江苏省扬州市2024届高三下学期高考考前调研测试数学试卷(解析版)

这是一份江苏省扬州市2024届高三下学期高考考前调研测试数学试卷(解析版)，共17页。试卷主要包含了 已知集合，则“”是“”的， 若复数满足，则等于， 圆被直线所截线段的长度为， 已知函数，则， 已知正实数满足等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题
1. 已知集合，则“”是“”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时，，则；
反之，当时，或，解得或，
若，，满足，若，显然满足，
因此或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：B
2. 若复数满足，则等于（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】由，可得，
所以，
所以.
故选：A.
3. 圆被直线所截线段的长度为（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知：圆的圆心为，半径，
则圆心到直线的距离，
所以所截线段的长度为.
故选：D.
4. 某外来入侵植物生长迅速，繁殖能力强，大量繁殖会排挤本地植物，容易形成单一优势种群，导致原有植物种群的衰退甚至消失，使当地生态系统的物种多样性下降，从而破坏生态平衡.假如不加控制，它的总数量每经过一年就增长一倍.则该外来入侵植物由入侵的1株变成100万株大约需要（ ）（参考数据：）
A. 40年B. 30年C. 20年D. 10年
【答案】C
【解析】设该外来入侵植物由入侵的1株变成100万株大约需要年，
由题意知，，即，
所以，
即由入侵的1株变成100万株大约需要20年.
故选：C.
5. 已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意，设圆锥外接球的半径为，
则有，解得，
则该圆锥的外接球表面积．
故选：C．
6. 在二项式的展开式中，记各项的系数和为，则被5除所得的余数是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】D
【解析】令,故系数项的和为,
故
故被5除所得的余数为1. 故选:
7. 在中，为线段的中点，过的直线分别与线段交于，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图，因则,即（*），
又,,代入（*）得，,
即，因三点共线，故，解得，.
故选：B.
8. 将一颗骰子连续抛掷三次，向上的点数依次为，则的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】考虑取定的值，分类统计事件“”所含的样本点数，将对应的值作为一个数组，列表如下：
第一类：时，满足“”的样本点有个；
第二类：时，满足“”的样本点有个；
第三类：时，满足“”的样本点有个；
第四类：时，满足“”的样本点有个；
第五类：时，满足“”的样本点有个；
第六类：时，满足“”的样本点有1个.
由分类加法计数原理，满足“”的样本点共有：个，
而一颗骰子抛掷一次有6种结果，抛掷三次有个样本点，
因结果有限，且每个样本点发生的可能性相等，故是古典概型.
则“”的概率为.
故选：D.
二､多项选择题
9. 已知函数，则（ ）
A. 最小正周期为
B. 是图象的一条对称轴
C. 是图象的一个对称中心
D. 在上单调
【答案】BC
【解析】，
对于A：的最小正周期为，错误；
对于B：令可得，
所以的图象关于直线对称，正确；
对于C：令可得，且，
所以的图象关于点对称，正确；
对于D：因为，所以，
由在上单调递增，上单调递减可知，
在上单调递增，在单调递减，错误；
故选：BC.
10. 已知正实数满足（是自然对数的底数，），则（ ）
A. B.
C. 的最大值为D. 方程无实数解
【答案】ACD
【解析】对于A：由，可得，将代入原方程，
可得，
故A正确；
对于B：若，可得，将代入原方程，
得，则，而右边恒大于0，则等式不成立，故B错误；
对于C：令，
则，令，可得，
当时，，所以单调递增，即，
当时，，所以单调递减，即，
所以当时，，在区间上的值域为，故C正确；对于D：由上可知在区间上的值域为，
所以无实数解，故D正确.
故选：ACD.
11. 如图，一个棱长为6的透明的正方体容器（记为正方体）放置在水平面的上方，点恰在平面内，点到平面的距离为2，若容器中装有水，静止时水面与表面的交线与的夹角为0，记水面到平面的距离为，则（ ）
A. 平面平面
B. 点到平面距离为8
C. 当时，水面的形状是四边形
D. 当时，所装的水的体积为
【答案】ABD
【解析】如图所示建立空间直角坐标系，
则,
因为静止时水面与表面的交线与的夹角为0，所以平面，
设平面的法向量为，，点到平面的距离为，，，而，令，所以平面的法向量为，
对A，，，，，
故平面，
所以平面的法向量为，又，
所以平面平面，故A正确；
对B，，所以到平面的距离为，故B正确；
对C，因为，所以，当时，截面为六边形，故C错误；
对D，当时，设水面与的交点分别为，设，
则，
则，，故，
设水面与交点为，
所以，
，此时过作交于点，连接，
设的面积为,的面积为，则，，
所以，所以，故D正确.
故选：ABD
三､填空题
12. 在中，角的对边分别为，若，则______.
【答案】
【解析】在中，若，由正弦定理有，
不妨设，则有，
由，得.
