高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.3 对数练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.3 对数练习题，共24页。
重难点技巧：对数的概念
考点一 对数的有关概念
对数的概念：
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
常用对数与自然对数：
通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，lg10N可简记为lg N，lgeN简记为ln N.
考点二 对数与指数的关系
一般地，有对数与指数的关系：
若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔lgaN＝x.
对数恒等式：＝N；lgaax＝x(a>0，且a≠1)．
考点三 对数的性质
1．1的对数为零．
2．底的对数为1.
3．零和负数没有对数．
重难点技巧：对数的运算
考点四一 对数运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)lga(M·N)＝lgaM＋lgaN；(2)lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN；(3)lgaMn＝nlgaM(n∈R)．
考点五 换底公式
1．lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．
2．对数换底公式的重要推论：
(1)lgaN＝eq \f(1,lgNa)(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)；
(2)＝eq \f(m,n)lgab(a>0，且a≠1，b>0)；
(3)lgab·lgbc·lgcd＝lgad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．
【题型归纳】
题型一：指数式与对数式的互化
1．（2022·天津市红桥区教师发展中心高一期末）有以下四个结论：①；②；③ 若，则；④若，则，其中正确的是（ ）
A．①②B．②④
C．①③D．③④
2．（2021·江苏·高一专题练习）已知lga2＝m，lga3＝n，则a2m＋n等于（ ）
A．5B．7C．10D．12
3．（2021·全国·高一单元测试）将（且）转化为对数形式，其中错误的是（ ）
A．；B．；
C．；D．．
题型二：对数运算
4．（2022·江苏省江浦高级中学高一期中）设，，则=（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·江苏淮安·高一期中）下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·陕西咸阳·高一期末）已知，则等于（ ）
A．1B．2C．3D．6
题型三：对数的性质应用
7．（2022·江苏·南京师大附中高一期中）设，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·河北保定·高一期末）函数的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
9．（2022·湖南·高一）下列各等式正确的为（ ）
A．B．
C．D．（，，）
题型四：、对数换底公式的应用
10．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
11．（2021·湖北黄石·高一期中）若实数a，b满足，，则（ ）．
A．B．C．D．
12．（2021·全国·高一课时练习）证明：
（1）；
（2）.
题型五：对数运算的综合
13．（2022·江苏·南京师大附中高一期中）化简求值（需要写出计算过程）
(1)若，，求的值；
(2)．
14．（2022·全国·高一单元测试）计算
(1)
(2).
15．（2022·全国·高一）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【双基达标】
一、单选题
16．（2022·江苏省射阳中学高一期中）1614年纳皮尔在研究天文学的过程中，为了简化计算面发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1707年欧拉发现了指数与对数的互逆关系，对数源于指数，对数的发明先于指数，这已成为历史珍闻. ，，，估计的值约为（ ）
A．0.1654B．0.2314C．0.3055D．0.4897
17．（2022·河南南阳·高一期中）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A．B．C．D．
18．（2022·江苏·高一单元测试）已知，均为正实数，若，，则（ ）
A．或2B．C．D．1
19．（2022·全国·）若，则实数的值为（ ）
A．4B．6C．9D．12
20．（2022·全国·高一）若，则的最大值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
21．（2022·全国·高一课时练习）计算：
(1)；(2)．
22．（2022·全国·高一专题练习）解下列不等式：
(1)；(2)；
【高分突破】
一：单选题
23．（2022·全国·高一单元测试）已知，，则（ ）
A．1B．2C．5D．4
24．（2022·全国·高一课时练习）化简的值为（ ）
A．B．C．D．-1
25．（2022·云南昆明·高一期末）已知函数，则（ ）
A．B．C．1D．3
26．（2022·全国·高一单元测试）计算：（ ）
A．0B．1C．2D．3
27．（2022·浙江衢州·高一阶段练习）已知函数，若、，，则（ ）
A．B．C．D．
28．（2022·江苏省镇江中学高一期中）如果关于的方程的两根分别是，，则的值是（ ）
A．B．C．D．15
29．（2022·山西·榆次一中高一开学考试）下列命题错误的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
二、多选题
30．（2022·江苏淮安·高一期中）已知正实数a，b满足，且，则的值可以为（ ）
A．2B．3C．4D．5
31．（2022·江苏省如皋中学高一阶段练习）已知，，则的值不可能是（ ）
A．B．C．D．
32．（2022·全国·高一单元测试）下列运算中正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．
33．（2022·全国·高一单元测试）若，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
34．（2022·广东汕头·高一期末）若、、均能满足使得下面式子有意义，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
35．（2022·江苏·句容碧桂园学校高一期中）下列各式正确的是（ ）
A．设，则
B．已知，则
C．若，则
D．
36．（2021·吉林油田高级中学高一期中）若，，且，，则下列等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
37．（2022·上海市大同中学高一期中）已知，，则可以用，表示为___________.
