(人教A版必修第一册)高一数学同步讲义必修第一册第三章《函数概念与性质》综合检测卷(拔尖C卷)(原卷版+解析

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必修第一册第三章 《函数概念与性质》综合检测卷（拔尖C卷）（原卷版）单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．下列各组函数是同一函数的是（       ）A．与 B．与C．与 D．与2．已知函数，若存在实数，使得对于任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．3．对于任意x∈[-2，2]，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（　　）A． B．m≤-2 C．m≤0 D．m≤44．已知，则函数的图像不可能是（       ）A． B．C． D．5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（       ）A．30件 B．60件 C．80件 D．100件6．已知函数的定义域为R，满足，且当时，恒成立，设，，（其中），则a，b，c的大小关系为（       ）A． B．C． D．7．已知函数满足（x∈R），且对任意的时，恒有成立，则当时，实数a的取值范围为（　　）A． B．C． D．8．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若对任意恒成立，则实数a的取值范围为（       ）A． B． C． D．多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．若函数，则（       ）A． B．C． D．10．若函数存在最大值，则实数a可能的值是（       ）A． B． C．1 D．211．已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有（       ）A．函数为非奇非偶函数 B．函数的定义域为C．的单调递增区间为 D．若，则12．已知定义在R上的函数 满足 ， ，且对任意的 ，当 时，都有 ，则以下判断正确的是（       ）A．函数是偶函数 B．函数在上单调递增C．x=2是函数的对称轴 D．函数的最小正周期是12填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为________.14．已知函数，若，使不等式成立，则实数的取值范围为______．15．已知函数是幂函数，对任意的，，且，满足，若a，，且，则______0（填“＞”“＝”或“＜”）．16．已知是定义在上的奇函数，且，若对任意，，且，有，则的最小值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．解不等式．18．已知函数，判断并证明在区间上的单调性．19．已知二次函数的图象经过，且不等式对一切实数都成立．（1）求函数的解析式；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．20．已知某船舶每小时航行所需费用u（单位：元）与航行速度（单位：千米/时）的函数关系为（其中a，b，k为常数），函数的部分图象如图所示．(1)求的解析式；(2)若该船舶需匀速航行20千米，问船舶的航行速度v为多少时，航行所需费用最少.最少的费用为多少？21．已知函数是定义在上的奇函数，且.(1)求函数的解析式；(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；(3)解不等式：.22．已知幂函数在上单调递增，函数．（1）求m的值；（2）当时，记的值域分别为集合A，B，设，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．（3）设，且在上单调递增，求实数k的取值范围．必修第一册第三章 《函数概念与性质》综合检测卷（拔尖C卷）（解析版）单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．下列各组函数是同一函数的是（       ）A．与 B．与C．与 D．与【答案】A【分析】当两个函数的定义域和对应关系都相同时，则两个函数为同一函数，再对各个选项中的函数进行化简并求出定义域，即可判断得出答案.【详解】解：对于A，的定义域为，的定义域为，则两个函数的定义域和对应关系都相同，是同一函数；对于B，的定义域为，的定义域为，则两个函数的定义域不同，不是同一函数；对于C，的定义域为，的定义域为，则两个函数的定义域不同，不是同一函数；对于D，和的对应关系不同，故不是同一函数.故选：A.2．已知函数，若存在实数，使得对于任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，得到函数存在最大值，结合分段函数的性质即可求解结论．【详解】解：函数，若存在实数，使得对于任意的实数都有成立，即函数有最大值，又因为当时，，单调递减，且，故当时，，且，故，故选：．3．对于任意x∈[-2，2]，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（　　）A． B．m≤-2 C．m≤0 D．m≤4【答案】C【分析】将不等式进行等价变形，再换元构造函数，求出函数的最小值即可判断作答.【详解】依题意，，x∈[-2，2]，令，则化为，显然，在上单调递增，在上单调递减，而，即，于是得x∈[-2，2]，当时，取最小值0，又任意x∈[-2，2]，不等式恒成立，则，所以实数m的取值范围是.故选：C4．已知，则函数的图像不可能是（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据含参函数的解析式和函数特殊值判断函数可能的图像.