高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2.1 三角函数的概念课堂检测

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.2.1 三角函数的概念课堂检测，共27页。
大重点：三角函数的概念
考点一：任意角的三角函数的定义
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，
点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y；点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cs α，即cs α＝x；把点P的纵坐标与横坐标的比值eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，分别记为：
正弦函数y＝sin x，x∈R；
余弦函数y＝cs x，x∈R；
正切函数y＝tan x，x≠eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)．
考点二：正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
1．图示：
2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
考点三：公式一
sin(α＋2kπ)＝sin α，cs(α＋2kπ)＝cs α，tan(α＋2kπ)＝tan α，
其中k∈Z.终边相同的角的同一三角函数的值相等．
大重点：同角三角函数的基本关系
考点四：同角三角函数的基本关系
1．平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cs2α＝1.
2．商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即eq \f(sin α,cs α)＝tan α其中α≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)．
【题型归纳】
题型一：由定义或者终边求某角三角函数
1．（2022·浙江大学附属中学高一期末）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·辽宁省康平县高级中学高一阶段练习）如果角的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·北京·高一期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
题型二：由单位圆求三角函数值
4．（2022·全国·高一课时练习）已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·吉林·长春外国语学校高一期末）已知角的终边与单位圆交于点，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2020·江西吉安·高一期末）已知角的终边与单位圆交于点，则
A．B．或C．或D．
题型三：三角函数值符号的确定
7．（2022·江西省万载中学高一期中）设，如果且，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022·北京八中高一期中）设是第一象限的角，且，则所在的象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．（2022·陕西汉中·高一期中）若，且，则是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
题型四：平方关系（sin θ±cs θ型求值）
10．（2022·河南驻马店·高一期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·贵州·凯里一中高一期中）若，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·陕西汉中·高一期中）已知，且为第四象限角，则（ ）
A．B．C．D．
题型六：正余弦齐次式计算问题
13．（2022·江西·高一期中）已知，则（ ）
A．B．C．D．
14．（2022·陕西渭南·高一期末）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
15．（2022·辽宁沈阳·高一期中）已知，则的值为（ ）
A．B．C．6D．
题型七：化简求值
16．（2022·江西九江·高一期末）化简：（是第二、三象限角）（ ）
A．B．C．D．
17．（2022·宁夏·银川二中高一期末）（1）已知，求的值；
（2）已知，且，求的值.
18．（2022·辽宁·大连二十四中高一期中）已知，.
(1)求的值.(2)求的值.(3)求的值.
题型八：恒等式的证明
19．（2021·全国·高一）求证：
(1)(2)
20．（2021·江苏·高一）证明下列恒等式：
（1）；
（2）.
21．（2021·全国·高一）
（1）化简：.
（2）求证：.
【双基达标】
一、单选题
22．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
23．（2022·江西省万载中学高一）已知角终边过点，则的值为（ ）
A．B．C．–D．–
24．（2022·全国·高一）已知，则（ ）
A．B．C．D．
25．（2022·全国·高一）已知角的终边经过点，则的值为（ ）
A．B．1C．2D．3
26．（2022·陕西渭南·高一期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
27．（2022·全国·高一）若，则的值是（ ）
A．B．C．D．
28．（2022·甘肃兰州·高一期中）已知，则（ ）
A．B．C．D．
29．（2022·上海市仙霞高级中学高一期中）已知是第四象限的角，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
30．（2022·安徽省舒城中学高一）化简
(1)(2)(3)
31．（2022·河北·沧县中学高一）如图，在平面直角坐标系中，已知角的终边与单位圆（半径为1的圆）的交点为，将角的终边按逆时针方向旋转后得到角的终边，记的终边与单位圆的交点为Q．
(1)若，，求角的值；
(2)若，求tan的值．
【高分突破】
单选题
32．（2022·上海市徐汇中学高一阶段练习）由，求得，下列说法中，正确的是( )
A．当在一､二象限时，取正号，当在三､四象限时，取负号
B．当在一､四象限时，取正号，当在二､三象限时，取负号
C．当在一､三象限时，取正号，当在二､四象限时，取负号
D．仅当在第一象限时，取正号
33．（2022·浙江·温州市第八高级中学高一期中）已知角以坐标原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，终边经过点，且，则实数的值是（ ）
A．2B．C．D．
34．（2022·全国·高一）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
35．（2022·广西钦州·高一期末）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
36．（2022·江西·南昌县莲塘第一中学高一期中）下列说法正确的是（ ）
A．若的终边上的一点坐标为（），则
B．若是第一象限角，则是第一或第三象限角
C．若，，则
D．对，恒成立
37．（2022·海南鑫源高级中学高一期末）若，则正确的结论为（ ）
A．B．
C．D．
38．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
39．（2021·黑龙江·大庆实验中学高一期中）下列计算或化简结果正确的是（ ）
A．若，B．若，则
C．若，则D．若为第二象限角，则
40．（2022·黑龙江·大庆中学高一开学考试）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
41．（2021·全国·高一课时练习）下列计算或化简结果正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若为第一象限角，则
三、填空题
42．（2022·上海市文建中学高一期中）已知，，则___________.