故答案为：
13. 已知双曲线的左､右焦点分别是，若双曲线左支上存在点，使得，则该双曲线离心率的最大值为__________．
【答案】3
【解析】由双曲线左支上一点，可得，
又，所以，
又，所以，所以，
所以该双曲线离心率的最大值为.
故答案为：.
14. 对于有穷数列,从数列中选取第项､第项､､第项，顺次排列构成数列，其中，则称新数列为的一个子列，称各项之和为的一个子列和．规定：数列的任意一项都是的子列．则数列的所有子列和的和为__________．
【答案】2016
【解析】数列中每一项，含有一个项的子列有个，含有两个项的子列有个，
含有三个项的子列有个，含有四个项的子列有个，含有五个项的子列有个，含有六个项的子列有个，因此和式中，数列中的每一项，都出现次，
所以所求和为.故答案为：2016
四､解答题
15. 已知各项均为正数的数列前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：．
（1）解：因为①，所以②，③，
由③得：，所以，
②-①得：，整理得：，
又因为各项均为正数，所以，
所以是公差的等差数列，．
（2）证明：由（1），，
所以，
所以．
16. 如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，点在上，点在上，平面平面．
（1）求证：是的中点；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
（1）证明：因为平面平面，平面平面，
平面平面．所以，
又由梯形可得，所以四边形为平行四边形，
所以，所以是的中点．
（2）解：连接，由（1）知是的中点，，
故，故，
因为，
所以，故，即，
因为，所以与全等，
所以，即，
又平面，所以平面，
以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系，
因为，由勾股定理得，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，
即，
取，则，于是，
由平面平面，平面平面，平面平面．
得，
又是的中点，所以是的中点，．
设直线与平面所成角为，
，
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
17. 杭州是国家历史文化名城，为了给来杭州的客人提供最好的旅游服务，某景点推出了预订优惠活动，下表是该景点在某App平台10天预订票销售情况：
经计算可得：.
（1）因为该景点今年预订票购买火爆程度远超预期，该App平台在第10天时系统异常，现剔除第10天数据，求关于的线性回归方程（结果中的数值用分数表示）；
（2）该景点推出团体票，每份团体票包含四张门票，其中张为有奖门票（可凭票兑换景点纪念品），的分布列如下：
今从某份团体票中随机抽取2张，恰有1张为有奖门票，求该份团体票中共有3张有奖门票的概率.
附：对于一组数据，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
解：（1）设关于线性回归方程：，
则，
，
所以，
所以关于的线性回归方程是.
（2）记“从某份团体票中随机抽取2张，恰有1张为有奖门票”为事件A，
“该份团体票中共有张有奖门票”为事件，
则，
，所以，
，所以，
.
所以.
则所求概率是.
18. 已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）函数．
①讨论函数的单调性；
②函数，求实数的取值范围．
解：（1）函数，，则，
令，解得或，
则，，的关系表如下所示：
由上表，函数极大值为，极小值为；
（2）①，则，
记，
则，
当时，，则在上单调递增，
所以时，，所以，
所以是上的增函数．
②，
当时，恒成立；
当时，，
令，
当时，令，
则，
所以在上单调递增，所以，即，
所以，
因为，所以，
不满足题意，
所以不成立．
当时，
记，，
由①知时，，
所以
，
所以．所以成立．
综上所述：．
19. 已知椭圆短轴长为2，椭圆上一点到距离的最大值为3．
（1）求的取值范围；
（2）当椭圆的离心率达到最大时，过原点斜率为的直线与交于两点，分别与椭圆的另一个交点为．
①是否存在实数，使得的斜率等于？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
②记与交于点，求线段长度的取值范围．
解：（1）设，由题知，，即，
则，即，
记，
则在上的最大值为9，对称轴为，
①当，即时，，成立；
②当，即时，
，
当且仅当，即时等号成立，可知不成立；
综上，；
（2）由（1）得，，
所以当时，离心率达到最大，此时，椭圆，
①存在，理由如下，
设，则，其中，即，
，
由，
得，
即，
所以，，
所以，，
由，
得，
即，
所以，，
可得，
所以，的斜率；
②由①知，，
由，，即，
将代入椭圆方程得：，
所以的轨迹方程为，
所以，线段长度的取值范围为．1
2
3
4
5
6
1
（11）
（1,2）
（1,3）
（1,4）
（1,5）
（1,6）
2
（2,1）
（2,2）
（2,3）
（2,4）
（2,5）
（2,6）
3
（3,1）
（3,2）
（3,3）
（3,4）
（3,5）
（3,6）
4
（4,1）
（4,2）
（4,3）
（4,4）
（4,5）
（4,6）
5
（5,1）
（5,2）
（5,3）
（5,4）
（5,5）
（5,6）
6
（6,1）
（6,2）
（6,3）
（6,4）
（6,5）
（6,6）
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
销售量（万张）
1.93
1.95
1.97
1.98
2.01
2.02
2.02
2.05
2.07
05
2
3
4
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增