山东省泰安市肥城市2023-2024学年七年级下学期期中数学试卷(解析版)

这是一份山东省泰安市肥城市2023-2024学年七年级下学期期中数学试卷(解析版)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确答案序号填在答题纸相应的位置）
1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A．含有三个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
B．是二元一次方程组，故本选项符合题意；
C．第二个方程是二次方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
D．第二个方程是分式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意；
故选：B．
2. 在一个不透明袋子中装有3个红球、1个黄球、1个白球，这些球只是颜色不同．下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A. 从袋子中摸出一个球，球的颜色是红色
B. 从袋子中摸出两个球，它们的颜色相同
C. 从袋子中摸出三个球，有颜色相同的球
D. 从袋子中摸出四个球，有颜色相同的球
【答案】D
【解析】总计5个球，其中有3个红球，故从袋子中摸出四个球，必有2个红球颜色相同．故选：D．
3. 用加减法解方程组，下列解法错误的是（ ）
A. ，消去xB. ，消去x
C. ，消去yD. ，消去y
【答案】D
【解析】∵方程①中x的系数为2，方程②中x的系数为3，而2与3的最小公倍数为6，
∴方程，方程时，x的系数相同，
∴，能够消去x，故A选项不符合题意；
∵方程①中x的系数为2，方程②中x的系数为3，而2与3的最小公倍数为6，
∴方程，方程时，x的系数互为相反数，
∴，能够消去x，故B选项不符合题意；
∵方程①中y的系数为，方程②中y的系数为，而2与3的最小公倍数为6，
∴方程，方程时，y的系数互为相反数，
∴，能够消去y，故C选项不符合题意；
∵方程①中y的系数为，方程②中y的系数为，而2与3的最小公倍数为6，
∴方程，方程时，y的系数互为相反数，
∴，不能消去y，故D选项符合题意．
故选：D．
4. 下列命题为假命题的是（ ）
A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等，两条直线平行
B. 三角形的三个内角中至少有一个内角不大于
C. 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D. 三角形的一个外角等于它的两个内角的和
【答案】D
【解析】A、两条直线被第三条直线所截，内错角相等，两条直线平行是真命题；
B、三角形的三个内角中至少有一个内角不大于，是真命题；
C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，是真命题；
D、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，原选项是假命题；
故选：D．
5. 把一张对边互相平行的纸条，折成如图所示，是折痕，若，则下列结论正确的有是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】∵AC´∥BD´，∴∠C´EF=∠EFB=32°，故（1）正确；
由翻折得到∠GEF=∠C´EF=32°，
∴∠GE C´=64°，
∴∠AEC=180°-∠GE C´=116°，故（2）错误；
∵A C´∥B D´，
∴∠BGE=∠GE C´=64°，故（3）正确；
∵EC∥FD，
∴∠BFD=∠BGC=180°-∠BGE=116°，故（4）正确，
正确的有3个，
故选：C．
6. 如图，函数y＝ax＋b和y＝kx的图像交于点P，关于x，y的方程组的解是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由图可知，交点坐标(﹣3，﹣2)，
∴方程组的解是．
故选D．
7. 对于实数x，y：规定一种运算：（a，b是常数）已知，，则a，b的值为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】由题意得方程组，
，解得，
故选：A．
8. 如图，，则下列说法中一定正确的是

