四川省成都市部分省重点高中2022-2023学年高一下学期期末数学试卷(解析版)

这是一份四川省成都市部分省重点高中2022-2023学年高一下学期期末数学试卷(解析版)，共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下面有四个命题：
①3⊆xx≥3；②若a=22,B=x∈Rx≥2+2，则a∈B；③若-a不属于N*，则a属于N*；④若A=xy=1-x2,B=yy=1-x2，则A=B.
其中真命题的个数为（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】B
【解析】①由子集概念知3⊆xx≥3正确；
②因为222，所以，B=180∘-60∘-45∘=75∘，
又∠BAD=30∘，所以，即AD=AB=2．
故答案为：2．
16. 如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，AB=1,AD=2,AA1=2,∠BAD=60°，点P是半圆弧A1D1上的动点(不包括端点)，点Q是半圆弧BC上的动点(不包括端点)，若三棱锥P-BCQ的外接球表面积为S，则S的取值范围是______________．
【答案】254π,13π
【解析】因为AB=1,AD=2,∠BAD=60°，由余弦定理得：
BD=AB2+AD2-2AB⋅ADcs∠BAD=1+4-4×12=3，
因为，由勾股定理逆定理得：AB⊥BD，
直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为平行四边形，
故BD⊥CD，点Q是半圆弧BC上的动点(不包括端点)，故BC为直径，
取BC的中点E，则E为三棱锥P-BCQ的外接球球心O在平面BCQ的投影，
设BC与AD相交于点M，A1D1与相交于点N，连接EM，ED，则EM=ED，
因为∠BCD=60°，故，∠DEM=2∠DBC=60°，
故三角形DEM为等边三角形，DM=DE=12BC=12AD，
即M为AD的中点，同理可得：N为的中点，
连接EN，则EN⊥平面ABCD，故球心在线段EN上，
显然，当点P与点N重合时，三棱锥P-BCQ的外接球半径最小，
假如点P与A1或D1重合，此时PN最长，故三棱锥P-BCQ的外接球半径最大，
如图1，点P与点N重合，连接OC，设ON=R，则OE=2-R，OC=R，
由勾股定理得：OE2+EC2=OC2，即2-R2+1=R2，解得：R=54，
此时外接球表面积为4πR2=254π；
如图2，当点P与A1或D1重合时，连接A1O,A1N,OC，
其中A1N=A1B12+B1N2-2A1B1⋅B1Ncs120°=3，
设OE=h，则ON=2-h，
由勾股定理得：A1O=A1N2+ON2=3+2-h2，
OC=OE2+EC2=h2+1，
故3+2-h2=h2+1，解得：h=32，
此时外接球半径为OC=94+1=132，故外接球表面积为4π×134=13π，
但因为点P是半圆弧A1D1上的动点(不包括端点)，故最大值取不到，
综上：S的取值范围是254π,13π.
故答案为：254π,13π.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知复数z=1+mi（i是虚数单位，m∈R），且为纯虚数（z是z的共轭复数）.
（1）求实数m及z；
（2）设复数z1=a-i2023z，且复数对应的点在第二象限，求实数a的取值范围．
解：（1）∵z=1+mi，∴z=1-mi，
z(3+i)=(1-mi)(3+i)=(3+m)+(1-3m)i，
z⋅(3+i)为纯虚数，
3+m=01-3m≠0，解得m=-3，
故z=1-3i，则.
（2）∵i2023=i4×505+3=i3=-i，
∴z1=a-i2023z=a+i1-3i=a+i1+3i1-3i1+3i=a-310+3a+110i，
∵复数所对应的点在第二象限，
a-3100，解得，
故实数a的取值范围为.
18. 如图所示，在△ABC中，D为BC边上一点，且BD=2DC，过D的直线EF与直线AB相交于E点，与直线AC相交于F点（E，F两点不重合）.
（1）用AB，AC表示AD；
（2）若AE=λAB，AF=μAC，求2λ+μ的最小值.
解：（1）因为BD=2DC，所以AD-AB=2AC-2AD，
化简得AD=13AB+23AC.
（2）因为AE=λAB，AF=μAC，AD=13AB+23AC，
所以AD=13λAE+23μAF，由图可知λ>0，μ>0，
又因为D、E、F三点共线，所以13λ+23μ=1，
所以2λ+μ=2λ+μ⋅13λ+23μ=43+μ3λ+4λ3μ≥43+2μ3λ⋅4λ3μ=83，
当μ3λ=4λ3μ，即μ=2λ=43时，2λ+μ取最小值83.
19. 设fx=sinx+csxx∈R.
（1）判断函数y=fx+π22的奇偶性，并写出最小正周期；
（2）求函数y=fxfx-π4在[0,π2]上的最大值.
解：（1）由题意得fx=sinx+csx=2sin(x+π4)，
故y=fx+π22=[2sin(x+π2+π4)]2=2sin2(x+3π4)
=1-cs(2x+3π2)=1-sin2x，令g(x)=1-sin2x，x∈R，
由于g(-x)=1-sin2(-x)=1+sin2x不恒等于g(x)，也不等于-g(x)，
故y=fx+π22为非奇非偶函数，
其最小正周期为2π2=π.
（2）由题意可得y=fxfx-π4=[2sin(x+π4)](2sinx)
=2sin2x+2sinxcsx=2(1-cs2x)2+22sin2x=sin(2x-π4)+22，
因为x∈[0,π2]，所以2x-π4∈[-π4,3π4]，故sin(2x-π4)∈[-22,1]，
故sin(2x-π4)+22的最大值为1+22，
即函数y=fxfx-π4在[0,π2]上的最大值为1+22.
20. 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：
①3小时内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的积累经验值E（单位：EXP）与游玩时间t （单位：小时）满足关系式：E=t2+20t+20a t>0；
②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）；
③超过5小时的时间为不健康时间，累积经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50.
（1）当a=2时，写出累计经验值E与游玩时间t 的函数关系式E=f(t)，并求出游玩6小时的累积经验值；
（2）该游戏厂商把累计经验值E与游玩时间t的比值称为“玩家愉悦指数”，记为H(t)，若a>0，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a的取值范围.
解：（1）由题意可得：当05时，则f(t)=69+20a-50t-5=-50t+20a+319；
综上所述：f(t)=t2+20t+20a,0