山西省太原市2023-2024学年高二下学期期中学业诊断数学试卷(解析版)

这是一份山西省太原市2023-2024学年高二下学期期中学业诊断数学试卷(解析版)，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 等差数列中，，则的公差（ ）
A. 3B. 2C. D.
【答案】A
【解析】由得，，
故选：A．
2. 已知函数，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】C
【解析】，
则.
故选：C
3. 等比数列中，，则的前项和（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，由，则，由，则，
解得，所以.
故选：B.
4. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，由，得，
所以函数的单调递增区间是．
故选：D.
5. 已知是等差数列，，，则（ ）
A. 6B. 9C. 18D. 27
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，由，，
得，解得，
所以.
故选：C
6. 已知函数的图象如下图所示，则下列结论正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
,
,
由图可知，，
在和单调递减，单调递增，
故的解集为,
所以二次函数开口向下，，
且的根为，
故，，
所以.
故选：C
7. 已知、分别是等差数列和等比数列，其前项和分别是和，且，，，则（ ）
A. 13B. 3或13C. 9D. 9或18
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，，，
得，解得或．
或．
故选：D．
8. 已知函数在处有极小值，则的极大值为（ ）
A. 1B. 1或3C. D. 4或
【答案】C
【解析】因为，
所以，
由，即，解得或，
当时
令，解得或，
所以当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极小值，在处取得极大值，
则；
当时
令，解得或，
所以当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，不符合题意，故舍去；
综上可得；
故选：C．
二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知等差数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 是递增数列D. 是递增数列
【答案】ACD
【解析】由得，，即，
因为，所以，，故A正确；
因为为增数列，且，所以时最小，
所以是递增数列，故C正确；
因，故B错误；
因为，
所以，即为公差为1的等差数列，
所以是递增数列，故D正确，
故选：ACD．
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 有两个极值点B. 的极小值为
C. 在上单调递减D. 函数无零点
【答案】BD
【解析】定义域为，
，令，得或（舍去），
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以是极小值点，极小值为，故B正确，A错误，C错误；
，即函数无零点，故D正确；
故选：BD．
11. 已知数列满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 是递增数列
C. 是等比数列D. 是递增数列
【答案】ACD
【解析】对于AB，依题意，，，A正确，B错误；
对于C，，
而，因此是以为首项，为公比的等比数列，C正确；
对于D，由选项C知，，显然数列是递增数列，
因此数列是递增数列，D正确.
故选：ACD
12. 已知是定义在上的奇函数，当时，，且，则下列结论正确的是（ ）
A B.
C. 当时，D. 当时，
【答案】BC
【解析】设，
由是定义在上的奇函数知，则时，为偶函数，
且时，，
故在单调递减，
由偶函数的对称性知，在单调递增，
故，即，故，B选项正确；
当时，，故，C选项正确；
当时，，故，D选项错误；
由B，D选项知，，故，A选项错误.
故选：BC
三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13. 曲线在处的切线方程为______．
【答案】
【解析】当时，，
，则，
所以曲线在处的切线方程为，即，
故答案为：．
14. 已知数列中，，则______．
【答案】
【解析】由可得
，
可见数列的周期为3，因，则.
故答案为：.
15. 已知递增等比数列的前项和为，且，，，则数列的前项和为______．
【答案】
【解析】由为递增等比数列，所以，且，
由，得，，解得或（舍去），
将代入，得，所以，
所以，，
设数列的前项和为，
故答案为：．
16. 函数的最小值为______
【答案】
【解析】函数的定义域为，
且，
令，则，
函数在上单调递增.
，，
所以，存在，使得，
则，.
当时，，则，此时函数单调递减；
当时，，则，此时函数单调递增.
所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，即.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共52分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）求在区间上的最大值与最小值．
解：（1），令得，或，
当时，，在单调递增，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
所以的极大值为，极小值为．
（2）由（1）得，在和上单调递增，在上单调递减，
因为，所以在区间上的最大值为；
因为，所以在区间上的最小值为．
18. 已知递增等比数列满足，是与的等差中项．
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
解：（1）因为是与的等差中项，，
所以，
即，
解得或，
因为为递增等比数列，所以，所以．
（2），
．
19. 已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若函数恰有两个零点，求实数的取值范围．
解：（1），
因为，所以，令，即，解得，
令，即，解得，
所以递减区间为，递增区间为和．
（2）函数恰有两个零点，则有两个根，
即与有两个交点，
由，，
，，
由（1）画出图象，
由图象可知，．
20. 已知数列中，，，是的前项和，且满足，等比数列中，，．
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求使成立的的最大值．
解：（1）当时，由，
得，
两式相减得，
因为，所以，
当时，，
则数列的奇数项是以为首项，以4为公差的等差数列，
则，
则数列的偶数项是以为首项，以4为公差的等差数列，
则，
综上：；
（2）由，，
解得，
则，，
则，
，
两式相减得，
，
所以，
由，
当时，，
当时，，
所以使成立的的最大值为6.
21. 已知函数．
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）设满足，证明：．
解：（1）函数的定义域为，求导得，
令，求导得，即函数在上递增，
则，即，于是，
由，得；由，得，因此函数在上单调递减，在上单调递增，
，
解得，
所以实数的取值范围.
（2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，
而，
由，得，
令，
求导得，
设，求导得，
设，求导得，令，
求导得，当时，，当时，，
函数，即在上递减，在上递增，
，函数上递增，
于是，即，函数在上递增，
当时，则有，即，
因此，函数在上递减，则，
从而，即，显然，
又函数在上单调递增，则，所以.