江苏省赣榆高级中学、南京市第五中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷

这是一份江苏省赣榆高级中学、南京市第五中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.不等式的解集为( )
A. RB. C. D.
3.若命题“，”是真命题，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.若，，则与的大小关系是( )
A. B. C. D. 随x值变化而变化
5.已知直角三角形的面积为50，则两条直角边的和的最小值是
A. B. 10C. D. 20
6.使“或”成立的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D. 或
7.下列命题中正确的是( )
A. 若，，则B. 若，则
C. 若，，则D. 若，，则
8.下列说法正确的是( )
A. 函数的最小值是6
B. 正数x，y满足，则xy的最大值是64
C. 函数的最小值是
D. 若，则函数取到最小值时
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.命题p：，的否定是真命题，则实数b的值可能是( )
A. B. C. 2D.
10.设正实数a，b满足，则( )
A. 有最小值4B. 有最小值
C. 有最大值D. 有最小值
11.关于x的不等式的解集为或，下列说法正确的是( )
A.
B. 不等式的解集为
C. 的最大值为
D. 关于x的不等式解集中仅有两个整数，则a的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.关于x的不等式的解是______.
13.不等式对任意a，恒成立，则实数x的取值范围是______.
14.南开中学高一某班报名数学、物理竞赛班，两科都不参加的占全班的，只参加数学的占全班的，只参加物理的比参加数学的少11人，两门都参加的有5人，则全班有______人.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
设全集，集合，集合，其中
若“”是“”的充分条件，求a的取值范围；
若“”是“”的必要条件，求a的取值范围．
16.本小题15分
当k取什么值时，不等式对一切实数x都成立？
若实数x，y，m满足，则称x比y远离对任意两个不相等的实数a，b，证明比远离
17.本小题15分
设m为实数，若函数有且只有唯一零点，求m的值.
设命题p：实数x满足，其中；命题q：实数x满足，且q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
18.本小题17分
某网店销售一批新款削笔器，进价为10元/个.经统计，该削笔器的日销售量单位：个与售价单位：元满足如图所示的函数关系.
为了使这批削笔器的日利润最大，应怎样定制这批削笔器的销售价格？
为了使这批削笔器的日利润不低于售价为15元时的日利润，求售价x的取值范围.
19.本小题17分
已知二次函数
若的解集为，解关于x的不等式；
若且，求的最小值；
若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：，，
故选：
进行补集的运算即可．
本题考查了列举法的定义，补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】【分析】
把不等式化为一般形式，计算，判断原不等式的解集为．
本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．
【解答】
解：不等式可化为，
，
所以原不等式的解集为．
故选：
3.【答案】B
【解析】解：“，”是真命题，
则恒成立，
故，解得，
故实数m的取值范围是
故选：
根据已知条件，推得恒成立，即可求解．
本题主要考查全称量词和全称命题，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：因为，，
所以，
故
故选：
直接作差比较即可．
本题主要考查不等式的应用，考查计算能力，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了利用基本不等式求最值．属于基础题.
由已知结合三角形的面积公式及基本不等式即可直接求解．
【解答】
解：设直角三角形的直角边分别为a，，则，
故，当且仅当时取等号．
故本题选
6.【答案】C
【解析】解：使“或”成立的一个充分不必要条件，就是集合或的真子集，
又或，
所以使“或”成立的一个充分不必要条件是，
故选：
根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：对于A，，，
，即，故A正确，
对于B，当时，，故B错误，
对于C，令，，，，满足，，但，故C错误，
对于D，令，，，，满足，，但，故D错误．
故选：
根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．
本题主要考查不等式的性质，以及特殊值法，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：，当且仅当，时取等号，A错误；
正数x，y满足，当且仅当，即，时取等号，
所以，B错误；
当时，，当且仅当，即时取等号，C错误；
当时，，当且仅当，即时取等号，D正确．
故选：
