浙江省钱塘联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷(解析版)

这是一份浙江省钱塘联盟2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷(解析版)，共14页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸.等内容，欢迎下载使用。

考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4．考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 若直线，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】直线的斜率为，所以直线的倾斜角为.
故选：A
2. 已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，即，
故该圆的圆心坐标为，半径为．
故选：A．
3. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D. 且
【答案】D
【解析】方程表示椭圆，
，得，得且．
故选：D．
4. 在的展开式中的系数为，则（ ）
A. 10B. 20C. 30D. 40
【答案】B
【解析】易知展开式中含的项为，
解得.
故选：B
5. 已知三棱锥，是以为斜边的直角三角形，是边长为2的等边三角形，且平面，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，半径为，
因为是边长为2的等边三角形，
所以，即，
又平面，平面，
所以，，所以，所以，
因为是以为斜边的直角三角形，所以，
所以，
设外接球的半径，球心为，连接、，，
则平面且，
即，
所以三棱锥外接球的表面积是．
故选：B．
6. 已知3名教师和4名学生排成一排照相，每位教师互不相邻，且教师甲和学生乙必须相邻，一共有多少种不同的排法？（ ）
A. 144B. 288C. 576D. 720
【答案】C
【解析】先将教师甲和学生乙捆绑成一个元素，与另外3名学生全排列，则有种方法，
再将剩下的两名教师插入除去与教师甲相邻的四个空位中，有种方法，
所以由分步乘法计数原理可知共有种不同的排法，
故选：C
7. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是，，则（ ）
A. 数列第16项为144B. 数列第16项为128
C. 200是数列第18项D. 200不是数列中的项
【答案】B
【解析】由此数项的前10项的规律可知，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
对于AB，，所以A错误，B正确，
对于C，，所以C错误，
对于D，若200中偶数项，则，得，
所以200是此数列的第20项，所以D错误，
故选：B
8. 已知抛物线，过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，交圆于两点，其中位于第一象限，则的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】由题意得，焦点坐标为，
当直线斜率不存在时，不满足交抛物线于两点，舍去，
设直线方程为，联立得，，
方程的判别式，
设，
则，，
则，，
其中的圆心为，半径为1，
故，同理可得，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故选：C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B. 若，则是锐角
C. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D. 若对空间中任意一点，有，则四点共面
【答案】ACD
【解析】对A，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确；
对B，若，则，故B错误
对C，假设共面，则，
因为向量组是空间的一个基底，
所以不存实数，使得成立，故不共面，
即也是空间的一个基底，故C正确.
对D，因为，且，
所以四点共面，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知抛物线，为抛物线上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 过点A与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有一条
B. 动点到直线的最小距离为
C. 动点到直线的距离与到轴距离之和的最小值为1
D. 过作直线交抛物线于两点，若线段的中点坐标为，则直线斜率为1
【答案】BCD
【解析】对于A，如下图所示：

过点A与抛物线只有一个公共点的直线有两条，
一条是以为切点的切线，另一条是过点A且斜率为0的直线；所以A错误；
对于B，将直线平移到与抛物线相切，切点为A时，动点到直线的距离最小，如下图所示：

不妨设切线方程为，联立并整理可得，
此时，解得，即切线为；
此时两平行线之间的距离最小为,即B正确；
对于C，易知抛物线焦点，准线方程为，
作垂直于准线，垂直于直线，如下图所示：

由抛物线定义可得，所以动点到轴的距离为，
而动点到直线的距离为，
所以动点到直线的距离与到轴距离之和为，
显然当三点共线时，距离之和最小；
最小值为焦点到直线的距离再减去1，即，可知C正确；
对于D，设过点的直线的方程为，；
与抛物线联立并整理可得，
由韦达定理可得，
若线段的中点坐标为，可得，可得，
又在直线上，解得，即，即直线斜率为1，可得D正确.
故选：BCD
11. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点：如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列，叫作牛顿数列．若函数，且，，数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 数列是递增数列
C. 数列是等差数列D.
【答案】AB
【解析】对于A，由，得，
所以在点处切线的斜率为，
所以切线方程为，
因为切线过点，所以，
所以，所以A正确，
对于BCD，由选项A可知，，
所以，，
所以，
所以，所以，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以C错误，
因为，所以数列是递增数列，所以B正确，
因为，所以D错误，
故选：AB
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 有5本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有______种不同的借法.
【答案】150
【解析】将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，
分成1、1、3时，有种分法，
分成2、2、1时，有种分法，
所以共有种分法，故答案为：．
13. 已知圆上恰有3个点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为______．
【答案】
【解析】的渐近线方程为，
，圆心为，半径为2，
由几何关系得，圆心到的距离为1，
即，解得，
故离心率为
故答案为：
14. 设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】令，
则，
因为，所以当时，，
易知函数在单调递增，所以，
即可得在上单调递减，
由不等式可得；
即，因此可得，解得.
即不等式的解集为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. 已知
（1）求；
（2）求值．
解：（1）因为，
令，则，
则展开式的通项为（且），
令，解得，所以，
所以；
（2）对于，
令，可得；
令，可得，
所以.
16. 已知等差数列和正项等比数列满足：，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列满足，求数列的前项和．
解：（1）设公差为，公比为，，
因为，
故，解得（舍去）或，
故，；
（2），
故
.
17. 已知函数
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求证：．
解：（1）因为，
则，，
则，
所以在点处的切线方程为，
即.
（2）函数的定义域为，
先证，
令，，
则，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
所以（当且仅当时取等号），
再证，
设，，
则，令，，则，
当时，，（）单调递减；
当时，，（）单调递增，
所以，
所以在上单调递增，
所以，
即，
所以，即，
所以．
18. 如图，现有三棱锥和，其中三棱锥的棱长均为，三棱锥有三个面是全等的等腰直角三角形，一个面是等边三角形，现将这两个三棱锥的一个面完全重合组成一个组合体．
（1）求这个组合体的体积；
（2）求证：平面
（3）求二面角的余弦值．
解：（1）由题意，可将组合体补形为正方体，
如图所示，由，可得正方体棱长，
故多面体的体积；
（2）在正方体中，平面平面，平面，
故平面，即平面；
（3）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
则，，
设平面的一个法向量为，
则有，令，则，所以，
取平面的一个法向量为，
则，
由图可知，二面角的平面角为钝角，
故二面角的余弦值为.
19. 如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是一个椭圆的长轴和短轴，则称它们为“孪生”曲线，若双曲线与椭圆是“孪生”曲线，且椭圆，（分别为曲线的离心率）
（1）求双曲线的方程；
（2）设点分别为双曲线的左、右顶点，过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为
①是否存在实数，使得，若存在求出的值；若不存在，请说明理由；
②试探究的取值范围．
解：（1）根据题意双曲线，
因为，解得，
双曲线的方程为；
（2）①存在实数，使得，理由如下，
若直线的斜率不为0，则，重合不符合题意，所以，
设直线的方程为，，
由得，
双曲线的渐近线方程为，所以，
可得，
，
，
所以存在实数，使得；
②由①，所以，
设直线的方程为，与双曲线方程联立
得，
可得，
因为，所以，解得，
因为点在双曲线的右支上，所以，
解得，
所以.