安徽省芜湖十一中分校、南瑞中学2024—-2025学年上学期九年级10月月考数学试卷

这是一份安徽省芜湖十一中分校、南瑞中学2024—-2025学年上学期九年级10月月考数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，属于关于的二次函数的是（ ）
A.B.C.D.
2.若是一元二次方程的解，则的值为（ ）
A.B.0C.1D.2
3.二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A.B.C.D.
4.抛物线与轴交点的坐标是（ ）
A.B.C.D.
5.若关于的一元二次方程有实数根，则应满足的条件是（ ）
A.B.且C.D.且
6.把抛物线向左平移1个单位长度后，所得到的抛物线的解析式为（ ）
A.B.
C.D.
7.某短视频在上线后的三天内，播放的次数达到7.98万次，其中第一天的播放量为2万次，若每天的播放量平均增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A.B.
C.D.
8.已知，是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A.1B.C.2D.
9.已知点，，都在二次函数的图象上，则，，按从大到小的顺序排列正确的是（ ）
A.B.C.D.
10.如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，且点在和之间，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③对于任意的，都有；④关于的一元二次方程，其中一个根为，且；⑤若，则，其中正确的个数为（ ）
A.2B.3C.4D.5
二、填空题：本题共5小题，共28分。
11.将一元二次方程化为的形式后的常数项为______.
12.若函数是关于的二次函数，则______.
13.张大伯有一块长为，宽为的矩形菜地.他准备在菜地上修建如图所示的小路，将矩形菜地分割成八个小块，然后在每个小块分别种上不同的蔬菜.若蔬菜的种植面积为，小路的宽均相同，设小路的宽是，则根据题意可列方程______.
14.已知二次函数，点，.
（1）函数的最小值为______.
（2）若将二次函数沿轴方向平移个单位长度后与线段有两个交点，则的取值范围为______.
15.方程的解是______.
三、解答题：本题共8小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.（本小题8分）
已知二次函数.
（1）将二次函数化为顶点式，并写出顶点坐标.
（2）当时，求的值.
17.（本小题8分）
已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示：
（1）在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象.
（2）观察函数图象，写出关于这个函数的两条性质.
18.（本小题8分）
某地特产专卖店销售一种成本为20元的特产，该特产每周的销售量（件）随着售价（元）的变化而变化，并且售价每降低5元，该特产每周可多售出30件.已知该特产的售价为70元时每周可售出200件，则售价降低多少元时可获得9600元的周利润？
19.（本小题10分）
已知关于的一元二次方程.
（1）求证：不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根.
（2）若，是方程的两个根，且，求的值.
20.（本小题10分）
根据表格中的信息回答后面提出的问题.
（1）请你根据上表中的规律猜想：第5个方程为______，第5个方程的根为______，______.
（2）你能猜想出第个方程及其方程的根吗？请用公式法证明猜想的正确性.
21.（本小题12分）
已知二次函数，与轴交于点，，与轴的负半轴交于点，且.
（1）求二次函数的解析式.
（2）若当时，函数的最小值为5，求的值.
22.（本小题12分）
对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式.但对于二次三项式，就不能直接运用公式了.此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有.像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为配方法.利用以上配方法解决下列问题：
（1）利用配方法分解因式：.
（2）求二次三项式的最小值.
（3）已知是实数，试比较与的大小，请说明理由.
23.（本小题14分）
已知某二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点.
（1）求该二次函数的解析式.
（2）该二次函数与轴交于点，（点在点的左边），与轴交于点.
①若点是二次函数图象对称轴上一点，且的值最小，求点的坐标.
②若在直线上方的抛物线上有一点，使得的面积最大，求点的坐标.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：中是分式，则A不符合题意；
当时，不是二次函数，则B不符合题意；
，它是二次函数，则C符合题意；
是一次函数，则D不符合题意；
故选：C.
直接利用二次函数的定义分别分析得出答案.
本题主要考查了二次函数的定义，正确掌握二次函数的定义是解题关键.
2.【答案】D
【解析】解：把代入得：，
解得：，
故选：D.
把代入进行计算即可.
本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握使一元二次方程两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
3.【答案】A
【解析】解：
，
抛物线的顶点坐标是.
故选：A.
