河南省2025届高三上学期10月份联考数学试题

这是一份河南省2025届高三上学期10月份联考数学试题，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|x≥0}，B={x|x≤3}，则A∩(∁RB)=( )
A. (0,+∞)B. [0,+∞)C. (-∞,3]D. (3,+∞)
2.已知2z=1-i，则z2=( )
A. 2iB. 2+2iC. 2+3iD. 3i
3.已知a=π0.2，b=0.2π，c=lgπ0.2，则( )
A. b>a>cB. c>b>aC. a>c>bD. a>b>c
4.已知数列{1an}是首项为5，公差为2的等差数列，则a11=( )
A. 125B. 122C. 117D. 119
5.在△ABC中，D为BC边上靠近点C的三等分点，E为线段AD(含端点)上一动点，若ED=λEB+μEC(λ,μ∈R)，则( )
A. λ+μ=1B. μ=2λC. μ=3λD. λ-μ=-13
6.现有12个螺母，它们的质量从大到小依次构成等差数列，质量之和最大的3个螺母的质量是质量之和最小的3个螺母的质量的4倍，且这12个螺母的总质量为45克，要从这12个螺母中随机挑选n个螺母组成一套螺母，且这套螺母的质量和不低于25克，则n的最小值为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
7.已知数列{an}满足a1=3，an+1-an=8n+4，则1a1+1a2+⋯+1a2025=( )
A. 2025B. 2024C. 20234050D. 20254051
8.已知数列{an}的前n项和为Sn，且 Sn+1=3 Sn，a1=1，则n=166 an=( )
A. 2(366-1)+1B. 2(366-1)C. 2(365-1)+1D. 2(365-1)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知csαcsβ=25，sinαsinβ=15，则( )
A. tanαtanβ=12B. cs(α+β)=23
C. cs(α-β)=35D. cs(2α-2β)=13
10.下列递推关系式或其通项公式可以使数列{an}为周期数列的有( )
A. a1=2，an+1=1+an1-anB. an=2ncsnπ2
C. a1=1，an+1={2an,n是奇数1an,n是偶数D. an=n3+2025
11.已知复数z1，z2在复平面内对应的点均在以原点为圆心的单位圆上，且z1+z2z1z2=1，则( )
A. z1+z2=1B. z1与z2实部之和为 32
C. z12-z22为纯虚数D. z13+z23+2=0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正数a，b满足4a+b=2，则1a+1b取得最小值时，a=__________.
13.设Tn为数列{an}的前n项积，且Tn≠0，a1=13，an=(2n-1)Tn，则an=__________.
14.已知公比为q的等比数列{an}满足a8+3=q，且an+1>an，则a10的取值范围为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知首项为3的数列{an}的前n项和为Sn，且{an3n}是公差为3的等差数列.
(1)探究数列{an}的单调性;
(2)求Sn.
16.(本小题15分)
已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2abcsC=a2sin2B+b2sin2A.
(1)求C;
(2)若c=2，求△ABC面积的最大值.
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=lna+lnxln(x+1).
(1)求f(x)的定义域;
(2)若f(x)存在极大值，求a的取值范围.
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=eax-x-1，x≥0.
(1)若f(x)≥0，求a的最小值;
(2)设an=2n-1，数列{xan}的前n+1项和为Sn+1，证明：对∀x>0，x≠1，eSn+1>xan+2-1x-1.
19.(本小题17分)
记共k+1项的正项数列{an}的前n项和为Sn.若正数s满足Sk+1=k+s，则称数列{an}为“s型求和数列”.
(1)若{an}为共5项的等差数列，且{an}为“1型求和数列”，求a3;
(2)设r∈(0,1)，已知正项数列{an}为共m+1项的“r型求和数列”，且{1an}为共m+1项的“1r型求和数列”.设{an2}的前n项和为Tn.
(ⅰ)证明：i=1m+1(1-ai)2≥(1-r)2;
(ⅱ)求Tm+1的最小值的表达式(用含m，r的代数式表示).
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查集合的补集、交集运算，是基础题．
先由补集的定义得∁RB，再与A求交集.
【解答】
解：∵B={x|x≤3}，
∴∁RB={x|x>3}，
又A={x|x≥0}，
则A∩(∁RB)={x|x>3}，即A∩(∁RB)=(3,+∞).
故选：D.
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用复数的运算法则即可得出．
【解答】
解：因为2z=1-i，
故z=21-i=1-i21-i=1+i，
故z2=2i.
故选A.
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查指数函数、对数函数的单调性比较大小，属于基础题．
由指数函数、对数函数的单调性得a，b，c的范围比较大小.