【详解】根据可知，所以当时，，即，故选项A错误，而当为其他值时，B,C,D均有可能出现.故选：A5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为900元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（       ）A．30件 B．60件 C．80件 D．100件【答案】B【分析】确定生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和，可得平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，利用基本不等式，即可求得最值．【详解】根据题意，该生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和是这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为 （为正整数）由基本不等式，得当且仅当，即时，取得最小值，时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小故选：B6．已知函数的定义域为R，满足，且当时，恒成立，设，，（其中），则a，b，c的大小关系为（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数单调性的定义判断出在上单调递减,再利用把转化为，最后利用的单调性判断即可.【详解】因为，所以，因此，即，所以在上单调递减，又因为，所以，又因为，所以，所以．故选：B．7．已知函数满足（x∈R），且对任意的时，恒有成立，则当时，实数a的取值范围为（　　）A． B．C． D．【答案】A【分析】先证明出在[1，+∞）上为减函数，把转化为，即可解得.【详解】因为函数满足（x∈R），则函数的图像关于直线x＝1对称，又由对任意的时，恒有成立，所以任取，有，所以，所以在[1，+∞）上为减函数.又由2a2+a+2＝2（a）21，2a2﹣2a+4＝2（a）21，若，则有，解得：，即a的取值范围为.故选：A．8．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若对任意恒成立，则实数a的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数在时的解析式及函数的奇偶性画出函数的图像，再根据知，函数的图像在函数图像的下方，进而得关于a的一元二次不等式，从而得出结论.【详解】当时，，由是奇函数，可作出的图象如下．又对任意恒成立，所以的图象恒在的图象的下方，即将的图象向右平移1个单位长度后得到的图象恒在的图象的下方，如图所示，所以，解得．故选：B．多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．若函数，则（       ）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由换元法求出，可判断C；分别令或可判断A，B；求出可判断D.【详解】令，则，所以，则，故C错误；，故A正确；，故B错误；（且），故D正确．故选：AD．10．若函数存在最大值，则实数a可能的值是（       ）A． B． C．1 D．2【答案】BCD【分析】求出二次函数部分的对称轴，再讨论a与对称轴的大小，求出a的的取值范围即可得到答案【详解】解： 图象的对称轴方程为，①当，时，有最大值，又，所以，所以此时有最大值1；②当，时，有最大值，当时，在单调递减，所以，所以要有最大值，得，解得，与矛盾，舍去，综上，当时，有最大值，故选：BCD．11．已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的有（       ）A．函数为非奇非偶函数 B．函数的定义域为C．的单调递增区间为 D．若，则【答案】AC【分析】根据点坐标，求出幂函数解析式，然后对选项分别进行判断即可.【详解】设幂函数，为实数，其图像经过点，所以，则，所以，定义域为，为非奇非偶函数，故A正确，B错误.且在上为增函数，故C正确.因为函数是凸函数，所以对定义域内任意，都有成立，故D错误.故选:AC.12．已知定义在R上的函数 满足 ， ，且对任意的 ，当 时，都有 ，则以下判断正确的是（       ）A．函数是偶函数 B．函数在上单调递增C．x=2是函数的对称轴 D．函数的最小正周期是12【答案】BCD【分析】根据函数的奇偶性的定义判断A;由结合函数的奇偶性可推得以及，从而判断函数的对称轴和周期，判断C,D；根据函数的对称性和单调性以及周期性可判断B;【详解】因为定义在R上的函数 满足，即，故函数是奇函数，故A错误；因为，故，而，所以，即的图象关于对称，则x=2是函数的对称轴，故C正确；因为，所以，故12是函数的周期；对任意的 ，当 时，都有 ，即，故时，单调递减，又因为为奇函数，所以时，单调递减，又因为的图象关于对称，故时，单调递增，因为12是函数的周期，故函数在 单调性与时的单调性相同，故函数在上单调递增，故B正确，作出函数的大致图象如图示：结合图象可得知12是函数的最小正周期，D正确；故选：BCD【点睛】本题考查了函数的奇偶性单调性以及对称性和周期性的判断，综合性强，推理复杂，要能熟练地应用相应概念进行相应的推理，解答的关键是函数单调性对称性以及奇偶性周期性的综合应用.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为________.【答案】.【分析】根据偶次根式下被开方数非负列不等式，再根据不等式恒成立，结合二次函数的图象与性质可得，解不等式可得a的取值范围.【详解】的定义域为R，则恒成立，所以，所以实数a的取值范围为.14．已知函数，若，使不等式成立，则实数的取值范围为______．【答案】【分析】令，则若，使不等式成立等价于在，上有，易知，讨论与0的大小关系，则可得到在上的单调性，则可得到，即可解出实数的取值范围.