湖北省武汉市部分重点中学5G联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(解析版)

这是一份湖北省武汉市部分重点中学5G联盟2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(解析版)，共14页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 下列导数运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为,所以错,
因为,所以对,
因为,所以错,
因为,所以错.故选：B
2. 已知二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，
则二项式的展开式共项，即，解得.
故选：A.
3. 已知函数的导函数为，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，
令，则，，
则，所以
故选：A.
4. 1949年10月1日，开国大典结束后，新成立的中央人民政府在北京饭店举行了有600余位宾客参加的新中国第一次国庆招待会，史称“开国第一宴”．该宴的主要菜品有：鲍鱼浓汁四宝、东坡肉方、蟹粉狮子头、鸡汁煮干丝、清炒翡翠虾仁和全家福．若这六道菜要求依次而上，其中“东坡肉方”和“鸡汁煮干丝”不能接连相邻上菜，则不同的上菜顺序种数为（ ）
A. 240B. 480C. 384D. 1440
【答案】B
【解析】鲍鱼浓汁四宝、蟹粉狮子头、清炒翡翠虾仁和全家福依次而上有种排列方式，
此时形成个空位，选出个空位将东坡肉方和鸡汁煮干丝分别插入进去，共有种排列方式，
由乘法原理可知不同的上菜顺序种数为，
故选：.
5. 若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离最小.
设切点为，
所以切线斜率为，由题知，解得或（舍），
，此时点到直线距离.
故选：D
6. 三根绳子上共挂有8只气球，绳子上的球数依次为2，3，3，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（ ）
A. 350B. 140C. 560D. 280
【答案】C
【解析】将8只气球编号，依次从下往上，从右往左编号为，
问题等价于8只气球排列，
其中号，号，号必须是从下到上的顺序打破气球，
则有种.
故选：C.
7. 若，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据二项式定理展开式，
故当时，，
即，
所以，整理得，
故，又，
所以.
故选：C．
8. 若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设公切线与函数切于点，
由，得，所以公切线的斜率为，
所以公切线方程为，化简得，
设公切线与函数切于点，
由，得，则公切线的斜率为，
所以公切线方程为，
化简得，
所以，消去，得，
由，得，
令，则，
所以在上递减，
所以，
所以由题意得，
即实数的取值范围是，
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A. 展开式共7项B. x项系数为－280
C. 所有项的系数之和为1D. 所有项的二项式系数之和为128
【答案】BD
【解析】由题意得展开式共8项，故A错；
通项为，令，解得，
所以项系数为，故B正确；
令中得，
所以所有项的系数之和为，故C错；
所有项的二项式系数和为，故D正确.
故选：BD
10. 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项．记事件A为“恰有两名同学所报项目相同”，事件B为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”，则（ ）
A. 四名同学的报名情况共有种
B. “每个项目都有人报名”的报名情况共有36种
C. “四名同学最终只报了两个项目”的概率是
D.
【答案】BCD
【解析】对于A，由题意可知，甲、乙、丙、丁四名同学每人有3种选择，故四名同学的报名情况共有种，A错误；
对于B，现将四名志愿者分为2，1，1三组，共有种情况，再将其分到三个活动中，共有种，
由分步乘法计数原理得到种，故“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种，B正确；
对于C，四名同学最终只报了两个项目，若有3人报名了1个项目，另外1人报名了1个项目，此时有种情况，
若每2个人报名了1个项目，此时有种情况，
共有种情况，
“四名同学最终只报了两个项目”的概率是，C正确；
对于D，事件A：先从4名同学选出2人，组成一组，再进行全排列，故，
事件：甲同学1人报名‘关怀老人’项目，剩余3人分为2组，和剩余的2个项目进行全排列，故，
所以，D正确．
故选：BCD
11. 已知函数，下列说法中正确的有（ ）
A. 函数的极小值为
B. 函数在点处的切线方程为
C.
D. 若曲线与曲线无交点，则的取值范围是
【答案】BCD
【解析】A：，令，
所以当时，，为单调递增函数；
当时，，为单调递减函数；则函数的极大小值为，故A错误；
B：，又，
则函数在点处的切线方程为，即，故B正确；
C：因为在上单调递减，
所以，即，
所以，则，故C正确；
D：两曲线无交点等价于方程无解，
显然，即无解，即无解，
因此比函数的最大值还大，即，故，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，则_____________.
【答案】2或6
【解析】因为，所以，解得，
又或，解得或.
故答案为：2或6
13. 已知函数，若函数恰好有两个零点，则实数等于________．
【答案】
【解析】因为，
则，
对于函数，
所以，显然不是函数的零点，
当时函数恰好有两个零点，
所以方程有两个根，
令，
则函数与函数的图象有两个交点，
当时，，则，
所以当时，，函数在上为增函数，
当时，，函数在上为减函数，又，
当时，，函数在上为减函数，
由此可得函数的图象如下：
当即时，函数与函数的图象恰有两个交点，
所以.
故答案为：.
14. 已知当时，不等式恒成立，则正实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】由题意，原不等式可变形为，
即，
设，
则当时，恒成立，
因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
因为，，则，所以，，
因在上单调递增，
所以要使，只需，
在上恒成立，取对数，得，
因为，所以．令，，
因为，
所以在上单调递增，所以，
所以，则.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间和极值.
解：（1）函数的定义域为R.
导函数.
所以，，
所以函数在点处的切线方程为，即.
（2）令，解得：或.列表得：
所以函数的单调增区间为，；单调减区间为；
极大值为，极小值为.
16. 在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各1名，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？
（1）有3名内科医生和2名外科医生；
（2）既有内科医生，又有外科医生；
（3）至少有1名主任参加；
（4）既有主任，又有外科医生．
解：（1）先选3名内科医生共有种选法，
再选2名外科医生共有种选法，
故选派方法共有种.
（2）既有内科医生，又有外科医生包括四种情况：
内科医生去人，易得选派方法为：
.
（3）分两类：
一是选1名主任有种方法；
二是选2名主任有种方法，
故至少有1名主任参加的选派方法共种.
（4）若选外科主任，则其余可任意选，共有种选法；
若不选外科主任，则必选内科主任，
且剩余四人不能全选内科医生，有种选法，
故既有主任，又有外科医生的选派种数为.
17. 某学校安排甲、乙、丙三个班级同时到学校礼堂参加联欢晚会，已知甲班艺术生占比8%，乙班艺术生占比6%，丙班艺术生占比5%．学生自由选择座位，先到者先选．甲、乙、丙三个班人数分别占总人数的，，．若主持人随机从场下学生中选一人参与互动．
（1）求选到的学生是艺术生的概率；
（2）如果选到的学生是艺术生，判断其来自哪个班的可能性最大．
解：（1）设“任选一名学生恰好是艺术生”，“所选学生来自甲班”，“所选学生来自乙班”,“所选学生来自丙班”．由题可知：
，，，
，，

