陕西省渭南市临渭区前进路初级中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份陕西省渭南市临渭区前进路初级中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
A.B.C.D.3
7.若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（ ）
A.B.C.D.
8.在矩形中，，，P是上的动点，于E，于F，则的值为（ ）
A.B.2C.D.1
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
9.关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是______.
10.一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为______.
11.如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知，则阴影部分的面积是______.
12.若关于x的一元二次方程两根为，，且，则p的值为______.
13.如图，在中，，且，，点D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，点O为的中点，则线段的最小值为______.
14.如图，四边形是正方形，E、F分别在边、上，将、分别沿、折叠后，、重合于的位置，且点G恰好在连线上．若正方形边长为12，线段长为10，则的长为______.
15.如图所示，在中，，，，点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A、B同时出发，经______秒钟，能使的面积等于面积的.
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题8分
（1）（配方法解）.
（2）（公式法解）.
（3）.
（4）.
17.本小题8分
如图，在平行四边形中，E为线段的中点，连接，，延长，交于点F，连接，.
求证：四边形是矩形；
若，，求四边形的面积.
18.本小题8分
已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为，，且，求m的值.
19.本小题8分
如图，矩形中，点O是对角线的中点，过点O的直线分别交、边于点E、F，.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长.
20.本小题8分
已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根为，求k的值，并求出此时方程的另一根．
21.本小题8分
如图，已知正方形，P是对角线上任意一点，E为上的点，且，，.
（1）求证：四边形是正方形；
（2）求证：.
22.本小题8分
利用配方法证明：无论x取何实数值，代数式的值总是负数，并求它的最大值.
23.（本小题8分）
某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
①若降价6元时，则平均每天销售数量为多少件？
②当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
24.（本小题8分）
如图，平行四边形中，、分别是、的平分线，且E、F分别在边、上，.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，的面积等于，求平行线与间的距离.
25.本小题8分
如图，在矩形中，，，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是每秒1个单位，连接、、.设点P、Q运动的时间为t秒
（1）当t为何值时，四边形是矩形；
（2）当时，判断四边形的形状，并说明理由；
（3）直接写出以为对角线的正方形面积为96时t的值；
（4）求整个运动当中，线段扫过的面积是多少？
26.（本小题8分）
如图，是正方形的对角线，，E是的中点，动点P从点A出发，沿方向以每秒1个单位的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度先沿方向运动到点C，再沿方向向终点D运动，以、为邻边作平行四边形，设点P运动的时间为t秒
（1）当时，试求的长；
（2）当点F恰好落在线段上时，求的长；
（3）在整个运动过程中，当为菱形时，求t的值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：是关于x的一元二次方程，
且，解得.
故选：D
根据一元二次方程的定义得到且，由此可以求得m的值．
本题考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）.特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
2.【答案】C
【解析】解：A、，，四边形是平行四边形，
由，不能判定四边形为矩形，故选项A不符合题意；
B、，，四边形是平行四边形，
由，不能判定四边形为矩形，故选项B不符合题意；
C、，，，，
，，的长为与间的距离，
，，，，
四边形是矩形，故选项C符合题意；
D、，，，
，，，
四边形是等腰梯形，故选项D不符合题意；
故选C.
由矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、可化为，故选项错误；
B、可化为，故选项错误；
C、可化为，故选项错误；
D、可化为，故选项正确．
故选：D.
利用完全平方公式的结构特点判断即可得到结果．
此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：，
方程没有实数根，
故选：D
求出一元二次方程根的判别式；根据根的判别式即可判断根的情况．
本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：
（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程有两个相等的实数根；
（3）方程没有实数根．
5.【答案】D
【解析】解：根据题意知，满足关于x的方程得，解得.
故选：D.
将代入已知方程，列出关于C的新方程，通过解新方程来求C的值即可．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查菱形的性质，等边三角形的判定及勾股定理的运用．
根据菱形的性质和等边三角形的判定方法，得三角形是等边三角形．则，根据勾股定理求得的长，同理得到的长，根据已知可推出是等边三角形，从而得到其周长是.
【解答】
解：连接，
四边形是菱形，，，为等边三角形，
，，，
E为的中点，，，又，，
，同理：，
，由对称性可知，，
是等边三角形，，的周长为.
故选：B
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键．
先设出菱形两条对角线的长，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长．
【解答】
解：设菱形的两条对角线长分别为a、b，由题意，得.
菱形的边长
.
故选：C.
8.【答案】A
【解析】解：设，.，；
，故①；同理可得，故②．
①+②得，
.故选A.
根据；找出关系式解答．
此题比较简单，根据矩形的性质及相似三角形的性质解答即可．
9.【答案】且
【解析】解：关于x的一元二次方程有实数根，
且，
解得且，故答案为：且.
