广东省惠州市博罗县2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学试卷(解析版)

这是一份广东省惠州市博罗县2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共有8小题，每小题6分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑.
1. 已知，则x的取值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】因为，
所以或，解得．
经检验，满足题意.
故选：B．
2. 下列求导数运算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】,故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
，故D正确.故选：C
3. 若展开式的常数项为160，则（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】A
【解析】二项式展开式通项为，
令，则常数项为，解得.
故选：A.
4. 已知函数，则（ ）
A. B. 2C. 3D.
【答案】A
【解析】由，得，
令，则，解得，故选：A
5. 开学典礼上甲、乙、丙、丁、戊这5名同学从左至右排成一排上台领奖，要求甲与乙相邻且甲与丙之间恰好有1名同学的排法有（ ）种．
A. 12B. 16C. 20D. 24
【答案】C
【解析】若甲与丙之间为乙，即乙在甲、丙中间且三人相邻，共有种情况，将三人看成一个整体，与丁戊两人全排列，共有种情况，则此时有种排法；
若甲与丙之间不是乙，先从丁、戊中选取1人，安排在甲、丙之间，有种选法，此时乙在甲的另一侧，将四人看成一个整体，考虑之前的顺序，有种情况，将这个整体与剩下的1人全排列，有种情况，此时有种排法，
所以总共有种情况符合题意.故选：C．
6. 下图示函数的导函数的图象，给出下列命题：
①，是函数的极小值点；
②是函数的极大值点；
③在处切线的斜率大于零；
④在区间上单调递增．
则正确命题的序号是（ ）
A. ①②B. ①④C. ②③D. ③④
【答案】C
【解析】①当时，且左右两侧同时为正，此时单调递增，无极值点，
当时，且左右两侧同时负，此时单调递减，无极值点，故①错误；
②当时，且左侧为正，右侧为负，此时在的左侧为单调递增，右侧为单调递减，故是函数的极大值点，故②正确；
③由图知，根据导数的几何意义知，在处切线的斜率大于零，故③正确；
④当时，，故在为单调递减，故④错误；
综上可知，②③正确
故选：C．
7. 我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化败毒方、 宣肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件表示选出的两种中至少有一药，事件表示选出的两种中有一方，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意，，
所以.
故选：D
8. 泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式，得名于英国数学家泰勒．根据泰勒公式，有，其中，，，．现用上述式子求的值，下列选项中与该值最接近的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意得
当时，
于是
,
故选：D.
二、多项选择题：共3小题，每小题满分18分，共18分.在每题四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于 A， 取 , 则 ，则A正确；
对B，根据二项式展开通式得的展开式通项为，即，其中
所以，故B正确；
对C，取，则，
则，故C错误；
对D，取，则，
将其与作和得，
所以，故D正确；
故选：ABD.
10. 袋中有大小相同8个小球，其中5个红球，3个蓝球．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．记“第一次摸球时摸到红球”为事件，“第一次摸球时摸到蓝球”为事件，“第二次摸球时摸到红球”为事件，“第二次摸球时摸到蓝球”为事件，则下列选项中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，因为，，
所以，故D正确．
故选：ABD．
11. 定义阶导数的导数叫做阶导数（，），即，分别记作.设函数，不等式对任意恒成立，则实数的取值可能为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】BD
【解析】因为，
所以，
所以，，
所以，
所以对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令，，则，，
，
令，得，
当时，；时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，即，
故选:BD.
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共16分.把答案填在答题卷相应横线上.
12. 已知函数，则函数的图像在处的切线方程为______．
【答案】
【解析】由，得，则，
所以函数的图象在处的切线方程为，即．
故答案为：．
13. 从七名运动员中选出名参加米接力赛，其中运动员不跑第一棒，运动员不跑第二棒，则不同安排方案有____________种.
【答案】
【解析】若运动员跑第一棒，则从剩下的六名运动员中任选三名跑另外三棒，
有种；
若运动员不跑第一棒，也不能跑第二棒，则从除外的五名运动员中，任选一名跑第一棒，有，
从除和已经排好的人以外的五名运动员中任选一名跑第二棒，有，
再从剩下的五名运动员中任选两名跑另外两棒，有种，
故不同安排方案有种.
故答案为：.
14. 若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为______．
【答案】．
【解析】由可得当时，
，
即，
令，易知恒成立，即在R上单调递增，
由可得；
故，可得，即，
又是单调递增函数，故可得，
令，则，
当时，，此时在上单调递增；
当时，，此时在上单调递减，
故，
可得．
故答案：．
四、解答题：本题共5个小题，共77分.把答案填在答题卷相应空白上.