38．（2022·江苏省江浦高级中学高一期中）已知，且，则的最小值为___________.
39．（2022·上海大学市北附属中学高一期中）设，，则用，表示_______.
40．（2022·江苏·南京市第五高级中学高一阶段练习）若，则的最小值为________．
41．（2022·全国·高一单元测试）化简____________
42．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则的值为________．
四、解答题
43．（2022·全国·高一课时练习）已知，（，且）．
(1)求的值；
(2)若，，且，求的值．
44．（2022·全国·高一课时练习）(1)；
(2)．
45．（2022·辽宁·东港市第二中学高一开学考试）已知，，计算下列式子的值：
(1)；
(2).
46．（2022·湖南·高一课时练习）用，，，，表示下列各式：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．
47．（2022·江苏南京·高一期末）已知，且．
(1)若，求的值；
(2)求的最小值．
48．（2022·内蒙古·阿拉善盟第一中学高一期中）计算
(1)
(2)
【答案详解】
1．A
【分析】根据对数的定义即可求得答案.
【详解】由对数定义可知，，①正确；，②正确；
对③，，错误；对④，，错误.
故选：A.
2．D
【分析】对数式改写为指数式，再由幂的运算法则计算．
【详解】解：∵am＝2，an＝3，∴a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝12．
故选：D．
3．D
【分析】根据对数式与指数式的关系可得答案.
【详解】根据对数式与指数式的关系，
若，则，即，所以A正确；
若，则，即，所以B正确；
若，则，即，所以C正确；
由得，与已知不等，所以D错误.
故选：D.
4．D
【分析】根据对数的运算，化简为，即可得答案.
【详解】由题意知，，
则，
故选：D
5．A
【分析】根据对数的运算法则及性质判断即可.
【详解】解：对于A：，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D错误；
故选：A
6．A
【分析】利用对数和指数互化，可得，，再利用即可求解.
【详解】由得：，，
所以，
故选：A
7．C
【分析】观察所求结构知把放到对数的真数部分作指数即可求解．
【详解】解：，
故选：C．
8．D
【分析】根据对数的运算法则，化简可得，分析即可得答案.
【详解】由题意得，
当时，的最小值为.
故选：D
9．D
【分析】根据对数的运算性质判断各选项等式两边是否相等即可.
【详解】A：，错误；
B：，错误；
C：当x，y均为负数时，等式右边无意义，错误；
D：且，，，正确.
故选：D
10．D
【分析】利用对数的运算法则及性质进行运算可得答案．
【详解】因为，，所以
．
故选：D.
11．C
【分析】根据对数的运算性质，结合基本不等式可证明 ，由此可证明，再构造函数，证明其值小于零，进而结合指数函数的单调性证明，可得答案.
【详解】因为，所以,
即 ，故，即，故 ，
令 ，则，
故
，
即有，所以，
即，即，故 ，
故，
故选：C.
12．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【解析】利用换底公式及对数的性质即可证明
【详解】证明：（1）.
故.
（2），
【点睛】本题考查换底公式及对数的性质的应用，属于基础题.
13．(1)
(2)
【分析】（1）先取对数将表示出来，代入计算即可；（2）直接计算即可.
【详解】（1），，得
（2）原式
14．(1)
(2)
【分析】（1）根据对数的运算性质求解，
（2）根据对数的运算性质和换底公式求解.
（1）
；
（2）
原式＝.
15．(1)0
(2)3
(3)1
【分析】（1）利用对数相加相减的运算法则求解即可；
（2）提公因式，逐步化简即可求解；
（3）逐步将原式化成只含和形式.
（1）
方法一：（直接运算）原式．
方法二：（拆项后运算）原式
．
（2）
原式
．
（3）
原式
．
16．C
【分析】根据指数与对数式的互化，可得x的表达式，利用对数运算，结合已知可求得答案.
【详解】由可得，即,
故选：C.
17．A
【分析】根据指数函数单调性及对数的运算性质即得.
【详解】因为，，，
所以.
故选：A.
18．A
【分析】由换元法解出，再与方程联立求解
【详解】令，则，所以，即，
解得或，即或，所以或，
因为，代入得或，
所以，或，，
所以或.
故选：A
19．A
【分析】由换底公式对原式变型即可求解.
【详解】∵
,
∴，∴．
故选：A．
20．D
【分析】化简，求得关于与的等式，结合二次函数的性质求得的最大值.
【详解】对等号两边同时取对数，得，
即，令，则，
所以，
即的最大值是4（此时，对应）.
故选：D
21．(1)7
(2)
【分析】（1）利用对数的运算性质进行运算可得答案；
（2）利用对数的运算性质进行运算可得答案.
（1）
原式；
（2）
原式．
22．(1)
(2)
【分析】（1）、（2）结合对数函数的定义与性质、对数运算求得不等式的解集.
（1）
由题且，且，得且，
，则，由，
，
化简得，
则或，解得或，
故不等式解集为.
