湖南省湘东十校联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题（含答案）

这是一份湖南省湘东十校联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题（含答案），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
总分：150分 时量：120分钟
考试时间：2024年10月29日
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数（i为虚数单位），则（ ）
A．0B．C．D．2
3．已知三角形ABC为单位圆O的内接正三角形，则（ ）
A．B．C．1D．
4．已知角的终边上一点，则（ ）
A．1B．C．D．
5．若的展开式中的系数为，则a的值为（ ）
A．1B．2C．D．
6．已知函数的图象关于对称，为偶函数，且．则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
7．函数的图象由函数的图象向右平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．已知在平面直角坐标系xOy中，，，点P满足．设点P的轨迹为曲线W，直线若直线l与曲线W交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．使的最小正整数n为13D．的最小值为
10．已知为函数的一个零点，则（ ）
A．的图象关于对称
B．的解集为
C．时，
D．时，，则的最大值为4
11．已知中，，，E，F分别在线段BA，CA上，且，．现将沿EF折起，使二面角的大小为．以下命题正确的是（ ）
A．若，，则点F到平面ABC的距离为
B．存在使得四棱锥有外接球
C．若，则棱锥体积的最大值为
D．若，三棱锥的外接球的半径取得最小值时，
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知F为椭圆的一个焦点，点M在C上， O为坐标原点，若，则的面积为________．
13．曲线的一条切线为，则________．
14．小王和爸爸玩卡片游戏，小王拿有2张标有A和1张标有B的卡片，爸爸有3张标有B的卡片，现两人各随机取一张交换，重复n次这样的操作，记小王和爸爸每人各有一张A卡片的概率记为，则________，________．
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．
（1）求A；
（2）若，BC边的中线是AD，求．
16．（15分）如图，直四棱柱的体积为12，，，的面积为．
（1）求证：平面；
（2）求A到平面的距离；
（3）若，平面平面，求平面与平面夹角的正弦值．
17．（15分）在平面直角坐标系中，已知动点满足：．
（1）求动点E的轨迹方程；
（2）过作直线交曲线的y轴左侧部分于A，B两点，过作直线交曲线的y轴右侧部分于C，D两点，且，依次连接A，B，C，D四点得四边形ABCD，求四边形ABCD的面积的取值范围．
18．（17分）已知定义域为的两个函数与满足，．
（1）若有且仅有两个整数使关于x的不等式成立，求实数a的取值范围；
（2）求函数的极值；
（3）若，判断的符号，并说明理由．
19．（17分）已知表示数列，，，…，中最大的项，按照以下方法：，，，…，得到新数列，则称新数列为数列的“数列”．
（1）已知数列仅有5项，各项互不相等，，且，请写出所有的“数列”；
（2）若满足，，且数列为等差数列，的“数列”为．
（ⅰ）求；
（ⅱ）求的前n项和．
湖南省湘东十校2024年10月高三联考
数学参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D【解析】，，∴．
2．B【解析】，，．
3．A【解析】．
4．A【解析】由三角函数定义知，，．
5．B【解析】，解得．
6．A【解析】已知函数的图象关于对称，所以得到为奇函数，
又为偶函数，
，
，
，，
∴，
又为偶函数，且在上单调递减，上单调递增，
∴．
7．C【解析】由题意可知，的图象与直线的交点个数，即方程解的个数，即的图象与直线的交点个数，画图即可得．
8．C【解析】由，得到曲线．设AB的中点为C，则，
∵，∴，
∴，∴，
∵，即，
又∵直线与圆交于不同的两点A，B，
∴，故，则，∵，∴．
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．BCD【解析】，∴A错误；
B选项，，∴B正确；
C选项，由解得，正确；
D选项，，时，，
∴当或4时，取得最小值为，D正确．
10．AD【解析】由题意可得，∴，易知，A正确；
且，∴B错误；
∵当时，，而在上单调递减，
∴，∴C错误；
D选项由图象可得正确．
11．ACD【解析】，，
A选项：利用，所以A正确；
B选项：由于四边形EFCB不可能共圆，所以四棱锥无外接球，所以B错误；
C选项：若，时，三棱锥体积取最大值，所以C正确；
D选项：由题意可知，，，设外接球半径为r，
则，，
所以时，取得最小值，此时，所以D正确．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12．【解析】法一：设椭圆上，则，又，联立解得，，
则．
法二：设椭圆的另一焦点，，则焦点为直角三角形，其面积为，
则．
13．【解析】，令，则，切点代入直线得．
14．（第一空2分，第二空3分）
【解析】记n次这样的操作小王恰有一张A卡片的概率为，有两张A卡片的概率为，