15. 已知函的图象过点，且．
（1）求的值：
（2）求函数的单调区间．
解：（1）由题意得，，
因为，
所以，
所以；
（2）由（1）得，，
当或时，，当时，，
故的单调递增区间为，，单调递减区间为．
16. 北京时间2021年8月8日，历时17天的东京奥运会落下帷幕，中国代表团以38金、32银、18铜打破4项世界纪录，创造21项奥运会纪录的傲人成绩，顺利收官．作为“梦之队”的中国乒乓球队在东京奥运会斩获4金3银的好成绩，参赛的7名选手全部登上领奖台．我国是乒乓球生产大国，某厂家生产了两批同种规格的乒乓球，第一批占，次品率为：第二批占，次品率为．为确保质量，现在将两批乒乓球混合，工作人员从中抽样检查．
（1）从混合的乒乓球中任取1个．
（i）求这个乒乓球是合格品的概率；
（ii）已知取到的是合格品，求它取自第一批乒乓球的概率．
（2）从混合的乒乓球中有放回地连续抽取2次，每次抽取1个，记两次抽取中，抽取的乒乓球是第二批的次数为X，求随机变量X的分布列．
解：（1）（i）∵第一批占，次品率为；第二批占，次品率为，
∴这个乒乓球是合格品的概率.
（ii）已知取到的是合格品，它取自第一批乒乓球的概率；
（2）由题意可得，X的所有可能取值为0，1，2，
； ；
；
故X的分布列为：
17. 已知函数．
（1）讨论的极值；
（2）求在上的最小值．
解：（1）由题意知：的定义域为，；
当时，，恒成立，在上单调递增，
无极值；
当时，若，；若，；
在上单调递减，在上单调递增；
的极小值为，无极大值；
综上所述：当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值.
（2）当时，在上恒成立，在上单调递增，
；
当时，若，；若，；
在上单调递减，在上单调递增，
；
当时，在上单调递减，；
综上所述：在上的最小值.
18. 某商家为了促销，规定每位消费者均可免费参加一次抽奖活动.活动规则如下：在一不透明的纸箱中有9张相同的卡片，其中3张卡片上印有“中”字，3张卡片上印有“国”字，另外3张卡片上印有“红”字.消费者从该纸箱中不放回地随机抽取3张卡片，若抽到的3张卡片上都印有同一个字，则获得一张20元代金券；若抽到的3张卡片中每张卡片上的字都不一样，则获得一张10元代金券；若抽到的3张卡片是其他情况，则不获得任何奖励.
（1）求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有“中”字的概率.
（2）记随机变量为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求的分布列和数学期望.
（3）该商家规定，消费者若想再次参加该项抽奖活动，则每抽奖一次需支付5元.若你是消费者，请从收益方面来考虑是否愿意再次参加该项抽奖活动，并说明理由.
解：（1）记“某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有‘中’字”为事件，则.所以某位消费者在一次抽奖活动中抽到的3张卡片上都印有“中”字的概率是
（2）随机变量的所有可能取值为，
则，
，
.
所以的分布列为
.
（3）记随机变量为消费者在一次抽奖活动中的收益，则，
所以，因此我不愿意再次参加该项抽奖活动.
19. 如图，对于曲线，存在圆满足如下条件：
①圆与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧；
②圆与曲线在点处有相同的切线；
③曲线的导函数在点处的导数（即曲线的二阶导数）等于圆在点处的二阶导数（已知圆在点处的二阶导数等于）；
则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径．
（1）求抛物线在原点的曲率圆的方程；
（2）求曲线的曲率半径的最小值；
（3）若曲线在和处有相同的曲率半径，求证：．
解：（1）记，设抛物线在原点的曲率圆的方程为，其中为曲率半径．
则，，
故，，
即，
所以抛物线在原点的曲率圆的方程为；
（2）设曲线在的曲率半径为．则
法一：，
由知，，所以，故曲线在点处的曲率半径，
所以，则，
则，当且仅当，即时取等号，
故，曲线在点处的曲率半径．
法二：，，
所以，而，
所以，解方程可得，
则，当且仅当，即时取等号，
故，曲线在点处的曲率半径．
（3）法一：函数的图象在处的曲率半径，故，
由题意知： 令，
则有，
所以，即，故．
因为，所以，
所以，
所以．
法二：函数的图象在处的曲率半径，
有
令，则有，
则，故 ，
因为，所以，
所以有，
令，则，即，
故，所以，
即；
法三：函数的图象在处的曲率半径．
故
设，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故有，
所以，
要证，即证，
即证 将 ，
下证：当时，有，
设函数（其中），
则，
故单调递增， ，
故，所以．
法四：函数的图象在处的曲率半径，
有，
设．
则有，
所以当时，当时，
故在上单调递减，在上单调递增．
故有，
所以，
要证，即证，
即证．将，
下证：当时，有，
设函数（其中），
则，
故单调递增，故 ，
故，所以．
X
0
1
2
P
0.36
0.48
0.16
0
10
20