.
（2）；


所以其来自丙班的可能性最高．
18. 某服装厂主要从事服装加工生产，依据以往的数据分析，若加工产品订单的金额为x万元，可获得的加工费为万元，其中．
（1）若，为确保企业获得的加工费随加工产品订单的金额x的增长而增长，则该企业加工产品订单的金额x（单位：万元）应在什么范围内？
（2）若该企业加工产品订单的金额为x万元时共需要的生产成本为万元，已知该企业加工生产能力为（其中x为产品订单的金额），试问m在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损．
解：（1）当时，，
所以，令，即，又因为，
因此，所以该企业加工产品订单的金额x（单位：万元）应在；
（2）令，该企业加工生产将不会出现亏损，即恒成立，
所以，即，
设，则，
令，
则，
所以在上单调递减，且，所以在上，即在上恒成立，故，所以，故，
因此当时，该企业加工生产将不会出现亏损.
19. 设函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若有两个零点，，
①求a的取值范围；
②证明：．
解：（1）由，，可得，
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，得，令，得，
所以在单调递减，在单调递增；
（2）①因为函数有两个零点，由（1）得，
此时的递增区间为，递减区间为，有极小值
当，，当，在上有一个零点，
当，，当，在上有一个零点，
所以由可得
②证明：由（1）可得的极小值点为，则不妨设．
设，，
可得，，
所以在上单调递增，所以，
即，则，，
所以当时，，且．
因为当时，单调递增，所以，即
设，，则，则，
即．
所以，．
设，则，所以在上单调递减，
所以，所以，即．
综上，
x
1
3
+
2
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增