利用配方法把抛物线的一般式写成顶点式，求顶点坐标；或者用顶点坐标公式求解.
此题考查了二次函数的性质，通过配方法求顶点式是解题的关键.
4.【答案】C
【解析】解：把代入抛物线，得，
所以抛物线与轴的交点坐标为.
故选：C.
把代入抛物线，即得抛物线与轴的交点坐标.
此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求抛物线与轴的交点的坐标的方法，比较简单.
5.【答案】B
【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
且，
故选B.
根据形如（其中、、是常数且）的方程叫做一元二次方程得到，根据根的判别式得到，解之即可得到答案.
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根.
6.【答案】D
【解析】解：顶点坐标为，
向左平移1个单位长度后顶点坐标为，
平移后的解析式为：.
故选：D.
先根据二次函数的性质得到抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律得到点平移后的对应点的坐标，然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式.
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.
7.【答案】D
【解析】解：每天的播放量平均增长率为，则第二天的播放量为万次，第三天的播放量为万次，
根据题意得.
故选：D.
先利用增长率表示出第二天的播放量和第三天的播放量，然后根据播放的总量列等量关系即可.
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用增长率模型列一元二次方程是解决问题的关键.
8.【答案】A
【解析】解：，是一元二次方程的两个根，
，，
.
故选：A.
根据一元二次方程的系数结合根与系数的关系即可得出、的值，由此即可得出结论.
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键.
9.【答案】A
【解析】解：二次函数的对称轴为直线，开口向上，
到对称轴距离为4，
到对称轴距离为1，
到对称轴距离为3，
根据三点距离对称轴越大，函数值越大可知：，
故选：A.
根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据各点到对称轴的距离，即可得出答案.
本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键.
10.【答案】B
【解析】解：抛物线开口向下，
，
对称轴为直线，
，
，
与轴的交点在正半轴上，
，
，故①错误；
抛物线与轴交于点，点在和之间，
当时，，
，
，
，故②正确；
开口向下，对称轴是直线，
对于任意的，都有，
，故③错误；
点在和之间，对称轴为直线，
抛物线与轴的另一交点在3与4之间，
关于的一元二次方程，其中一个根为，
，故④正确；
设，则，
，
，即，
，
将点的坐标代入得：，
，
，
，
，
，故⑤正确；
综上所述，结论正确的是②④⑤，共3个.
故选：B.
根据抛物线开口向下判断出，再根据对称轴可得，根据与轴的交点求出的取值范围，然后判断出①错误；
根据当时，，可以判断出②正确；
根据开口向下，抛物线有最大值可判断③错误；
根据对称性可知抛物线与轴的另一交点在3和4之间，可判断出④正确；
设，则，根据，可得，将点的坐标代入抛物线的解析式可判断⑤正确.
本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的开口方向，对称轴，最值问题，以及二次函数图象上点的坐标特征，关键在于根据对称轴表示出、的关系.
11.【答案】3
【解析】解：将原方程化为一般形式为，
常数项为3.
故答案为：3.
将原方程转化为一般形式，找出其常数项即可.
本题考查了一元二次方程的一般形式，牢记“一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式”是解题的关键.
12.【答案】
【解析】解：由题意可得且，
解得：，
故答案为：.
根据形如（，，是常数，）是二次函数，可得答案.
本题考查了二次函数的定义，二次项的系数不等于零是解题关键.
13.【答案】
【解析】解：设小路的宽是，
根据题意得.
故答案为：.
把纵向的小路向左平移，把横向的小路向上平移，这样八个小块转化为一个矩形，然后利用矩形的面积公式列方程.
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用几何平移的方法是解决问题的关键.
14.【答案】
【解析】解：（1）由题意，二次函数为，
当时，取最小值为.
故答案为：.
（2）由（1）可得，二次函数为，
又二次函数沿轴方向平移个单位长度，
平移后二次函数为.
又，，
直线为.
又平移后与线段有两个交点，
结合图象可得，当过时有两个交点，当与相切时仅有一个.
联列方程组，
.
.
.
又过时，则，
.
又二次函数沿轴方向平移个单位长度后与线段有两个交点，
.