【详解】令，则问题可转化为在，上有，易知在上单调递增，故，①当时，在上单调递增，则，所以，可得；②当时，则，符合题意；③当时，在上单调递减，则，所以，可得．综上所述，．故答案为：.15．已知函数是幂函数，对任意的，，且，满足，若a，，且，则______0（填“＞”“＝”或“＜”）．【答案】＜【分析】由函数为幂函数，可得m＝－1或m＝2，又由题意函数在上单调递增，可得，从而根据函数的奇偶性和单调性即可求解.【详解】解：因为函数为幂函数，所以，即，解得m＝－1或m＝2．当m＝－1时，；当m＝2时，．因为函数对任意的，，且，满足，所以函数在上单调递增，所以，又，所以函数是奇函数，且为增函数，因为，所以，所以，即．故答案为：＜.16．已知是定义在上的奇函数，且，若对任意，，且，有，则的最小值为______．【答案】【分析】首先利用函数是奇函数，不等式变形为，判断函数的单调性，再根据函数的最大值求函数的最小值.【详解】∵是定义在上的奇函数，∴对任意，，，且，等价于，∴在上单调递增．∵，∴．故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．解不等式．【答案】．【分析】不等式变形为，将视为一个整体，方程两边具有相同的结构，于是构造函数，然后由函数的单调性解不等式．【详解】令，易知在R上单调递增．原不等式变形为，即．由在R上单调递增得，解得或．所以原不等式的解集为．18．已知函数，判断并证明在区间上的单调性．【答案】单调递增，证明见解析【分析】利用单调性的定义证明，先任取，，且，然后作差，变形，判断符号，即可得结论.【详解】在区间上单调递增，理由如下：任取，，且，．因为，所以，，，所以所以，所以，即，所以函数在区间上单调递增．19．已知二次函数的图象经过，且不等式对一切实数都成立．（1）求函数的解析式；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）观察不等式，令，得到成立，即，以及，再根据不等式对一切实数都成立，列式求函数的解析式；（2）法一，不等式转化为对恒成立，利用函数与不等式的关系，得到的取值范围，法二，代入后利用平方关系得到，恒成立，再根据参变分离，转化为最值问题求参数的取值范围.【详解】（1）由题意得：①，因为不等式对一切实数都成立，令，得：，所以，即②由①②解得：，且，所以，由题意得：且对恒成立，即对恒成立，对③而言，由且，得到，所以，经检验满足，故函数的解析式为．（Ⅱ）法一：二次函数法，由题意，对恒成立，可转化为，对恒成立，整理为对恒成立，令，则有，即，解得，所以的取值范围为．法二，利用乘积的符号法则和恒成立命题求解，由①得到，，对恒成立，可转化为对恒成立，得到对恒成立，平方差公式展开整理，即即或对恒成立，即或即，或，即或，所以的取值范围为．【点睛】本题考查求二次函数的解析式，不等式恒成立求参数的取值范围，重点考查函数，不等式与方程的关系，转化与变形，计算能力，属于中档题型.20．已知某船舶每小时航行所需费用u（单位：元）与航行速度（单位：千米/时）的函数关系为（其中a，b，k为常数），函数的部分图象如图所示．(1)求的解析式；(2)若该船舶需匀速航行20千米，问船舶的航行速度v为多少时，航行所需费用最少.最少的费用为多少？【答案】(1)(2)当航行速度为15千米/时时，航行所需费用最少，最少的费用为1200元．【解析】（1）将，分别代入得解得把代入，得，解得．所以（2）航行时间小时，所需费用设为元，则①当时，函数单调递减，所以；②当时，，当且仅当，即时，等号成立．由知，时，航行所需费用最小.所以以当航行速度为15千米/时时，航行所需费用最少，最少的费用为1200元．21．已知函数是定义在上的奇函数，且.(1)求函数的解析式；(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；(3)解不等式：.【答案】(1)；(2)函数在上单调递增，证明见解析；(3).【分析】（1）根据奇函数的定义可求得的值，再结合已知条件可求得实数的值，由此可得出函数的解析式；（2）判断出函数在上是增函数，任取、且，作差，因式分解后判断的符号，即可证得结论成立；（3）由得，根据函数的单调性与定义域可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，则，即，可得，则，所以，，则，因此，.（2）证明：函数在上是增函数，证明如下：任取、且，则，因为，则，，故，即.因此，函数在上是增函数.（3）解：因为函数是上的奇函数且为增函数，由得，由已知可得，解得.因此，不等式的解集为.22．已知幂函数在上单调递增，函数．（1）求m的值；（2）当时，记的值域分别为集合A，B，设，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．（3）设，且在上单调递增，求实数k的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）由幂函数的定义，再结合单调性即得解.（2）求解，的值域，得到集合，，转化命题是成立的必要条件为，列出不等关系，即得解.（3）由（1）可得，根据二次函数的性质，分类讨论和两种情况，取并集即可得解.【详解】（1）由幂函数的定义得：，或，当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去；当时，在上单调递增，符合题意；综上可知：.（2）由（1）得：，当时，，即，当时，，即，由命题是成立的必要条件，则，显然，则，即，所以实数k的取值范围为：.（3）由（1）可得，二次函数的开口向上，对称轴为，要使在上单调递增，如图所示：或即或，解得：或.所以实数k的取值范围为：【点睛】关键点点睛：本题考查幂函数的定义及性质，必要条件的应用，已知函数的单调性求参数，理解是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集是解题的关键，考查学生的分析试题能力与分类讨论思想，及数形结合思想，属于较难题.