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】过点作，

，
，
，，
又，
，
．
故选：B．
9. 如图，AB∥EF，∠ABP＝∠ABC，∠EFP＝∠EFC，已知∠FCD＝60°，则∠P的度数为（ ）
A. 60°B. 80°C. 90°D. 100°
【答案】A
【解析】过C作CQ∥AB，
∵AB∥EF，
∴AB∥EF∥CQ，
∴∠ABC＋∠BCQ＝180°，∠EFC＋∠FCQ＝180°，
∴∠ABC＋∠BCF＋∠EFC＝360°，
∵∠FCD＝60°，
∴∠BCF＝120°，
∴∠ABC＋∠EFC＝360°﹣120°＝240°，
∵∠ABP＝∠ABC，∠EFP＝∠EFC，
∴∠ABP＋∠PFE＝60°，
∴∠P＝60°．
故选：A．
10. 已知甲乙两人的年收入之比为3:2，年支出之比为7:4，年终时两人各余400元，若设甲的年收入为x元，年支出为y元，可列出方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设甲的年收入为x元，年支出为y元，
∵甲、乙两人的年收入之比为3：2，年支出之比为7：4，
∴乙的收入为，乙的支出为，
根据题意列出方程组得：．
故选：C．
11. 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作。在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的。《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2.图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数的系数与相应的常数项。把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中的值为3，则被墨水所覆盖的图形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知，（1）前面两列为方程的左边，后两列表示一个数，为方程的右边；（2）“|”表示1，“—”表示10，“”中的横线表示5，
设被墨水所覆盖的图形表示的数字为，则有：，
将代入可解得：，
根据图形所表示的数字规律，可推出代表的图形为“|||”.
故答案为：C.
12. 如图（1）所示为长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图（2）；再沿BF折叠成图（3）；继续沿EF折叠成图（4）按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG，整个过程共折叠了9次，问图（1）中∠DEF的度数是（ ）
A. 20°B. 19°C. 18°D. 15°
【答案】C
【解析】设∠DEF＝α，则∠EFG＝α，
∵折叠9次后CF与GF重合，
∴∠CFE＝9∠EFG＝9α，
如图（2），∵CFDE，
∴∠DEF+∠CFE＝180°，
∴α+9α＝180°，
∴α＝18°，
即∠DEF＝18°．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，只要求填写结果）
13. “早上的太阳从东方升起”是_______事件．（填“确定”或“不确定”）
【答案】确定
【解析】 “早上的太阳从东方升起”是必然事件，属于确定事件，
故答案为：确定．
14. 学校朗诵比赛，参加决赛的是3名女生和2名男生，现抽签决定比赛顺序，那么第一个出场为女生的概率是______．
【答案】
【解析】由题意得，从参加的5名学生中，抽出第一个出场的所有可能结果有5种，它们每一种出现的可能性都相等，其中，抽出第一个出场为女生的结果有3种
则所求的概率为，
故答案为：．
15. 一般地，在平面坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，在同一平面直角坐标系中画出二元一次方程的两个二元一次方程的图象如图所示，则二元一次方程组的解为_____．
【答案】
【解析】由图象得：二元一次方程的解为，
∴二元一次方程组中有，
解得：，
故答案为：．
16. 如图已知：，，平分，，有以下结论：①；②；③；④，其中，正确的结论有______．（填序号）
【答案】①②③④
【解析】，，
，故①正确；
平分，
，
，
，
（1），
，
（2），
（1）（2）得，，故②正确；
，
，
平分，
，
，
（3），
（1），
（3）（1）得，，故③正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故④正确．
故正确的结论有：①②③④．
故答案为：①②③④．
17. 甲乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为；计算______．
【答案】0
【解析】把代入②，得，
解得；
把代入①，得，
解得；
所以．
故答案为：
18. 如图，在中，，的平分线，交于点，为的外角的平分线，的延长线交于点，，则的大小为______．（用含的式子表示）
【答案】
【解析】，的平分线，交于点，
，
为的外角的平分线，
，
∵，，
∴；
故答案为：.
三、解答题（本大题共7个小题，要写出必要的计算、推理、解答过程）
19. 解方程组：
（1）；（2）.
解：（1），
②×4+①得：
11x=22，
解得：x=2，
把x=2代入②得：
4-y=5，
解得：y=-1，
方程组的解为：，
（2）原方程组可整理得：
，
①+②得：6x=18，
解得：x=3，
把x=3代入①得：
9-2y=8，
解得：y=0.5，
方程组的解为：．
20. 如图，点D、E、F分在AB、BC、AC上，且DE∥AC，EF∥AB，下面写出了证明
“∠A+∠B+∠C＝180°”的过程，请补充完整：
证明：∵DE∥AC，EF∥AB
∴∠1＝∠ ，∠3＝∠ ，（ ）
∵AB∥EF（已知）
∴∠2＝∠ （ ）
∵DE∥AC（已知）
∴∠4＝∠ （ ）
∴∠2＝∠A（ ）
∵∠1+∠2+∠3＝180°（平角定义）
∴∠A+∠B+∠C＝180°（等量代换）

解：∵DE∥AC，AB∥EF，
∴∠1＝∠C，∠3＝∠B．（两直线平行，同位角相等）
∵AB∥EF，
∴∠2＝∠4．（两直线平行，内错角相等）
∵DE∥AC，
∴∠4＝∠A．（两直线平行，同位角相等）
∴∠2＝∠A（等量代换）
∵∠1+∠2+∠3＝180°
∴∠A+∠B+∠C＝180°（等量代换）
故答案为C；B；两直线平行，同位角相等；4；两直线平行，内错角相等；A；两直线平行，同位角相等；等量代换．
21. 已知：如图，在中，点在边上，分别交，于点，， 平分，，

（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
（1）证明：∵，
∴．
∵．
∴．
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴．
22. 学习完统计知识后，小明就本班同学的上学方式进行调查统计．下图是他绘制的两幅不完整的统计图．
请你根据图中提供的信息解答下列问题：

（1）该班共有多少名学生？若全年级共有1200名学生，估计全年级乘车上学的学生有多少名？
（2）将条形统计图补充完整并求出扇形统计图中，表示“骑车”的扇形圆心角的度数；
（3）在全班同学中随机选出一名学生来宣读交通安全法规选出的恰好是骑车上学的学生的概率是多少？
解：（1）该班共有学生人，
全年级共有名学生，估计全年级乘车上学的学生有名；
（2）步行的学生有：，
补全统计图如图所示，