【解答】
解：由指数、对数函数单调性易得π0.2>π0=1，
00，
所以1a+1b=(1a+1b)(4a+b)⋅12=12(4+ba+4ab+1)
≥12×(5+2 ba⋅4ab)=92，
当且仅当ba=4ab且4a+b=2，即a=13，b=23时，取“=”.
故答案为：13
13.【答案】an=2n-12n+1
【解析】【分析】
本题主要考查根据数列前n项积公式求通项公式，考查了分类讨论思想，转化与化归思想，属中档题.
根据题干已知条件并结合公式an=T1,n=1TnTn-1,n≥2即可计算出数列{an}的通项公式.
【解答】
解：由题意可得an=(2n-1)Tn，
所以当n≥2时，有an-1=(2n-3)Tn-1，
故由题意两式相除得anan-1=(2n-1)Tn(2n-3)Tn-1=(2n-1)an2n-3，
因为Tn≠0，则an=(2n-1)Tn≠0，
因此当n≥2时，1an-1=2n-12n-3，即an-1=2n-32n-1，
则an=2n-12n+1，所以a1=2×1-12×1+1=13，符合题意.
故答案为：an=2n-12n+1.
14.【答案】(-2,0)∪(0,+∞)
【解析】【分析】
本题考查了等比数列应用，考查了数列的函数特征，属于中档题
结合等比通项，可得q的取值，构造g(q)=q3-3q2，结合导数分析其取值.
【解答】
解：由an+1>an，得an>0时，q>1；an0，即a∈(1,+∞)时，存在x0∈(0,+∞)，使得h(x0)=lna，
此时，当x∈(0,x0)时，h(x)-lna>0⇒f'(x)>0，当x∈(x0,+∞)时，h(x)-lna0，xan>0，
∴eSn+1=exa1⋅exa2⋅⋯exan+1
>(xa1+1)(xa2+1)⋯(xan+1+1)
=(1+x)(1+x2)⋯(1+x2n)，
又因为1+x=1-x21-x，1+x2=1-x41-x2，⋯，1+x2n=1-x2n+11-x2n，(x≠1)，
∴eSn+1>1-x21-x⋅1-x41-x2⋯1-x2n+11-x2n=1-x2n+11-x
=1-xan+21-x=xan+2-1x-1(x≠1)，
故原不等式得证.
【解析】本题考查了导数应用，考查了数列求和，属于较难题
(1)由题意可得f(0)=0，f'(x)=aeax-1，则f'(0)=a-1≥0为必要条件，证明即可；
(2)由(1)知ex≥x+1，x=0时等号成立，结合放缩法即可证明.
19.【答案】解：(1)由题有S5=4+1=5，设等差数列an的公差为d.
则S5=a1+a2+a3+a4+a5=5a1+10d=5，即a3=a1+2d=1.
(2)(i)由题，a1+a2+a3+⋯+am+1=m+r，1a1+1a2+1a3+⋯+1am+1=m+1r.
不妨设a1为an中的最小项.
①当a1≤r时，易有i=1m+1(1-ai)2≥(1-a1)2≥(1-r)2;
②当a1>r时，由正项数列{an}，
有i=1m+1(1-ai)2=i=1m+1ai(ai+1ai-2)>ri=1m+1(ai+1ai-2)，
而i=1m+1(ai+1ai-2)=m+1r-2(m+1)+m+r=1r-2+r，
故i=1m+1(1-ai)2≥r(r+1r-2)=(r-1)2，得证，由①②可得，故原不等式得证.
(ii)Tm+1的最小值的表达式为m+r2.
当a1=r，a2=a3=⋯=am+1=1时，Tm+1=m+r2.
接下来证明Tm+1≥m+r2.
由于Tm+1=i=1m+1(1-ai)2+2i=1m+1ai-(m+1)=i=1m+1(1-ai)2-(m+1)+2(m+r)，
由(2)(i)得，i=1m+1(1-ai)2≥(1-r)2，
则Tm+1=i=1m+1(1-ai)2-(m+1)+2(m+r)≥(1-r)2-(m+1)+2(m+r)=m+r2，
等号当且仅当a1=r，a2=a3=⋯=am+1=1时成立，故Tm+1的最小值的表达式为m+r2.
【解析】本题主要考查数列的新定义，数列的最值，属于中档题.
(1)根据题意S5=5a1+10d=5，即a3=a1+2d=1，即可求解;
(2)(i)不妨设a1为an中的最小项，再分情况讨论，证明即可;
(ii)根据题意结合(i)，数列的最值求解即可.