安徽省合肥市瑶海区2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试卷

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一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．抛物线y＝4(2x﹣3)2+3的顶点坐标是（ ）
A．(，3) B．(4，3) C．(3，3) D．(﹣3，3)
2．抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
3．下列四条线段中，不是成比例线段的是（ ）
A． B．
C． D．
4．将抛物线先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，则平移后所得抛物线表达式为（ ）
A． B． C． D．
5．如果当时，反比例函数的函数值随x的增大而增大，那么一次函数的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
6．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）.
A． B．∠B＝∠D C． D．∠C＝∠AED
7．如图，在三角形纸片ABC中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，矩形与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，，与反比例函数（是非零常数，）的图象交于点，连接．若四边形的面积为6，则（ ）

A．6 B． C．3 D．
9．如图，在矩形中，，动点M自点A出发沿方向以每秒的速度向点 B 运动，同时动点N自点A出发沿折线以每秒的速度运动，到达点B时运动同时停止．设的面积为，运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（ ）

A． B． C． D．
10．如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点，分别在边AD，上，点，的对应点分别为，且点在矩形内部，的延长线交与点，交边于点．，，当点为三等分点时，的长为（ ）
A． B．4或 C． D．4或
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．抛物线与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是 ．
12．校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，点P为AB的黄金分割点（），如果AB的长度为，那么的长度为 ．
13．如图，P是正方形ABCD的边BC上一点，且BP＝3PC，Q是DC的中点，则AQ∶QP等于 ．
14．如图，已知反比例函数，在第一象限的图象，过上任意一点A，作x轴的平行线交于点B，交y轴于点C，过点A作x轴的垂线交于点D，交x轴于点E，连接，则：①的面积为 ；② ．
-
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．已知抛物线的顶点坐标是，且过点，求抛物线的解析式．
16．已知，且，求的值．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．某化工材料经售公司购进了一种化工原料，进货价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元．市场调查发现：单价每千克70元时日均销售；单价每千克降低一元，日均多售．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按一天计算）．
（1）如果日均获利1950元，求销售单价；
（2）销售单价为多少时，可获得最大利润？最大利润为多少．
18．观察与发现：如图：小明将一个边长为的正方形纸片折叠，使得点D落在边上的点E处（不与A，B重合），折痕交于点F，交于点H，点C落在Q处，与交于点G，

(1)小明认为，你同意吗？请说明理由．
(2)实践与探究：在上图中，当时，请你计算的周长．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，直线，与反比例函数的图象交于点与点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求不等式的解集；
20．如图，P是的边的延长线上任意一点，分别交和于点M和N．
(1)若，求的值；
(2)求证：．
六、（本题满分12分）
21．近年来我国无人机设备发展迅猛，新型号无人机不断面世，科研单位为保障无人机设备能安全投产，现针对某种型号的无人机的降落情况进行测试，若该型号无人机在跑道起点处着陆后滑行的距离（单位：）与滑行时间（单位：）之间满足二次函数关系如图所示．
(1)求关于的函数关系式；
(2)若跑道长度为，请通过计算说明是否够此无人机着陆；
(3)当跑道长度足够时，请求出无人机着陆后最后两秒滑行的距离．
七、（本题满分12分）
22．（1）如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，则_______
（2）如图2，正方形的边长为，为边上一动点，以为斜边在正方形内部作等腰直角三角形，，连接，求的度数．
（3）在（2）的条件下，如图3，连接，求面积的最大值．
八、（本题满分14分）
23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点A-4,0，，交轴于点C0,6，在轴上有一点，连接．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)抛物线对称轴上是否存在点，使为以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标即可；若不存在，请说明理由．