(人教A版必修第一册)高一数学同步讲义第二章一元二次函数、方程和不等式综合检测卷(拔尖C卷)(原卷版+解析)

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高中数学人教A版（2019）必修第一册第二章综合检测卷（拔尖C卷）单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．若，且，则下列不等式一定成立的是（       ）A． B．C． D．2．已知，则“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知正实数a，b满足，则的最小值是（       ）A． B．3 C． D．4．若，则有（       ）A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值5．关于x的方程恰有一根在区间内，则实数m的取值范围是（       ）A． B． C． D．6．已知不等式有实数解．结论（1）：设是的两个解，则对于任意的，不等式和恒成立；结论（2）：设是的一个解，若总存在，使得，则，下列说法正确的是（       ）A．结论①、②都成立 B．结论①、②都不成立C．结论①成立，结论②不成立 D．结论①不成立，结论②成立7．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（       ）A．16 B．25 C．36 D．498．若，，且，恒成立，则实数m的取值范围是（       ）A． B．或C．或 D．多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．已知的三边长分别为，，，则下列命题正确的是（       ）A．以，，为边长的三角形一定存在B．以，，为边长的三角形一定存在C．以，，为边长的三角形一定存在D．以，，为边长的三角形一定存在10．已知，，且，则（       ）A．xy的取值范围是 B．的取值范围是C．的最小值是3 D．的最小值是11．已知，则下列结论一定正确的是（       ）A．的最小值为8B．的最小值为1C．的最小值为4D．的最小值为812．已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是（       ）A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m9}B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（       ）A．16 B．25 C．36 D．49【答案】B【详解】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立，又，即，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以函数的最小值为25.故选：B8．若，，且，恒成立，则实数m的取值范围是（       ）A． B．或C．或 D．【答案】A【详解】因为，由基本不等得 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为8由题可知， 即 ，解得，故选：A多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．已知的三边长分别为，，，则下列命题正确的是（       ）A．以，，为边长的三角形一定存在B．以，，为边长的三角形一定存在C．以，，为边长的三角形一定存在D．以，，为边长的三角形一定存在【答案】AC【详解】不妨设，则.对于，，所以，所以以，，为边长的三角形一定存在，故正确；对于，不一定成立，因此以，，为边长的三角形不一定存在，故不正确；对于，，因此以，，为边长的三角形一定存在，故正确；对于，取，，，满足，而，因此以，，为边长的三角形不一定存在，故不正确.故选：AC.10．已知，，且，则（       ）A．xy的取值范围是 B．的取值范围是C．的最小值是3 D．的最小值是【答案】BD【详解】因为，，所以，所以，解得，即，则A错误.因为，，所以，所以，即，解得，当且时等号成立，又由，所以的取值范围是，则B正确.因为，所以，则，当且仅当即时等号成立.因为.所以，则C错误.，当且仅当即时等号成立，则D正确.故选：BD11．已知，则下列结论一定正确的是（       ）A．的最小值为8B．的最小值为1C．的最小值为4D．的最小值为8【答案】ABD【分析】对于ABD，由，可得，，然后利用基本不等式逐个分析判断，对于C，利用已知条件和平方的非负性判断即可【详解】因为，所以，，对于A，因为，所以，因为，，所以，当且仅当，即时取等号，所以A正确，对于B，因为，，所以 ，当且仅当，即时取等号，所以B正确，对于C，因为，所以，所以，所以C错误，对于D，由，，得，所以，当且仅当，即时取等号，所以D正确，故选：ABD12．已知关于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列结论正确的是（       ）A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m|m9}B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一负根的充要条件是m∈{m|m1}，故D正确.故选：BCD.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数（）的图象关于轴对称，且与直线相切，写出满足上述条件的一个函数______．【答案】（答案不唯一）【详解】已知，∵的图象关于y轴对称，∴对称轴，∴，∴，联立，整理得，即，∵的图象与直线相切，∴，∴，当时， .∴满足条件的二次函数可以为．故答案为： .14．设，则中等号成立的充要条件是_______．【答案】且.【详解】由题设，，∴要使等号成立，则且，当且时，有，即成立.综上，且是中等号成立的充要条件.故答案为：且.15．已知，，且，则的最小值为_________.【答案】5【详解】解：因为且，，则，当且仅当，即，时取等号；所以的最小值为.故答案为：.【点睛】易错点点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.16．某地要建造一批外形为长方体的简易工作房，如图所示．房子的高度为3m，占地面积为，墙体ABFE和DCGH的造价均为80元/m2，墙体ADHE和BCGF的造价均为120元/m2，地面和房顶的造价共2000元．则一个这样的简易工作房的总造价最低为______________元．【答案】4880【详解】设，，则，则这个简易工作房总造价为，因为，当且仅当，即时等号成立，所以一个这样的简易工作房的总造价最低为4880元.故答案为：4880.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．若，.(1)若的解集为，求的值；(2)当时，求关于的不等式的解集.【详解】(1)因为关于的不等式的解集为，则，所以，、是方程的解，，解得.(2)，，由得或.当时，，原不等式的解为，原不等式的解集为；当时，，不等式的解为，原不等式的解集为；当时，原不等式为，不等式的解集为.综上：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.18．设函数．(1)若对于一切实数，恒成立，求实数的取值范围；(2)若对于，恒成立，求实数的取值范围.【详解】(1)由已知，对于一切实数恒成立，当时，恒成立,符合题意，当时，只需，解得，综上所述，的取值范围是，；(2)由已知，对，恒成立，即对，恒成立，，对，恒成立，令，则只需即可，而在，上是单调递增函数，，，，，所以的取值范围是.19．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB=3米， AD=4米．(1)要使矩形AMPN的面积大于50平方米，则DN的长应在什么范围？(2)当DN的长为多少米时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．【详解】(1)设DN的长度为米，则米，因为，所以，则，又x>0，得：.即DN的长的取值范围是：.(2)矩形花坛AMPN的面积，当且仅当时，矩形花坛AMPN的面积最小，最小值为48平方米.20．已知关于的一元二次不等式的解集为.(1)求实数的取值范围；(2)求函数的最小值；(3)解关于的不等式.【详解】(1)一元二次不等式的解集为，则，解得.(2)，当，即时等号成立.(3)，，故解集为21．已知当时，函数的最大值为5，求实数的值.【详解】，其图象的对称轴方程为，顶点坐标为，图象开口方向由决定.若，函数图象开口向下，如图所示，当时，函数取得最大值，即，解得或（舍去）.故.若，函数图象开口向上，如图所示，∵，∴当时，函数取得最大值，即，解得或（舍去），故.综上，或.22．求实数的范围，使关于的方程(1)有两个实根，且一个比大，一个比小；(2)有两个实根，且满足；(3)至少有一个正根.【详解】(1)设．依题意有，即，得．(2)设．依题意有，解得．(3)设．方程至少有一个正根，则有三种可能：①有两个正根，此时可得，即②有一个正根，一个负根，此时可得，得．③有一个正根，另一根为，此时可得综上所述，得．