当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
根据一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义列出不等式，解不等式求解即可．
本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）的定义以及根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．
10.【答案】25%
【解析】解：设每次降价的百分率为x，
由经过两次降价后每盒27元，得：，
解得：，（舍去）；
故答案为：25%.
设每次降价的百分率为x，根据原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，列出方程进行求解即可．
本题考查从实际问题抽象出一元二次方程，找出等量关系是解答本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，如图，作于点E，作于点F，
，，，四边形是平行四边形，
，，，，
，，，
同理：，，四边形是菱形，
，.
故答案为：.
首先过点B作于点E，于点F，由题意可得四边形是平行四边形，继而求得的长，判定四边形是菱形，则可求得答案．
此题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，解题关键在于掌握菱形判定定理和作辅助线．
12.【答案】
【解析】解：，，，
而，，，故答案为：.
根据一元二次方程根与系数的关系得到，，然后通分，，从而得到关于p的方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，，则，.
13.【答案】2.4
【解析】解：如图，连接，
在中，，且，，
由勾股定理得，
，，，
四边形是矩形，，，
当时，的值最小，此时，
，的最小值为2.4，
故答案为：2.4.
由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短可得当时，的值最小，再利用三角形面积求出，即可解答．
本题主要考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积、垂线段最短，关键是掌握矩形的对角线相等．
14.【答案】6或8
【解析】解：由图形折叠可得，，
正方形的边长为12，，，
，，，，
在直角中，，，
解得，或8，故答案为：6或8.
由图形折叠可得，，根据正方形的性质及线段的和差求出，在直角中，运用勾股定理求解即可．
本题主要考查了折叠问题、正方形的性质，解题的关键是找准线段的关系，利用勾股定理求解线段．
15.【答案】2或4
【解析】解：设经过x秒的面积等于8平方厘米，，，，由题意，得
，
解得：，.
答：设经过2秒或4秒，的面积等于面积的.
故答案是：2或4.
设经过x秒的面积等于8平方厘米，，，，由三角形的面积公式建立方程求出其解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，抓住关键描述语“使的面积等于面积的”，找到等量关系是解决问题的关键．
16.【答案】解：（1），，
，即，
，，.
（2），，，，，
，，.
（3），，
，或，
，；
（4），，
，，
或，，.
【解析】（1）按要求的方法求解即可；
（2）按题目要求的方法求解即可；
（3）利用因式分解法求解即可；
（4）利用因式分解法求解即可．
此题考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法，以及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
17.【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，，
，，E为线段的中点，，
，，四边形是平行四边形，
，四边形是矩形；
（2）解：，，，四边形是矩形，
，，，
，四边形的面积=平行四边形.
【解析】（1）证明，得，所以四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可解决问题；
（2）根据矩形的性质和勾股定理求出的值，由，可得四边形的面积=平行四边形，进而可以解决问题．
本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
18.【答案】解：（1），这里，，，
，.
无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根为，，
则，.，即，
.整理，得..
解得，.m的值为或1.
【解析】（1）先确定a、b、c，再计算根的判别式，利用根的判别式得结论；
（2）先利用根与系数的关系求出两根的和与积，再代入已知中得关于m的方程，求解即可．
本题考查了一元二次方程，掌握根的判别式、根与系数的关系及完全平方公式的变形等知识点是解决本题的关键．
19.【答案】（1）证明：四边形是矩形，，，
O是对角线的中点，，又，
，，又，
四边形是平行四边形，
又，是菱形；
（2）解：四边形是矩形，，
在中，，，，
.四边形是菱形，
，，，，
令，则，在中，
，，
解得，即，，.
【解析】根据矩形的性质，利用证明，得到，得到四边形是平行四边形，再根据，即可得证；
勾股定理求出的长，设，则，在中，利用勾股定理求出x的值，再根据菱形的性质结合勾股定理进行求解即可．
本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关性质和判定是解题的关键．
20.【答案】（1）证明：这里，，，
，
方程有两个不相等的实数根；
（2）解：把代入方程得：，解得：，
即方程为：，设另一根为m，根据题意得：，解得：.
【解析】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）表示出方程根的判别式，判断其值大于0即可得证；
（2）把代入方程求出k的值，确定出方程，即可求出另一根．
21.【答案】解：
（1）证明：四边形是正方形，，平分，
，，，，
四边形是矩形，，四边形是正方形；
（2）证明：四边形是正方形，，，，
，，
在和中，，
，.
【解析】（1）由四边形是正方形，易得，平分，又由，，即可证得四边形是正方形；
（2）由四边形是正方形，易证得，即可证得：.
本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质．熟练掌握正方形的各种性质是证题的关键．
22.【答案】证明：
，，，
即无论x取何实数值，代数式的值总是负数，
当时，有最大值.
【解析】先配方得到：，根据非负数的性质得到，，即可得到结论；并且时，有最大值.
