福建省三明市2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试卷(解析版)

这是一份福建省三明市2022-2023学年高一下学期期末质量检测数学试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知为虚数单位，复数z满足，则（ ）
A. B. 2C. D. 1
【答案】C
【解析】由，得，.
故选：．
2. 已知圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为圆锥底面半径为1，高为2，所以圆锥的母线长为，
所以该圆锥侧面积为.
故选：B.
3. 已知平面向量、满足，，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，
则，
解得，
因为，故，故与的夹角为.
故选：A.
4. 一次投篮练习后体育老师统计了第一小组10个同学的命中次数作为样本，计算出他们的平均命中次数为6，方差为3，后来这个小组又增加了一个同学，投篮命中次数为6，那么这个小组11个同学投篮命中次数组成的新样本的方差是（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】B
【解析】设10个同学的命中次数分别为，
则有，得，
于是新样本的平均数，
新样本的方差为
，.
故选：B.
5. 在平行四边形ABCD中，，，G为EF的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
.
故选：D.
6. 设是两个不同平面，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，且与所成的角和与所成的角相等，则
【答案】B
【解析】A选项，若，则与可能平行，所以A选项错误；
B选项，两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行，所以B选项正确；
C选项，若，则可能含于，所以C选项错误；
D选项，若，且与所成的角和与所成的角相等，则可能与异面或相交.
故选：B.
7. 麒麟山位于三明市区中部，海拔262米，原名牛垄山．在地名普查时，发现山腰有一块“孔子戏麒麟”石碑，故更现名．山顶的麒麟阁仿古塔造型是八角重檐阁．小李为测量麒麟阁的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得，，米，则麒麟阁的高度CD约为（参考数据：，）（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】C
【解析】因为，，所以，
又，所以，
又米，所以，解得米.
故选：C.
8. 设为的内心，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】取的中点，连，
因为，，所以，，
所以的内心在线段上，为内切圆的半径，
因，
所以，
所以，得，
所以，
所以，
又，所以，
又已知，所以，
所以.
故选：B.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 设复数，则下列命题中正确的是（ ）
A. 在复平面内对应的点在第一象限B. 的虚部是
C. D. 为实数
【答案】ACD
【解析】复数在复平面内对应的点在第一象限，故A正确；
的虚部为，故B错误；
，，故C正确；
为实数，故D正确.
故选：ACD.
10. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地依次随机摸出2个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字都是偶数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为6”，则（ ）
A. 甲与乙是对立事件B. 甲与乙是互斥事件
C. 丙与丁相互独立D. 甲与丁相互独立
【答案】BD
【解析】设甲、乙、丙、丁事件分别对应，则，
，丁包含的基本事件有，
则，，；
对于A、B，显然甲乙事件不能同时发生，又，则A错误；B正确；
对于C，，则，则C错误；
对于D，，则，D正确.
故选：BD.
11. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A. 若则是等腰三角形
B. 若，，，则满足条件的三角形有且只有一个
C. ，，BC边上中线，则的面积为
D. 若，则为钝角三角形
【答案】BC
【解析】对于A：由正弦定理得，则，
则中或，故A错误；
对于B：由，则，
可得，故，满足条件的三角形有一个，故B正确；
对于C：设，容易知，
故可得，
可得，解得，
由余弦定理可得；
由，可得，
故可得三角形面积为，故C正确；
对于D，即，
为锐角，故不一定为钝角三角形，故D错误.
故选：BC.
12. 如图，若正方体的棱长为2，点是正方体在侧面上的一个动点（含边界），点是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 四棱锥外接球的半径为
C. 若，则的最大值为
D. 若，则的最小值为
【答案】ABD
【解析】对于A：
三棱锥的体积为，
因为点是的中点，所以的面积是定值，
且点到平面的距离是正方体的棱长，
所以三棱锥的体积为定值，故A正确；
对于B：
由正方体的性质可得四棱锥为正四棱锥，设，
则平面，
所以四棱锥外接球的球心在直线上，
设外接球的半径为，则，，，
所以，
在中，，即，解得，
故B正确；
对于C：
过点作，则点是的中点，连接，取的中点，
连接，，，
因为且，且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又，所以，又，
所以，所以，
又平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
所以平面，因为平面平面，又，
所以点的轨迹是线段，
在中，，，，
所以的最大值为，此时与重合，故C错误；
对于D：在中，，
所以，
所以点到的距离为，
所以的最小值为，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，，若，则m的值为______．
【答案】
【解析】因为向量，，且，
所以，得.
故答案为：.
14. 某校对高二年级全体学生进行数学学科质量检测，按首选科目（物理和历史）进行分层抽样得到一个样本，样本中选物理类的学生占，该次质量检测的数学平均成绩为100分，选历史类的学生该次质量检测的数学平均成绩为80分，则可估计出该校全体高二学生本次数学质量检测的平均分是______．
【答案】95
【解析】由题可知，样本中选历史类的学生占，
所以估计该校全体高二学生本次数学质量检测的平均分为.
故答案为：95.
15. 刘徽是魏晋时代著名的数学家，他给出的阶幻方被称为“神农幻方”．所谓幻方，即把排成的方阵，使其每行、每列和对角线的数字之和均相等．如图是刘徽构作的3阶幻方，现从中随机抽取和为15的三个数，则含有5的概率是______．
【答案】
【解析】随机抽取和为15的三个数包含的基本事件为
共8个，
其中含有5的基本事件有共4个，
则含有5的概率是.
