湖南省邵东市第一中学2025届高三上学期第三次月考数学试卷(含答案)

这是一份湖南省邵东市第一中学2025届高三上学期第三次月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设集合,,若,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
2．“”是“”的( )条件
A.充分不必要B.必要不充分
C.充要D.既不充分也不必要
3．若,,,则ab的取值范围是( )
A.B.C.D.
4．设等差数列的前n项和为,且满足,,则当取得最小值时,n的值为( )
A.10B.12C.15D.24
5．已知,则( )
A.5B.C.D.
6．已知函数与的图象恰有一个交点,则( )
A.B.C.1D.2
7．已知函数,若函数在上只有三个零点,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．已知函数没有极值点,则的最大值为( )
A.B.C.eD.
二、多项选择题
9．已知函数的部分图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A.
B.函数的图象关于直线对称
C.函数是偶函数
D.将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,得到函数的图象
10．数列满足,,则下列结论正确的是( )
A.若,则为等比数列
B.若,则为等差数列
C.
D.
11．已知,则下列结论正确的是( )
A.当时,若有三个零点,则b的取值范围是
B.当且时,
C.对于任意满足
D.若存在极值点,且,其中,则
三、填空题
12．设是等比数列,且,,则________.
13．已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且,,,则________
14．若函数有两个零点,则实数a的取值范围为_______________.
四、解答题
15．如图,在平面四边形ABCD中,,.
（1）若,,求的值;
（2）若,,求四边形ABCD的面积.
16．记为数列的前n项和,已知是公差为的等差数列.
（1）求的通项公式;
（2）证明:.
17．已知锐角中,角A、B、C所对边为a、b、c,且.
（1）求角;
（2）若,求的取值范围.
18．已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程.
（2）讨论函数的单调性;
（3）设函数.证明:存在实数m,使得曲线关于直线对称.
19．若数列的各项均为正数,且对任意的相邻三项,,,都满足,则称该数列为“对数性凸数列”,若对任意的相邻三项,,,都满足则称该数列为“凸数列”.
（1）已知正项数列是一个“凸数列”,且,（其中e为自然常数,）,证明:数列是一个“对数性凸数列”;
（2）若关于x的函数有三个零点,其中.证明:数列,,,是一个“对数性凸数列”;
（3）设正项数列,,…,是一个“对数性凸数列”证明:.
参考答案
1．答案：D
解析：因为,所以.
则由,
可得,
故选:D.
2．答案：A
解析：若,则当时,;当时,;故;
当时,成立,但无意义;
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选:A.
3．答案：D
解析：因为,,由基本不等式可得,
即,解得或（舍去）,即,
当且仅当,即时,等号成立,
故ab的取值范围是.
故选:D.
4．答案：B
解析：因为,则,
又因为数列为等差数列,则,
可得,即,
且,可知,,
即当时,;当时,;
所以当取得最小值时,n的值为12.
故选:B.
5．答案：D
解析：,则
则,
即,所以,
,
故选:D
6．答案：A
解析：令函数,其定义域为R,
,函数为偶函数,
由函数与的图象恰有一个交点,得有唯一零点,
因此,即,解得,,
当时,,
令函数,,函数在上单调递增,
,则当时,,函数在上递增,在上递减,
所以函数有唯一零点,.
故选:A
7．答案：A
解析：因为
,
所以,
令得,
所以或,
即或,则或,
则非负根中较小的有:0,,,;
因为函数在上只有三个零点,
所以,解得.
故选:A
8．答案：B
解析：函数没有极值点,
,或恒成立,
由指数爆炸的增长性,不可能恒小于等于0,
恒成立.
令,则,
当时,恒成立,为R上的增函数,
因为是增函数,也是增函数,
所以,此时,不合题意;
②当时,为增函数,由得,
令,,
在上单调递减,在上单调递增,
当时,依题意有,
即,
,,
令,,
则,
令,令,解得,
所以当时,取最大值
故当,,即,时,取得最大值
综上,若函数没有极值点,则的最大值为
故选：B.