则，，
，
，
重复n次这样的操作，
，
，又，所以．
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．【解析】（1）由及正弦定理，知
，2分
即，
∴，，
∴． …………………………………………6分
（2）由得，
，…………………………………………8分
设，
∵的面积等于的面积，
∴，
即，…………………………………………10分
又∵，
∴，
即得．…………………………………………13分
16．【解析】（1）∵，平面，
∴平面，…………………………………………2分
又∵，平面，
∴平面，…………………………………………4分
∵，
∴平面平面，
∵平面，
∴平面．…………………………………………6分
（2）连接AC，∵，∴，
设A到平面的距离为d，
又，知，∴，
即点A到平面的距离为．…………………………………………9分
（3）连接，∵，∴是正方形，∴．
∵平面平面，平面平面，
∴平面，
∴，
∵底面ABCD，
∴，
∵，
∴平面，
∴， …………………………………………11分
由，知，∵的面积为，∴，
直线AB，BC，两两垂直，分别以，，为x轴、y轴、x轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，
设平面的法向量为，，，
，即，令，则，，，
…………………………………………13分
平面的法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
∴平面与平面角的正弦值为．…………………………………15分
17．【解析】（1）由，得，
所以动点E的轨迹是以，为焦点，为长轴长的双曲线，2分
而且，，，
所以所求轨迹方程为．…………………………………………5分
（2）由题意可知且，∴四边形ABCD为平行四边形，…………6分
直线AB，CD的斜率必不为0，所以可设直线为，，，
联立，
化简得，…………………………………………7分
所以，
解得， …………………………………………8分
∴，…………………………9分
原点O到直线的距离为，…………………………………10分
所以， …………………………………11分
令，又，则，
记，易知在单调递增，…………………………13分
所以当，即时，有最小值6，时，，……14分
所以，
故平行四边形ABCD的面积的取值范围为．……………………………15分
18．【解析】（1）由，，解得，， …………………………………………1分
因为，所以原不等式可化为，
即，为满足题意，必有，即或，①
…………………………………………2分
令，
由于，，结合①可得，……………………3分
所以的一个零点在区间上，另一个零点在区间上，
从而，即，②
由①②可得或．…………………………………………5分
（2）法一：由题意有，
则，
而，在上单调递增，……………………………6分
令，得，即，
所以在上单调递增，在上单调递减，……8分
所以当，即时，
函数有极大值
，无极小值．………10分
法二：依题意有
，
令，则，………………………6分
因为函数，在上单调递减，所以在上单调递减，
在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，由，得，即，
当时，；时，，
…………………………………………9分
所以复合函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数有最大值，无最小值．……………………………10分
（3）∵，……………………………12分
记，则，
时，，时，，…………………………………14分
所以在上单调递减，在上单调递增，…………………15分
所以，
∴在上单调递增，又， …………………………………………16分
∴时，时，时，；时，． …………………………………………17分
19．【解析】（1）因为数列仅有5项，各项均为互不相等的正整数，且，，
所以，，
若，此时“数列”为5，5，5，5，1；………………………1分
若，此时“数列”为5，5，5，5，2；………………………2分
若，此时“数列”为5，5，5，5，3；………………………3分
若，此时“数列”为5，5，5，5，4，………………………4分
所以根据“数列”的定义可知有4个，分别为5，5，5，5，1或5，5，5，5，2或5，5，5，5，3或5，5，5，5，4． …………………………………………5分
（2）（ⅰ）因为为等差数列，设数列的公差为d，
且，，
所以，，，………………………6分
所以等差数列的首项为1，公差为2，
所以，则．…………………………………………7分
当n为奇数时，，当n为偶数时，，
当且n为偶数时，，
所以，数列单调递减． …………………………………………8分
由“数列”的定义，可知，，
当且为奇数时，，
当且为偶数时，，且单调递减，………………………9分
故，
所以． …………………………………………10分
（ⅱ）由（ⅰ）可知，当n为偶数时，
，，，…………………………11分
，①
，② …………………………………12分
由，得
， …………………………………………14分
所以；…………………………………………15分
当n为奇数时，为偶数，
则
， …………………………………………16分
故．…………………………………17分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
A
A
B
A
C
C
题号
9
10
11
答案
BCD
AD
ACD