故答案为：.
16. 已知正三棱柱木料各棱长都为2，如图所示，，分别为和的中心，为线段上的点，且，过三点的截面把该木料截成两部分，则截面面积为______．
【答案】
【解析】如图，连接，延长分别交于，易知，
连接并延长交于，过作交于，连接，
因为，所以，
故梯形为过三点的平面截正三棱柱的截面，
因为，分别为和的中心，，
又，所以，
又是等边三角形，所以，
故，即是的中点，所以，
易知四边形为等腰梯形，所以为等腰梯形的高，
又正三棱柱各棱长都为2，
所以，，，
所以.
故答案为：.
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在中，角的对边分别，满足．
（1）求；
（2）若，，求的面积．
解：（1）因为，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
因为，所以．
（2）由（1）知，，
因为，所以，即，
又，解得，
所以．
18. 某企业为了深入学习贯彻党的二十大精神，组织全体120位党员开展“学习二十大，争当领学人”党史知识竞赛，所有党员的成绩均在内，成绩分成5组，按照下面分组进行统计分析：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，并绘制成频率分布直方图如图所示，按比例分配的分层抽样的方法在第3，4，5组共选取6人作为企业“二十大精神”的宣传使者．
（1）根据频率分布直方图，估计党员成绩的样本数据的第80百分位数；
（2）若从6位宣传使者中随机选取两人参加宣传活动，求第3组中至多有一人被选中的概率．
解：（1）根据频率分布直方图，小于90分的党员成绩所占比例为
，
所以党员成绩的样本数据的第80百分位数位于内，由，
可以估计党员成绩的样本数据的第80百分位数为92.5.
（2）由频率分布直方图可知，第3，4，5组党员人数的比例为，
按比例分配的分层抽样的方法选取第3组党员人数为人，
将第3组三位党员编为A，B，C，其他组三位党员编为D，E，F，
用，表示两位党员，则可以用表示随机选取两人的组合，
设事件“从宣传使者中随机选取两人，第3组中至多有一人被选中”，
试验的样本空间
，
，
所以，
从而．
19. 在如图所示的几何体中，底面是正方形，四边形是直角梯形，，，平面平面，分别为的中点，，．
（1）求证：平面平面；
（2）求多面体的体积．
解：（1）因为G，F分别为PB，PC的中点，所以，
又因为四边形是正方形，所以，所以，
又因为平面，平面．所以平面，
因为G，E分别为PB，MB的中点．所以，
又因为平面，平面．所以平面，
又因为，EG，平面EFG，所以平面平面．
（2）连接，则多面体的体积，
因为四边形是直角梯形，，，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，所以PD是四棱锥的高，
又因为．所以，
因为平面，平面．所以，
因为四边形是正方形，所以，
又，AD，平面，
所以平面，即AB是三棱锥的高，
所以，
所以多面体PMABCD的体积．
20. 猜灯谜是我国元宵节传统特色活动．在某校今年开展元宵节猜灯谜的活动中，组织者设置难度相当的若干灯谜，某班派甲、乙和丙三位同学独立竞猜，根据以往数据分析可知，甲、乙猜对该难度的每道灯谜的概率分别为，．
（1）任选一道灯谜，求甲、乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
（2）任选一道灯谜，若甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求丙猜对该难度的每道灯谜的概率．
解：（1）设事件A=“任选一道灯谜，甲猜对”，事件B=“任选一道灯谜，乙猜对”，
事件C=“任选一道灯谜，甲、乙两位同学恰有一个人猜对”，
则，，故，，
因为事件A与事件B相互独立，
所以．
（2）设事件D=“任选一道灯谜，甲、乙、丙三个人中至少有一个人猜对”，
事件E=“任选一道灯谜，丙猜对”，
因为事件A、事件B、事件C两两独立，那么
，
所以，，所以．
21. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，．
（1）求证：；
（2）在线段PD上是否存在一点M，使得BM与平面所成角的正切值为，若存在，求二面角的大小，若不存在，请说明理由．
解：（1）证明：因为，，，，
所以四边形是直角梯形，且，，
故，即，
又平面，平面，所以，
又，且PA，平面PAC，所以平面PAC，
又平面PAC，所以.
（2）存在符合条件的点M，且M为PD的中点，
证明如下，过点M作于点N，连接BN，
因为平面，平面，所以，
因为MN，平面PAD，所以，
因为，所以，
因为，平面，所以平面，
则∠MBN为BM与平面所成的角，
设，则，，，
由得，
解得或（舍去），
所以M为PD的中点，
过点N作于点G，连接MG，
因为平面，平面，所以，
又，平面MGN，故平面MGN，
因为平面MGN，所以，所以∠MGN为二面角的平面角，
在中，，所以，
即当点M为PD的中点时，符合题意，且二面角的大小为．
22. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．点D在BC上，且.
（1）若，求c；
（2）若AD是∠BAC的角平分线，且，求周长的最小值．
解：（1）因为，
在中由正弦定理得，即，
所以，.
（2）由得
，即，
在中，由余弦定理得，所以，
所以周长，
由得，当且仅当时等号成立，
所以周长，
所以周长的最小值为．
8
1
6
3
5
7
4
9
2