山西省大同市第一中学校2024-2025学年高一上学期第一次学情监测（10月月考）数学试卷

这是一份山西省大同市第一中学校2024-2025学年高一上学期第一次学情监测（10月月考）数学试卷，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设全集，集合，，则集合( )
A. B. C. D.
2.一元二次不等式的解集是( )
A. B. C. D. R
3.已知，，记，，则M与N的大小关系为( )
A. B. C. D. 不确定
4.已知命题p：，，则( )
A. ：，B. ：，
C. ：，D. ：，
5.命题p：有实数根，若是假命题，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知集合，且，若，则( )
A. B. C. D.
7.如果A是B的必要不充分条件，B是C的充分必要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的( )
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8.若，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.对于与的大小关系，下列说法正确的是( )
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
10.“不等式在R上恒成立”的充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
11.若a，，且，则下列不等式中，恒成立的是( )
A. B. C. D.
12.若关于x的不等式的解集为，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.用列举法表示集合______.
14.已知，，且满足，则ab的最大值是______.
15.不等式的解集是______.
16.含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为______.
四、解答题：本题共6小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题10分
设全集，，，，求：
，；
，
18.本小题10分
已知函数
若，求不等式的解集
若时，恒成立，求a的取值范围．
19.本小题10分
已知集合，且
若是的充分条件，求a的取值范围；
若，求a的取值范围.
20.本小题12分
已知二次函数的二次项系数为a，且不等式的解集为，若的最大值大于，求a的取值范围.
21.本小题12分
已知，，且，求：
的最小值；
的最小值．
22.本小题12分
港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行.某次出行，刘先生全程需要加两次油，由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油.
若第一次加油时燃油的价格为5元/升，第二次加油时燃油的价格为4元/升，请计算出每种加油方案的平均价格平均价格=总价格/总升数；
分别用m，表示刘先生先后两次加油时燃油的价格，请计算出每种加油方案的平均价格，选择哪种加油方案比较经济划算？并给出证明.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：全集，集合
故选B
根据全集，集合，易知再根据交集定义即可求解
本题考查了补集、交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：不等式即可化为，
解得，
所以不等式的解集为
故选：
利用一元二次不等式的解法求解即可．
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为，，
所以，当且仅当时取等号．
故选：
由已知结合基本不等式及不等式的性质即可判断．
本题主要考查了基本不等式及不等式的性质，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：根据全称命题的否定方法
当命题p：，时，
：，
故选：
全称命题的否定为特殊命题，即前面的量词为，而结论的否定为，由此可得答案．
本题考查的知识点是全称命题，熟练掌握全称命题的否定方法，即否定量词，也否定结论是解答的关键．
5.【答案】B
【解析】解：是假命题，则p是真命题，有实数根，
当时，方程为，解得，有根，符合题意；
当时，方程有根，等价于，且，
综上所述，a的可能取值为
故选：
因为方程最高项系数含参，所以需分类讨论，结合命题的真假，即可求出答案．
本题考查命题的真题，考查一元二次方程根的存在问题，考查分类讨论，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：根据题意，若，则，
又由，
则可得，
解可得，，
故选
根据题意，若，则，又由，进而则可得，解可得答案．
解本题时，注意B不是空集的条件，否则容易误选
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了充分条件和必要条件的传递性，利用彼此之间的关系进行推理即可．
利用充分条件必要条件之间的关系进行推理判断．
【解答】
解：因为A是B的必要不充分条件，所以，但A推不出
B是C的充分必要条件，则，
D是C的充分不必要条件，则，但C推不出D，
综上，但A推不出
所以A是D的必要不充分条件．
故选
8.【答案】D
【解析】解：因为，
所以由题意
，
因为，所以，