表示“骑车”的扇形圆心角的度数为：.
（3）∵骑车的占比为
∴在全班同学中随机选出一名学生来宣读交通安全法规选出恰好是骑车上学的学生的概率是．
23. 如图，点C、D分别在射线OA、OB上，不与点O重合，CE//DF．
（1）如图1，探究、、的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，作，与的角平分线交于点P，若，，请用含，的式子表示______．（直接写出结果）
解：（1），证明如下：
过点O作，如图所示：
∵，
∴∠ODF+∠DOC=180°，
又∵，，
∴，
∴∠GOC=∠OCE，
又∵∠ACE+∠OCE=180°，
∴∠ACE+∠GOC=180°，
∴∠ODF+∠DOG+∠ACE+∠GOC=360°，
∴∠ACE＋∠AOB＋∠ODF＝360°．
（2）∵DP是∠ODF的平分线，
∴，
，
故答案为：．
24. 某校八年级数学组组织学生进行“数学素养大赛”活动，需购买甲、乙两种奖品，老师发现如果购买甲奖品2个和乙奖品5个，需用去120元；如果购买甲奖品3个和乙奖品4个，需用去124元．
（1）请用列二元一次方程组的方法，求甲、乙两种奖品的单价各是多少元？
（2）由于临时有变，现只需购买甲奖品，刚好、两个商场对甲奖品搞促销活动，其中商场按原价9折销售：商场购买不超过6个时按原价销售，超出6个的部分按原价的6折销售，现学校需要购买个甲商品，设在商场购买个甲奖品需要元，在商场购买个甲奖品需要元，请按要求分别写出与之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，根据购买数量，请直接写出去哪个商场购买甲奖品更省钱的方案．
解：（1）设甲、乙两种奖品的单价分别是a元、b元，由题意得：
，
解得：，
答：甲、乙两种奖品的单价分别是20元，16元；
（2）由题意可得，在商场购买个甲奖品需要；
由于，则在商场购买个甲奖品需要；
（3）令，解得，
当时，得，
当时，得，
答：当购买的奖品少于8个时，选择商场更省钱；当购买奖品8个时，、两个商场消费一样；当购买的奖品多于8个时，选择购商场更省钱．
25. 已知；直线AB∥CD，直线MN分别与AB、CD交于点E、F．
（1）如图1，∠BEF和∠EFD的平分线交于点G．求∠G的度数；
（2）如图2，EI和EK为∠BEF内满足∠1＝∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点I和K，猜想∠FIE和∠K的关系，并证明；
（3）如图3，点Q为线段EF（端点除外）上的一个动点，过点Q作EF的垂线交AB于R，交CD于J，∠AEF、∠CJR的平分线相交于P，问∠EPJ的度数是否会发生变化？若不发生变化，求出∠EPJ的度数；若会发生变化，请说明理由．
解：（1）∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，
∴∠BEF＝2∠BEG，∠EFD＝2∠GFD，
∵BE∥CF，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴2∠FEG+2∠GFE＝180°，
∴∠FEG+∠GFE＝90°，
∵∠EGF+∠FEG+∠GFE＝180°，
∴∠EGF＝90°；
（2）猜想：∠EIF+∠K＝180°．如图，过点I作IH∥AB，
∵AB∥CD，∴IH∥CD，
由已知可得∠K＝∠1+∠3，∠EIF＝∠BEI+∠IFD，
∴∠3＝∠KFD，
∵FK平分∠EFD，
∴∠4＝∠KFD，
∵∠1＝∠2，
∴∠K＝∠2+∠4，
∵∠EIF＝∠BEI+∠IFD，
∴∠EIF+∠K＝∠2+∠4+∠BEI+∠IFD＝∠BEF+∠EFD，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴∠EIF+∠K＝180°；
（3）∠EPJ＝45°，理由如下：
∵AB∥CD，
∴易得∠EPJ＝∠AEP+∠PIC，且∠AEF＝∠JFE，
∵∠AEF、∠CJR的平分线相交于P，
∴∠AEF＝2∠AEP，∠CJR＝2∠PJC，
∵RJ⊥EF，
∴∠FQJ＝90°，
∴∠EFJ+∠CJR＝90°，
∴∠AEF+∠CJR＝90°，
∴2∠AEP+2∠PJC＝90°，
∴∠AEP+∠PJC＝45°，
∴∠EPJ＝45°．
附加题（供有兴趣的同学选择使用）
26. 【概念认识】在四边形中，，如果在四边形内部或边上存在一点P，满足，那么称点P是四边形的“映角点”．
【初步思考】
（1）如图①，在四边形中，，点在边上且是四边形的“映角点”，若，，则的度数为 ；
（2）如图②，在四边形中，，点在四边形内部且是四边形的“映角点”，延长交边于点，求证：．
【综合运用】在四边形中，，点是四边形的“映角点”，、分别平分、，当和所在直线相交于点时，请直接写出与满足的关系式．
解：[初步思考]（1）解：根据题意可知，
，
，
，
，
，
是的外角，
，
，
，
故答案为：．
（2）∵点是四边形的“映角点”，
∴，
又，
∴，
在四边形中，
∴，
又
∴．
[综合运用]当时，；
当时，．
如图，
，
由（2）可知，
设，，
，
，
，
；
当时，；
如图，
，
由可知，，
设，，
，
则，
，
，
，
，
．
当时，．