43．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则______．
44．（2022·全国·高）若，且，则___________.
45．（2022·湖北·安陆第一高中高一）已知角的终边经过点，的值是____________．
46．（2022·上海南汇中学高一）已知，则的值为_____．
47．（2022·上海市奉贤区奉城高级中学高一）化简：若，则____________.
四、解答题
48．（2022·全国·高一课时练习）已知关于的方程的两个根为，，，求：
(1)的值；(2)方程的两根及此时的值．
49．（2021·福建·莆田第四中学高一阶段练习）（1）已知求的值；
（2）已知，且β为第四象限角，求的值.
50．（2022·安徽·高一期中）李明回答解答“若，求的值”的过程如下：
试类比上述解法，求当时，下列各式的值：
(1)
(2)
(3)
(4)
51．（2022·河北省唐县第一中学高一阶段练习）已知．求
(1)的值；
(2)的值．
52．（2022·上海财经大学附属北郊高级中学高一阶段练习）已知角终边上一点的坐标为．
(1)化简下列式子并求其值：；
(2)求角的集合．
【答案详解】
1．B
【分析】用三角函数值的定义去求.
【详解】已知点，则，则.
故选：B
2．D
【分析】先算点P坐标，然后由三角函数定义可得.
【详解】由题可得，
因为
所以.
故选：D
3．D
【分析】根据正弦函数的定义即可求出.
【详解】根据正弦函数的定义可得.
故选：D.
4．C
【分析】根据三角函数的定义即可求出．
【详解】因为角的终边与单位圆交于点，
所以根据三角函数的定义可知，．
故选：C．
5．B
【详解】的终边与单位圆交于点,
故 ，
故，
所以，
故选：B.
6．C
【解析】由三角函数的定义进行求解，注意两解的情况.
【详解】根据三角函数的定义，，
由同角三角函数关系得：；
当，代入解得
；
当，代入解得
.
综上所述，原式等于或.
故选：C.
【点睛】本题考查三角函数的定义，属基础题.
7．D
【分析】根据三角函数在各象限符号判断．
【详解】，
，则，所以，
，则，所以．
故选：D．
8．A
【分析】由的范围进而得出的范围，结合即可得出结果.
【详解】因为是第一象限的角，所以，
所以，即为第一或第三象限角，
又因为，即，所以所在的象限是第一象限，
故选：A.
9．D
【分析】根据已知得到，且，即得解.
【详解】解：因为，，所以，且，
故a是第四象限角．
故选：D
10．A
【分析】根据已知结合求得即可求出.
【详解】因为，，
则可解得，所以.
故选：A.
11．A
【分析】求出，再利用平方关系和商数关系求解.
【详解】解：由得，∴或，
因为，，所以.
由及得，∴，
所以．
故选：A
12．D
【分析】直接利用计算即可.
【详解】因为为第四象限角
所以．
故选：D.
13．D
【分析】根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；
【详解】解：因为，所以，
故选：D.
14．D
【分析】由，得，再由,可得，即可得结果.
【详解】因为，所以，解得．
又因为，，所以．，，
所以．
故选：D
15．B
【分析】根据题意，求得，得到，化简，代入即可求解.
【详解】由，可得，可得，
又由.
故选：B.
16．C
【分析】利用同角三角函数的基本关系式化简所求表达式，由此得出正确选项．
【详解】．
当是第二、第三象限角时， 原式．
故选：C．
17．（1）；（2）.