所以由基本不等式可得，
当且仅当时等号成立，即当且仅当或时等号成立，
综上所述，的最小值为
故选：
首先利用条件等式将表达式变形，然后利用基本不等式求最小值，一定要注意取等条件是否成立．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，解决本题的关键是要利用条件等式对已知表达式变形，利用基本不等式后要注意到取等条件的成立与否，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：，
对于A，当时，，，
则，解得，故A正确；
对于B，当时，，，
则，故B错误；
对于C，，
，，
故，故C错误；
对于D，，
则，，
则，故D正确．
故选：
根据已知条件，结合不等式的性质，即可求解．
本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
10.【答案】CD
【解析】解：“不等式在R上恒成立”的充要条件即方程有根，
所以，
解得，
所以不等式恒成立的充分不必要条件是的真子集．
故选：
先求出不等式恒成立的充要条件时m的范围，可得它的真子集即为充分不必要条件，选出结果．
本题考查不等式恒成立的充要条件的应用及充分不必要条件的判断，属于基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：对于A；所以A对
对于B，C，虽然，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，所以B，C错
故选：
利用基本不等式需注意：各数必须是正数．不等式的使用条件是a，
本题考查利用基本不等式求函数的最值时，必须注意满足的条件：一正、二定、三相等．
12.【答案】ACD
【解析】解：根据题意不等式的解集为，
可得，且，4是方程的根，
由，得，，
即，，，，，，
所以ACD正确，B不正确．
故选：
根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合根与系数关系，逐一判断即可．
本题考查一元二次不等式的解集与一元二次方程的根之间的关系，根与系数的关系的应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：，且，
的可能取值为0，1，4，9，
用列举法表示集合
故答案为：
由，且，得到m的可能取值为0，1，4，9，由此能求出结果．
本题考查集合的列举法表示，是基础题，解题时要认真审题，注意整数、自然数的性质的合理运用．
14.【答案】3
【解析】解：因为，，且满足，当且仅当，即，时取等号，
则
故答案为：
由已知结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：不等式化为，
由数轴标根法可知，不等式的解集为：
故答案为：
不等式的左边分解因式乘积的形式，利用数轴标根法，求解不等式的解集即可．
本题考查不等式的解法，分式不等式的求解，数轴标根法的应用，考查计算能力．
16.【答案】12
【解析】解：根据题意，集合的所有非空子集为，，，，，，，
则所有非空子集的交替和的总和为
故答案为：
根据题意可写出集合M的非空子集，再利用交替和定义可解．
本题考查集合相关知识，属于基础题．
17.【答案】解：，，
则，；
，，，
，
【解析】结合集合的交集及并集运算即可求解；
结合集合的交集，并集及补集运算即可分别求解．
本题主要考查了集合的交集，并集及补集运算，属于基础题．
18.【答案】解：若，，即
即
所以或
解：，
即在时恒成立，
令，等价于在时恒成立，
所以，当且仅当，即时，取等号；
所以
故所求a的取值范围是
【解析】若，，即，解得答案；
，即在时恒成立，构造函数，求出最小值，可得a的取值范围．
本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，对勾函数的图象和性质，难度中档．
19.【答案】解：是的充分条件，
，且，
，解得，
的取值范围为；
，且，
，解得，
的取值范围为
【解析】根据题意即可得出，并且，从而得出，解出a的范围即可；
根据，以及即可得出，解出a的范围即可．
考查描述法的定义，充分条件的定义，空集的定义，以及子集的定义．
20.【答案】解：不等式的解集为，
则，
故方程的两个根是1，3，
所以的两个根是1，3，
由韦达定理可知，，即，①，
的最大值大于，
则②，
联立①②可得，，解得或，
又，
故a的取值范围为或
【解析】根据已知条件，结合韦达定理，以及二次函数的性质，即可求解．
本题主要考查二次函数的性质，以及韦达定理的应用，属于基础题．
21.【答案】解：，，，
，
，当且仅当时取等号，
故xy的最小值为
由，得：，
又，，
，
当且仅当时取等号，
故的最小值为
【解析】本题考查基本不等式的应用，注意不要遗漏等号成立的条件，属于基础题．
利用基本不等式，构建不等式即可得出答案；
由，变形得，利用“乘1法”和基本不等式即可得出．
22.【答案】解：第一种方案：两次加油共花费元，两次共加了60升燃油，
所故平均价格为元/升；
第二种方案：两次加油共花费元，两次共加了升燃油，
故平均价格为元/升；
由题意得第一种方案，两次加油共花费元，两次共加了60升燃油，
故平均价格为元/升；
第二种方案：两次加油共花费元，两次共加了升燃油，
故平均价格为元/升；
又，
故选择第二种加油方案比较经济划算．
【解析】根据题意，由平均价格的计算公式，代入计算，即可得出答案；
根据题意，由平均价格的计算公式，代入计算，然后作差，即可得出答案．
本题考查根据实际问题选择函数类型，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．