（2）
由题，
则或，解得.
故不等式解集为.
23．A
【分析】先求得，然后结合对数运算求得正确答案.
【详解】∵，，∴，，
．
故选：A
24．A
【分析】运用对数的运算性质即可求解.
【详解】解析：
故选：A.
25．C
【分析】根据分段函数的解析式，先求出的值，再求的值．
【详解】因为，所以，
，则.
故选：C．
26．B
【分析】根据指数对数恒等式及对数的运算法则计算可得；
【详解】解：
；
故选：B
27．B
【分析】计算出，可得出，由此可得出结果.
【详解】，，则，，
因为
，
因为，则，
因此，.
故选：B.
28．C
【分析】对原方程分解因式，求得两根，再求结果即可.
【详解】原方程等价于
因式分解得：，
所以，，
所以方程的两根分别为，，所以.
故选：.
29．A
【分析】根据对数运算性质可知A错误，C正确；由知B正确；根据对数恒等式知D正确
【详解】对于A，，不恒成立，原式不恒成立，A错误；
对于B，当时，，，
，，，B正确；
对于C，由对数运算性质知：，C正确；
对于D，由对数恒等式知：，D正确.
故选：A.
30．CD
【分析】指数式化为对数式，得到，利用对数运算法则和换底公式得到，从而求出或2，分两种情况求出与，进而求出的值.
【详解】因为，所以，
故，
设，则，
故，解得：或2，
当时，，故，，故；
当时，，故，，故
故选：CD
31．ABD
【分析】利用对数运算的公式计算即可.
【详解】由换底公式得：，，，
其中，，故
故选：ABD.
32．BD
【分析】根据换底公式判断A，将根式化成分数指数幂，再根据幂的运算法则计算B，根据指数幂的运算法则判断C，根据对数的性质判断D.
【详解】解：对于选项A，由换底公式可得，故A不正确；
对于选项B，，故B正确；
对于选项C，设，两边分别平方可得，因为，所以，故，故C不正确；
对于选项D，，故D正确．
故选：BD．
33．AB
【分析】根据对数运算求得正确答案.
【详解】依题意，
由，得，
所以，且，
即，．
故选：AB
34．ACD
【分析】根据指数幂和对数的运算性质逐项运算可得答案.
【详解】对于A， ，正确；
对于B，，错误；
对于C，，故正确；
对于D，因为，所以，即，故正确.
故选：ACD.
35．ABC
【分析】根据指数运算法则和对数运算法则即可判断答案.
【详解】对于A，，故A对；
对于B，，故B对；
对于C，，，，故C对；
对于D，，故D错．
故选：ABC．
36．BD
【分析】根据指数幂、对数的运算法则判断选项求解.
【详解】，故A错误；
，故B正确；
，故C错误．
根据指数运算公式可知D选项正确，
故选：BD
37．
【分析】利用对数的运算性质和换底公式计算即可.
【详解】由，得，
因为，
所以
，
故答案为：.
38．3
【分析】由条件得.后利用基本不等式可得答案.
【详解】由题，则，得.
又.则.
当且仅当时取等号.
故答案为:
39．
【分析】根据对数的运算性质计算可得.
【详解】解：因为，，
所以
；
故答案为：
40．16
【分析】由题得，再利用基本不等式求解.
【详解】因为，
所以.
所以
所以.
当且仅当时取等.
故答案为：16
41．2
【分析】结合、换底公式化简计算即可
【详解】原式
.
故答案为：2.
42．2022
【分析】化简计算得，即得解.
【详解】解：.
.
所以
故答案为：2022
43．(1)12
(2)
【分析】（1）根据指数与对数的关系将对数式化为指数式，再根据指数的运算法则计算可得；
（2）根据对数的运算求出，再根据乘法公式求出，即可得解.
（1）
解：由，得，，
因此．
（2）
解：∵，∴，即，因此，
于是，
由知，从而，
∴．
44．(1)2；(2)4.
【分析】(1)将展开再根据对数的运算求解；
(2)根据对数的运算求解即可.
【详解】解:(1)原式
．
(2)原式
．
45．(1)
(2)
【分析】（1）根据指数的运算化简求值即可；
（2）根据对数的运算性质及换底公式求解即可.
(1)
由可得，
.
(2)
,
,
.
46．(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6).
【分析】应用对数的运算性质，将各式化为题设给定对数式的加减形式，即可得结果.
(1)
.
(2)
.
(3)
.
(4)
.
(5)
.
(6)
.
47．(1)或2
(2)
【分析】（1）由对数的运算得，解方程可得答案；
（2）由得，解不等式得，根据可得答案.
(1)
由题意，，即，解得或2．
(2)
因为，所以，
所以，
因此，即，
解得或，
因为，所以，
故，
当时取等号，
所以的最小值为．
48．(1)
(2)1
【分析】（1）以对数运算规则去计算即可解决；
（2）以对数换底公式去计算即可解决.
(1)
(2)