【分析】（1）先求出，再进行弦化切代入即可求解；（2）先求出，，得到，再进行诱导公式和弦化切变换，代入即可求解.
【详解】（1）由知
原式=
（2）
又
原式===
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将已知平方结合平方关系即可得解；
（2）由（1），可得，则，从而可得出答案；
（3）根据结合正余弦得符号去掉根号，化简，从而可求出答案.
(1)
解：因为，
所以，
所以；
(2)
解：因为，，
所以，
所以；
(3)
解：由（2）得，
则
.
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据同角的三角函数关系进行转化证明即可．
（1）根据同角的三角函数关系进行转化证明即可．
(1)
左边右边.
即证.
(2)
左边
右边.
即证：.
20．（1）答案见详解；（2）答案见详解.
【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系即可证明.
（2）利用同角三角函数的平方关系、商的关系即可证明.
【详解】（1），即证.
（2）
，即证.
21．（1）（2）证明见解析
【分析】（1）切化弦，利用化简可得结果；
（2）根据变形可证结论.
【详解】（1）原式
.
（2）证明：因为
，
所以.
【点睛】本题考查了利用同角公式进行化简、证明恒等式，属于基础题.
22．D
【分析】由同角三角函数的基本关系求解
【详解】由题意得，则，
故选：D
23．A
【分析】根据三角函数的定义计算可得.
【详解】由题意得，点到原点的距离，
所以根据三角函数的定义可知，，
所以.
故选：A．
24．C
【分析】利用齐次化可求三角函数式的值.
【详解】，
故选：C．
25．A
【分析】由三角函数的定义可得，，，将其代入即可求解.
【详解】由，得，，，代入原式得．
故选：A
26．B
【分析】先由求出，再由，即可求出结果.
【详解】因为，
所以，即，
所以，
因此.
故选:B
27．A
【分析】利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；
【详解】解：因为，
所以
.
故选：A
28．A
【分析】在所求代数式上除以，利用弦化切可求得所求代数式的值.
【详解】因为，则，
原式
.
故选：A.
29．D
【分析】利用同角三角函数基本关系式，化简求值.
【详解】原式

，
因为是第四象限的角，所以，
所以原式化简的结果是.
故选：D
30．(1)1；
(2)1；
(3)0.
【分析】根据同角关系式化简即得.
（1）
；
（2）
；
（3）
.
31．(1)
(2)
【分析】（1）当时，得到，结合三角函数的定义求得，即可求解；
（2）由，结合题意得到，利用三角函数的基本关系式，得出，联立方程组，即可求解.
（1）
解：当时，即角的终边与单位圆（半径为1的圆）的交点为，
根据三角函数的定义可得，
因为，所以，
（2）
解：因为，所以，
即①，平方得，且，
因为，所以，
则②，
由①②得，则.
32．B
【分析】根据任意角三角函数的定义即可判断.
【详解】当终边在第一象限时，tanα＝t＞0，sinα＞0，故在中取正号；
当终边在第二象限时，tanα＝t＜0，sinα＞0，故在中取负号；
当终边在第三象限时，tanα＝t＞0，sinα＜0，故在中取负号；
当终边在第四象限时，tanα＝t＜0，sinα＜0，故在中取正号；
故选：B.
33．A
【分析】根据三角函数的定义求解即可.
【详解】由题意有，解得或，
由于，则，所以满足题意.
故选：A
34．A
【分析】设大正方形的边长为a，则小正方形的边长为，根据已知可得，由同角三角函数关系化简得，结合角的范围求.
【详解】设大正方形的边长为a，则小正方形的边长为，
故，故，即，解得或.
因为，则，故.
故选：A
35．ABD
【分析】考虑角 所在的象限，以及同角关系和题目所给的条件即可.
【详解】由 …①，以及 ，
对等式①两边取平方得 ， …②，
，，由②， ，
由①② ， 可以看作是一元二次方程 的两个根，
解得 ， ，
故A正确，B正确，C错误，D正确；
故选：ABD.
36．BC
【分析】A选项，利用三角函数定义求解余弦值；B选项，利用象限角范围进行求解；C选项，对平方后得到，进而得到；D选项，，，从而作出判断.