由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式求解最值，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：因为命题p：，的否定是真命题，
所以命题：，是真命题，也即对，恒成立，
则有，解得：，
根据选项的值，可判断选项AB符合．
故选：
根据特称命题的否定知：，为真命题，再利用判别式小于0即可求解．
本题主要考查了存在量词命题的否定及真假关系的应用，属于基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：正实数a，b满足，
所以，当且仅当时取等号，A正确；
因为，当且仅当时取等号，此时取得最大值，B错误；
，当且仅当时取等号，C错误；
，当且仅当时取等号，D正确．
故选：
由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本不等式及相关结论在最值求解中的应用，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：关于x的不等式的解集为或，
所以和4是方程的两根，且，选项A正确；
由根与系数的关系知，，所以，；
所以不等式可化为，即，解得或，选项B错误；
由，当且仅当，即时取等号，所以的最大值是，选项C正确；
关于x的不等式可化为，
令，对称轴，，
因为不等式的解集中仅有两个整数，所以这两个整数是0，1或0，；
当这两个整数是0和1时，
则，解得，
当整数是0和时，由于对称轴时，根据对称性可知，此时显然不符合题意，选项D正确．
故选：
由已知结合二次不等式与二次函数，二次方程的转化关系检验各选项即可判断．
本题考查了“三个二次”的关系，也考查了根与系数的关系和一元二次不等式的解法，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由可得，
即，
解得
故答案为：
利用移项，通分，转化不等式求解即可．
本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：不等式对任意a，恒成立，
即为的最小值，
由，
当且仅当，即有，取得等号，
则有，解得
故答案为：
由题意可得的最小值，运用基本不等式可得的最小值，由二次不等式的解法即可得到所求范围．
本题考查不等式的恒成立问题的解法，同时考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题和易错题．
14.【答案】45
【解析】解：设只参加物理的有x个人，则只参加数学的有个人，
因为两科都不参加的占全班的，所以参加了竞赛班的占全班的，
所以只参加数学的占参加了竞赛班的，
解得，所以全班有人．
故答案为：
设只参加物理的有x个人，再根据已知列方程即可求解．
本题主要考查计算能力，属于基础题．
15.【答案】解：由题意得到，集合，
由“”是“”的充分条件可得，
则，解得，
故实数a的取值范围是；
由“”是“”的必要条件可得，
当时，，即时，满足题意，
当时，即时，则，解得
综上所述，，
故实数a的取值范围是
【解析】本题考查充分、必要条件应用及集合间关系，属于中档题．
问题转化为，可求a的取值范围；
问题转化为，讨论集合B即可得出结果．
16.【答案】解：当时，显然成立，；
当时，不等式对一切实数x都成立，
，解得
综上，k的取值范围为
证明：，
，
，，
比远离
【解析】当时，显然成立；当时，由题意知，，再求出k的取值范围即可；
根据题意，对代数式作差，即可证明结论成立；
本题考查了不等式恒成立问题和利用作差法比较大小，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．
17.【答案】解：若函数有且只有唯一零点，则，
所以；
当时，由可得，
由可得或，
若q是p的必要不充分条件，则，q推不出p，
则，
故a的范围为
【解析】结合二次方程根的存在条件即可求解；
先分别求出p，q对应的范围，然后结合必要不充分条件的定义即可求解．
本题主要考查了二次方程根的存在条件，还考查了必要不充分条件的应用，属于基础题．
18.【答案】解：由题意，设售量y与售价x的函数关系为，
则，解得，，所以；
所以利润函数为，
当时，取得最大值为200，
所以削笔器的销售价格为20元/个时，日销售利润最大；
由利润函数是二次函数，图象开口向下，对称轴是，
所以为了使这批削笔器的日利润不低于售价为15元时的日利润，售价x的取值范围是
【解析】求出售量y与售价x的函数关系式，求出利润函数的解析式，再求最大值即可；
根据利润函数二次函数，利用二次函数的图象与性质，即可求出售价x的取值范围．
本题考查了利润函数的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：由已知的解集为，且，
所以，3是方程的解，
所以，，
所以，，
所以不等式可化为，
所以，
故不等式的解集为
因为，
所以
因为，所以，
由基本不等式可得，
当且仅当时等号成立，
即当且仅当， 时等号成立；
所以的最小值为；
因为对任意，不等式恒成立，
所以，，
所以，，
，
令，则，，
所以，
当且仅当，时等号成立，
即当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为
【解析】由条件可得，3是方程的解，由此可求a，c，结合一元二次不等式解法求的解集；
由已知可得，结合基本不等式求结论；
由条件可得，由此可得，换元并结合基本不等式可求其最小值．
本题主要考查了二次不等式的求解，还考查了基本不等式求解最值，属于中档题．