题考查了配方法的应用：对于求代数式的最值问题，先通过配方，把代数式变形成一个完全平方式加上一个数的形式，利用非负数的性质确定代数式的最值．
23.【答案】解：①根据题意得：
若降价6元，则多售出件，
则平均每天销售数量为：件，
答：若降价6元时，则平均每天销售数量为32件；
②设每件商品降价x元，
根据题意得：
，
化简得，，
解得：，，
当时，，符合题意，
当时，，舍去，
答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
【解析】①根据“平均每天可售出20件，每件盈利40元，销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，若降价6元”，列出平均每天销售的数量即可，
②设每件商品降价x元，根据“平均每天可售出20件，每件盈利40元，销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，每件盈利不少于25元”列出关于x的一元二次方程，解之，根据实际情况，找出盈利不少于25元的答案即可．
本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
24.【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，，，
、分别是、的平分线，，
，，，，
，，四边形是平行四边形，
，四边形是菱形；
（2）解：连接，四边形是平行四边形，
，，平分，
，，，，
是等边三角形，，
的面积等于，，，
即，由（1）知四边形是菱形，
，，是的一个外角，
，，
，即，
由勾股定理得，
即平行线与间的距离是.
【解析】（1）根据平行四边形对角相等得到，再根据、分别是、的平分线，可得到，再根据平行四边形对边平行得到，于是有，得出，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证得四边形是平行四边形，最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得证；
（2）连接，根据平行四边形的性质和角平分线的定义可证得，结合已知得到是等边三角形，从而求出，，再证得，即可得到，根据勾股定理求出的长，从而得出平行线与间的距离．
本题考查了菱形的判定与性质，掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形是此题的关键，理解平行线间的距离的定义，等边三角形的性质与判定．
25.【答案】解：（1）在矩形中，，，，
，由题意可得，，，
在矩形中，，，当时，四边形为矩形，
，解得：，
当时，四边形为矩形；
（2）四边形为菱形；理由如下：，
，，，，
，，四边形为平行四边形，
在中，，
，平行四边形为菱形，
当时，四边形为菱形；
（3）以为对角线的正方形面积为96时t的值为：或；
（4）连接、，、相交于点E，
则整个运动当中，线段扫过的面积是：的面积的面积，如图3所示：
的面积的面积矩形的面积，
整个运动当中，线段扫过的面积矩形的面积.
【解析】【分析】本题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定、勾股定理、平行四边形的判定、三角形面积公式以及分类讨论等知识；熟练掌握正方形的判定与性质和勾股定理是解题关键．
（1）由矩形性质得出，，由已知可得，，，当时，四边形为矩形，得出方程，解方程即可；
（2）时，，，得出，，，，四边形为平行四边形，在中，由勾股定理求出，得出，即可得出结论；
（3）分两种情况：求出正方形的边长为，则对角线为，由勾股定理求出的长，由题意得出方程，解方程即可；
（4）连接、，、相交于点E，线段扫过的面积的面积的面积，即可得出结果．
【解答】（1）见答案；
（2）见答案；
（3）正方形面积为96，正方形的边长为：，；
分两种情况：
①如图1所示：作于M，
则，，，
由勾股定理得：，，
，解得：；
②如图2所示：
，，，，
解得：；
综上所述，以为对角线的正方形面积为96时t的值为：或；
（4）见答案.
26.【答案】解：（1）作于M，如图1所示：则，
四边形是正方形，E是对角线的中点，
，，，，
E是对角线的中点，是的中位线，
，，当时，，
，；
（2）四边形是平行四边形，，，
当点F恰好落在线段上时，，，Q为的中点，
是的中位线，，，，
动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度先沿方向运动到点C，
，，；
（3）当为菱形时，，分四种情况：
①当时，作于M，于N，如图2所示：
，，，
解得：（舍去），或（舍去）；
②当时，同①得：，
解得：（舍去），或，；
③当时，作于M，于N，如图3所示：
，，，
解得：，或（舍去），；
④当时，同③得：，
解得：（舍去），或（舍去）；
综上所述：在整个运动过程中，当为菱形时，t的值为或.
【解析】（1）作于M，由正方形的性质和已知条件得出，证出，得出是的中位线，由三角形中位线定理得出，当时，，求出，再由勾股定理求出即可；
（2）由平行四边形的性质得出，，当点F恰好落在线段上时，得出，Q为的中点，得出是的中位线，由三角形中位线定理得出，求出，，即可求出的长；
（3）由菱形的性质得出，分四种情况：①当时，作于M，于N；②当时；③当时，作于M，于N；④当时；分别由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、勾股定理、平行四边形的性质、三角形中位线定理、菱形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要通过作辅助线进行分类讨论，运用勾股定理得出方程才能得出结果．