（1）依据题意，由二次函数为，进而可以判断得解；
（2）依据题意，由（1）可得，二次函数为，结合二次函数沿轴方向平移个单位长度，故平移后二次函数为，再求出直线为，又平移后与线段有两个交点，进而结合图象可得，当过时有两个交点，当与相切时仅有一个，再联列方程组，可得，结合，求出，又过时，则，最后由二次函数沿轴方向平移个单位长度后与线段有两个交点，即可判断得解.
本题考查了抛物线和轴的交点，涉及到二次函数图象上点的坐标特征，熟悉函数的图象和性质是解题的关键.
15.【答案】，
【解析】解：移项得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，.
故答案为：，.
方程移项，利用完全平方公式配方后，计算即可求出解.
此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
16.【答案】解：（1）由题知，
，
顶点坐标为：.
（2）将代入得，
，
即当时，的值为.
【解析】（1）根据题意，将所给函数解析式化为顶点式即可.
（2）将代入函数解析式即可解决问题.
本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的三种形式，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键.
17.【答案】解：（1）由所给表格可知，
当和时，的值都是1，
所以抛物线的对称轴为直线.
又因为时，，
所以抛物线的顶点坐标为，
则令抛物线的解析式为，
将点代入得，
解得，
所以抛物线的解析式为.
函数图象，如图所示，
（2）由（1）中所画函数图象可知，
当时，函数值随的增大而减小；
当时，函数取得最大值为2（答案不唯一）.
【解析】（1）根据所给表格，得出抛物线的函数解析式，在根据题意画出图形即可.
（2）根据（1）中所画函数图象即可解决问题.
本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的图象及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键.
18.【答案】解：设售价为元，售价降低元，该特产每周可多售出件.
根据题意得，
整理得，
解得，（舍去），
所以售价降价为（元）.
答：售价降低20元时可获得9600元的周利润.
【解析】设售价为元，利用利润公式得到，解方程得到满足条件的的值，然后计算即可.
本题考查了一元二次方程的应用：利用销售总利润=单件利润销售量的模型列方程是解决问题的关键.
19.【答案】（1）证明：，
不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根.
（2）解：，是方程的两个根，
，，
，
，
，
.
【解析】（1）要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使恒成立；
（2）欲求的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可.
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.熟练掌握该知识点的关键.
20.【答案】 6
【解析】解：（1）第5个方程为，第5个方程的根为，；
故答案为：，，6；
（2）第个方程为，第个方程的根为，.
理由如下：，，，
，
，.
（1）利用所给方程的一次项系数和常数项与序号数的关系写出第5个方程，然后利用因式分解法解方程即可；
（2）利用所给方程的一次项系数和常数项与序号数的关系写出第个方程和方程的解，然后利用公式法解方程检验猜想的结论.
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.也考查了公式法.
21.【答案】解：（1）由题意得，点，
设抛物线的表达式为：，
则，则，
则抛物线的表达式为：；
（2）当时，即，
当时，，
解得：（舍去）或；
当时，
当时，，
解得：（舍去）或2，
当时，
函数的最小值为，不符合题意，
综上，或.
【解析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）当时，当时，，即可求解；当时，当时，，即可求解；当时，同理可解.
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，利用分类讨论的方法解答是解答本题的关键.
22.【答案】解：（1）
；
（2），
当时，二次三项式的最小值为；
（3）
，
.
【解析】（1）利用配方法先对原式+4，然后再，然后利用平方差公式分解因式即可；
（2）利用配方法求出二次三项式的最小值即可；
（3）将两式作差，通过跟0进行比较即可得出结论.
本题主要考查配方法及整式的加减运算，掌握因式分解，完全平方公式是解题的关键.
23.【答案】解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）①点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线的对称轴于点，
则此时的值最小，
理由：为最小，
由抛物线的表达式知，点、的坐标分别为：、，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
当时，，即点；
②过点作轴交于点，
设点，则点，则，
则的面积，
当时，等号成立，即取得最大值，
此时点.
【解析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）①点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线的对称轴于点，则此时的值最小，即可求解；
②的面积，当时，等号成立，即取得最大值，即可求解.
本题考查了抛物线和轴的交点，涉及到二次函数图象上点的坐标特征，熟悉函数的图象和性质是解题的关键.
…
0
1
…
…
1
2
1
…
方程
方程的根，
第1个方程
，
第2个方程
，
第3个方程
，
第4个方程
，
…
…
…