9．答案：ABD
解析：由图可得,,,解得,故A正确;
又函数图象经过点,则,即,
因,故,解得,故.
对于B,当时,,此时函数取得最小值,故B正确;
对于C,,是奇函数,故C错误;
对于D,将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍,
将得到函数的图象,故D正确.
故选:ABD.
10．答案：ABD
解析：由,,两边同除,
得:,即,且,
所以是公差为2,首项为1的等差数列,
所以,所以,则可知C错误;
因为,,所以,且,
所以是等比数列,则可知A正确;
对于B:,,
故数列为等差数列,则可知B正确;
对于D:
,则可知D正确.
故选:ABD.
11．答案：ACD
解析：对于A:当时,,,
由,可得或,
由,可得,
所以的增区间为和,减区间为,
所以在处取到极大值,在处取到极小值,
若有三个零点,则解得,故正确;
对于B:当,,,同时,结合A函数的单调性得,故错误;
对于C:,故正确;
对于D:若,
由,得,
则,
其中代入,得,
整理得,即,
结合题设,故正确,
故选:ACD
12．答案：或
解析：设等比数列的公比为q,
因为,,
所以,解得,或,
当时,;
当时,.
故答案为:或
13．答案：
解析：,即,,
由,解得,
,由正弦定理得,
.
,,则,,,
.
由正弦定理得,得.
故答案为:.
14．答案：
解析：当时,,无零点;
当时,在上单增,至多一个零点,不合题意;
设,,
当时,与的图象大致如图1所示,
时,,二者无交点,
当时,在单调递增,,
则在上单增,,故至多一个零点,不合题意;
当时,与的图象大致如图2所示,此时显然有两个交点,
故有两个零点;综上,,
故答案为：
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）在中,,,则,
,
在中,由正弦定理得,
.
（2）在和中,由余弦定理得
,
,
得,又,得,
则,,
四边形ABCD的面积
.
16．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）,,,
又是公差为的等差数列,
,,
当时,,
,
整理得:,
即,
,
显然对于也成立,
的通项公式;
（2）
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,所以,
所以,从而,
即,
所以,因为,所以.
（2）因为,,由正弦定理,有
所以,,
所以,
又因为为锐角三角形,
所以,即,所以,
所以,从而的取值范围为.
18．答案：（1）;
（2）答案见解析
（3）证明见解析
解析：（1）,,
又,
故在处的切线方程为,
即;
（2）,定义域为,
,
当时,令得,令得,
故在上单调递减,在上单调递增;
当时,令得或,令得,
故在和上单调递增,在上单调递减;
当时,恒成立,故在上单调递增;
当时,令得或,令得,
故在和上单调递增,在上单调递减;
综上,当时,在上单调递减,在上单调递增;
当时,在和上单调递增,在上单调递减;
当时,在上单调递增.
当时,在和上单调递增,在上单调递减;
（3）证明:函数,
函数的定义域为.
若存在m,使得曲线关于直线对称,
则关于直线对称,所以
由
.
可知曲线关于直线对称.
19．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）证明见解析
解析：（1）因为,所以,
因为正项数列是一个“凸数列”,
所以,所以,所以,
所以数列是一个“对数性凸数列”.
（2）因为有三个零点,
所以有两个不等实数根,
所以,
又,所以;
时,,所以不是的零点,
又,
令,则也有三个零点,
即有三个零点,
令,则有三个零点,
所以有两个零点,
所以,
因为,,
所以正项数列,,,对任意的相邻三项,,,都满足,
所以数列,,,是一个“对数性凸数列”.
（3）记,则要证,
即证,
即,即①,
因为数列为对数性凸数列,所以,,
所以,所以,
,
而,
所以
,
当且仅当时等号成立,
故式①成立,所以原不等式成立.