0.90
摸卡的次数n
20
50
80
120
200
300
摸到有奖卡的次数m
3
5
9
11
21
31
摸到有奖卡的频率mn
0.150
0.100
0.113
0.092
0.105
0.103
摸球的次数
500
1000
1500
2000
2500
3000
摸到白球的频率
0.748
0.751
0.754
0.747
0.750
0.749
移植的棵数a
100
300
600
1000
7000
15000
成活的棵数b
84
279
505
847
6337
13511
成活的频率ba
0.84
0.93
0.84
0.85
0.91
0.90
摸卡的次数n
20
50
80
120
200
300
摸到有奖卡的次数m
3
5
9
11
21
31
摸到有奖卡的频率mn
0.150
0.100
0.113
0.092
0.105
0.103
1
2
3
1
/
（1，2）
（1，3）
2
（2，1）
/
（2，3）
3
（3，1）
（3，2）
/
摸球的次数
500
1000
1500
2000
2500
3000
摸到白球的频率
0.748
0.751
0.754
0.747
0.750
0.749