【详解】若，此时，故A错误；
若是第一象限角，则，，所以，，当为奇数时，此时是第三象限角，当为偶数时，此时是第一象限角，故B正确；
，两边平方得：，则，因为，所以，故，C正确；
，，故D错误.
故选：BC
37．AC
【分析】结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【详解】依题意，，
，所以，
将代入得，，
所以AC选项正确，BD选项错误.
故选：AC
38．ACD
【分析】根据，化弦为切，求得，再根据，求得，，再根据化弦为切即可求出答案，化弦为切可得出答案.
【详解】解：因为，所以，解得，故A正确；
又因为，，所以，，，
所以，故B错误；
，故C正确；
，故D正确.
故选：ACD.
39．AB
【分析】利用，结合三角函数在各个象限的符号，逐项进行化简、求值即得.
【详解】对于A选项：，，故A正确；
对于B选项：，则，故B正确；
对于C选项：∵范围不确定，∴的符号不确定，故C错误；
对于D选项：为第二象限角， ,,故D错误.
故选：AB.
40．ACD
【分析】由的范围以及可判断，，根据符号规律可判断A选项；对两边平方，利用同角关系化简可得的值，由，求出的值，可判断选项D，与已知联立，求出，进而求出，则可判断B，C两选项的正误.
【详解】因为，所以，
又，所以，
所以可得，A符合题意；
又，则，
可得，
所以，D符合题意；
由加减法联立解得，，，B错误；
所以，C符合题意；
故选：ACD.
41．ABD
【分析】对于A、B选项：将代入化简求值即可，验证是否正确；
对于C选项：将分子分母同除以，再将代入化简，验证是否正确；
对于D选项：先判断的正负，然后化简，验证是否正确；
【详解】对于A选项：，故A选项正确；
对于B选项：，，故B选项正确；
对于C选项：，则,故C选项不正确；
对于D选项：为第一象限角，,,故D选项正确；
故选:ABD
42．
【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得.
【详解】解：因为，，
所以，
所以.
故答案为：
43．
【分析】利用同角三角函数关系求解即可.
【详解】，解得.
因为，，所以.
所以，
又，所以．
故答案为：
44．
【分析】根据题中条件，利用同角三角函数基本关系，先求出，进而求得和，代入所求式子，即可得出结果.
【详解】由得，，即，
所以.
因为，所以，
则，
所以，
因此.
联立解得，
所以.
故答案为：
45．
【分析】先利用三角函数的定义求出，再进行弦化切，代入求解.
【详解】因为角的终边经过点，所以.
所以.
故答案为：
46．##
【分析】把给定等式两边平方求出，判断，的符号，再借助同角公式计算作答.
【详解】因，则，即，
而，，于是有，
所以.
故答案为：
47．
【分析】根据，将原式化简为，根据，去掉绝对值符号即可.
【详解】
因为，所以，，且
所以原式
故答案为：.
48．(1)
(2)两根分别为，，或
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系化简，再根据韦达定理求值即可；
（2）利用解出，再解一元二次方程即可.
（1）
.
（2）
由（1）得，
所以，解得，
所以方程的两根为，
又因为，
所以，此时；或，此时．
49．（1）-1；（2）
【分析】（1）先求出，进而由，将所求的式子化为二次齐次式，进而得到含的式子，从而得解
（2）由，结合角的范围可得解.
【详解】（1）由，得，
所以，
.
（2），
所以，
又为第四象限角，所以，
所以.
50．(1)
(2)
(3)1
(4)
【分析】利用“1”的代换和弦切互化法可一一求出（1）（2）（3）（4）中三角函数式的值.
(1)
原式．
(2)
原式．
(3)
原式．
(4)
原式．
51．(1)；
(2).
【分析】（1）根据已知利用商数关系化弦为切即可得出答案；
（2）利用平方关系和商数关系化弦为切即可得出答案.
（1）
∵tan α＝2，
∴原式=；
（2）
原式.
52．(1)
(2)
【分析】（1）先化简，再由三角函数的定义直接求值；
（2）利用角的定义及终边相同的角的表示即可求解.
(1)
.
因为角终边上一点的坐标为，
所以,所以.
所以.
(2)
因为角终边上一点的坐标为，所以角终边在第四象限，且角终边与x轴正方向的夹角为，所以.
所以角的集合为.