湖北省荆门市2022-2023学年高一下学期期末数学试卷(解析版)

这是一份湖北省荆门市2022-2023学年高一下学期期末数学试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列函数是偶函数的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A，函数定义域R，显然，且，
函数不是奇函数，也不是偶函数，A不正确；
对于B，函数定义域为，函数不是奇函数，也不是偶函数，
B不正确；
对于C，函数定义域为，，函数奇函数，
C不正确；
对于D，函数定义域是R，，函数是偶函数，D正确.
故选：D.
2. 已知复数满足，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】C
【解析】设复数，则，
得，，
，解得：或，
所以或，得.
故选：C.
3. 总体由编号01，，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
A. 08B. 07C. 02D. 01
【答案】D
【解析】从第一行的第5列和第6列起由左向右读数划去大于20的数分别为：08，02，14，07，01，所以第5个个体是01.
故选：D.
4. 圆锥被一平面所截得到一个圆台，若圆台的上底面半径为，下底面半径为，圆台母线长为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示：
圆台的上底面半径为，下底面半径为，圆台母线长为，
则，解得，所以圆锥母线长为，
所以该圆锥的侧面积为.
故选：B.
5. 垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似地满足关系（其中a，b，为正常数），经过6个月，这种垃圾的分解率为，经过12个月，这种垃圾的分解率为，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（ ）个月（参考数据：）
A. 20B. 28C. 32D. 40
【答案】C
【解析】由题意得，，解之得，则，
则由，可得，
两边取常用对数得，，则.
故选：C.
6. 已知函数，若方程有三个不等的实数根，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵函数，方程有三个不等的实数根，
∴作出函数和图象，如图所示：
设，根据函数对称性可得，
令，得，所以，则的取值范围为.
故选：D.
7. 如图是函数的部分图象.现将的图象向右平移个单位长度后得到奇函数，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由图象可知的周期为，
又经过点，即，
将其代入可得，
所以，
故，则，
由于为奇函数，所以，故，
由于，故当取最小值.
故选：A.
8. 在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cs A＝，O是的内心，若＝x＋y，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（ ）
A. B. C. 4D. 6
【答案】B
【解析】在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，得a＝7.
设△ABC的内切圆的半径为r，则bcsinA＝(a＋b＋c)r，
解得r＝，所以S△BOC＝×a×r＝×7×＝，
故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为＝.
故选：B.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，有错选的得0分，部分选对的得2分.
9. 若是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】CD
【解析】对于A，若，则向量长度相等，但方向不一定相同，不能得到，
故A选项错误；
对于B，若，则，即或，故B选项错误；
对于C，若，则非零向量方向相同或相反，非零向量方向相同或相反，
即的方向相同或相反，故，故C选项正确；
对于D，若，则，所以，得，
故D选项正确.
故选：CD.
10. 跑步爱好者小亮为了参加“2021年重庆市第六届运动会半程马拉松”比赛，从2020年1月开始进行长跑训练.他根据某跑步软件记录的2020年1月至2020年11月期间每月跑步的里程(单位：十公里)数据整理并绘制了下面的折线图.请根据该折线图分析，下列结论正确的是（ ）
A. 月跑步里程逐月增加
B. 月跑步里程最小值出现在2月
C. 1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小
D. 月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数
【答案】BCD
【解析】对于选项A：由折线图变化趋势可知：月跑步里程不是逐月增加的，
故选项A不正确；
对于选项B：由折线图知：月跑步里程最小值出现在2月，故选项B正确；
对于选项C：由折线图的变化趋势可知：8月至11月波动较大，
因此1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，故选项C正确；
对于选项D：月跑步里程数按从小到大的顺序排列对应月份分别为：2月、8月、3月、4月、
1月、5月、7月、6月、11月、9月、10月，故5月份对应的里程数为中位数，
故选项D正确.
故选：BCD.
11. 如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的一个动点，下列说法正确的是（ ）
A. 棱锥的体积为定值
B. 截面的周长的最小值为
C. 存在点，使得平面
D. 与平面所成的角的最大角为
【答案】ABD
【解析】在正方体中，，
对于A，连接，由平面平面，得，
又平面，则平面，
而平面，于是平面，
点到平面的距离等于到平面的距离，
棱锥的体积为定值，
A正确；
对于B，因为平面平面，
则平面与平面的交线平行于，
同理平面与平面的交线平行于，
因此平面截正方体的截面为，
连接，显然，在正方形中，延长于，使，
连接交于，连接，如图，显然垂直平分，点是中点，
因此截面的周长
，当且仅当点与重合时取等号，B正确；
对于C，因为正方体的对角面是矩形，不垂直于，
而平面，因此不垂直于平面，C错误；
对于D，令与平面所成的角为，，由选项A知，
，
当且仅当时取等号，又为锐角，因此，D正确.
故选：ABD.
12. 已知函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是函数为偶函数.函数是定义在上的奇函数，是偶函数，则（ ）
A.
B.
C. 是满足条件的一个函数
D. 若当时单调递增，则的解集是
【答案】ACD
【解析】由题可得关于对称，且关于直线对称，
所以，
所以的周期为，，
故A正确，B错误；
函数的周期为，定义在R上的奇函数，是偶函数，
故C错误；
对于D项，由题可知函数在上递增，且，
又关于直线对称，
在上递减，且，所以时，，又周期为4，
故的解集是，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上相应位置.
13. 两个粒子从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，则在上的投影向量为_________.
【答案】
【解析】在上的投影向量为：.
故答案为：.
14. 某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为_____；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时，980小时，1 030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为______．
【答案】50 1 015小时
【解析】第一分厂应抽取的件数为100×50%=50；
该产品的平均使用寿命为1 020×0.5+980×0.2+1 030×0.3=1 015(小时)．
故答案为：50 1 015小时.
15. 在中，，，，，，若的外接圆的半径为，则角___________.
【答案】
【解析】设角A，B，C的对边分别为a，b，c，由正弦定理，
，
，，即为钝角，为锐角，
，
，
.
故答案：.
16. 已知四棱锥中的外接球的体积为，，平面，四边形为矩形，点在球的表面上运动，则四棱锥体积的最大值为________
【答案】
【解析】，故，将四棱锥补成长方体，
可知外接球的直径为长方体的体对角线，设长方体的长、宽、高分别为，且，
由于，又，当且仅当时等号成立，
此时，要使得四棱锥的体积最大，
只需点为平面的中心与球心所在的直线与球的交点，
又，
故体积的最大值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共6题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 在中，，，，是边上一点，，设，．
（1）试用，表示；
（2）求的值．
解：（1）∵是边上一点，，∴，
又∵，，，
∴．
（2）∵，，，
∴，
.
18. 已知函数.
（1）当时，的最大值为1，最小值为，求实数的值；
（2）若，求函数在上的单调递增区间.
解：（1）当，有，则，
因为，所以，，解得.
（2），
由，得，
因为，取或，或，
故函数在上的单调递增区间为或.
19. 为了解我市参加2022年全国高中数学联赛的学生的考试成绩，现从中选取60名同学，将其成绩（百分制，均为正整数）分成，六组后，得到部分频率分布直方图（如下图），回答下列问题.
（1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的众数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（3）根据评奖规则，排名靠前的的同学可以获奖，请估计获奖的同学至少需要多少分？该估计值是第_____百分位数.
解：（1）由题意可得：，
得分数在内的频率为，
频率分布直方图如下：
（2）因为各组的频率依次为，
则的频率相同且最大，
所以众数为和，
平均分为.
（3）因为的频率，
两组的频率，
设获奖的同学至少需要分，
则，解得，
所以得获奖的同学至少需要88分，
根据百分位数的定义可知：该估计值是第90百分位数.
20. 如图，在直角梯形ABCD中，，，，点E是BC的中点．将沿BD折起，使，连接AE、AC、DE，得到三棱锥．
（1）求证：平面平面BCD；
（2）若，二面角的大小为60°，求三棱锥的体积．
解：（1），，，故平面，平面，
故，，，故平面，
平面BCD，故平面平面BCD.
（2）如图所示：分别为的中点，连接，
分别为中点，故，平面，故平面，
平面，故，
分别为中点，故，，故，
，故平面，
故为二面角的平面角，即，
设，则，，，，，
，
根据的等面积法：，解得，
.
21. 拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点.”已知在中，以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为.若角的对边分别为，且
（1）求；
（2）若，求的面积最大值.
解：（1）由正弦定理得，
因，
，
因为，即，
则或，
因为为三角形的内角，，.
（2）由余弦定理得，当时取等号，取的中点G，
同理，
，
.
22. 已知
（1）求的值；
（2）求证有且仅有两个零点，并求的值；
（3）若，对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.
解：（1）因为，
，则有.
（2）函数，定义域为，
函数在和上单调递减，函数在和上单调递减，
所以在和上单调递减，
，，
在上有唯一零点，
且，，
在上有唯一零点，
即，
又，，
又，，即.
（3）时，，
时，恒成立，即在时恒成立，
时，，当且仅当即时等号成立，
所以，即的取值范围为.7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481