高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式复习练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式复习练习题，共31页。

考点一：公式一
1．角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．
2．公式：
sin(π＋α)＝－sin α，
cs(π＋α)＝－cs α，
tan(π＋α)＝tan α.
考点二：公式三
1．角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．
2．公式：
sin(－α)＝－sin α，
cs(－α)＝cs α，
tan(－α)＝－tan α.
考点三：公式四
1．角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．
2．公式：
sin(π－α)＝sin α，
cs(π－α)＝－cs α，
tan(π－α)＝－tan α.
考点四：公式五
1．角eq \f(π,2)－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图所示．
2．公式：
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝cs α，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sin α.
考点五：公式六
1．公式：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cs α，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin α.
2．公式五与公式六中角的联系eq \f(π,2)＋α＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)).
大重点：诱导公式规律总结
1.明确各诱导公式的作用
2.诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.
用诱导公式化简求值的方法
(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．
(2)对于π±α和eq \f(π,2)±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名．
【题型归纳】
题型一：诱导公式一的应用
1．（2022·河南南阳·高一期中）（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高一）已知.
(1)若角是第三象限角，且，求的值；
(2)若，求的值.
3．（2022·四川成都·高一期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点A，已知点A的纵坐标为.
(1)求的值；(2)求的值.
题型二：诱导公式二、三、四应用
4．（2022·全国·高一）求下列角的三角函数值：
(1)cs()(2)sin()(3)tan(4)sin()
5．（2022·河南平顶山·高一期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点．
(1)求，；(2)求的值．
6．（2022·河南·永城市苗桥乡重点中学高一期末）已知，．
(1)求，的值；(2)求的值．
题型三：：诱导公式五、六应用
7．（2022·陕西渭南·高一期末）已知.
(1)化简；(2)若，求的值.
8．（2022·福建省福州第一中学高一期末）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点，且.
(1)求实数的值；(2)若，求的值.
9．（2022·安徽·泾县中学高一阶段练习）化简求值：
(1)已知，求的值；
(2)．
10．（2022·山东东营·高一期中）已知角满足
(1)若角是第三象限角，求的值;
(2)若，求的值.
11．（2022·西藏拉萨·高一期末）已知为第三象限角，且．
(1)化简；(2)若，求的值．
（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）
（1）化简；
（2）已知关于的方程的两根为和，.求实数以及的值.
题型五：利用诱导公式证明恒等式
13．（2021·全国·高一课时练习）（1）求证：；
（2）设，求证.
14．（2021·全国·高一专题练习）（1）已知是第二象限角，且，求的值；
（2）已知，求证：．
15．（2019·全国·高一课时练习）求证：．
题型六：正切函数的诱导公式的应用
16．（2022·辽宁·东港市第二中学高一期中）的值为（ ）
A．B．C．D．
17．（2022·河北·石家庄市第十五中学高一开学考试）化简求值：
（1）；
（2）．
18．（2021·北京市第五中学通州校区高一阶段练习）已知是方程的根，且是第三象限角，求的值.
题型七：诱导公式的综合应用问题
19．（2022·陕西·武功县普集高级中学高一阶段练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点.
（1）求，；
（2）求的值.
20．（2020·浙江·高一单元测试）已知
（1）化简；
（2）若且求的值；
（3）求满足的的取值集合.
21．（2022·湖北·武汉市第十四中学高一期末）（1）已知方程，的值．
（2）已知是关于的方程的两个实根，且，求的值．
【双基达标】
单选题
22．（2021·北京·北师大二附中未来科技城学校高一期中）已知sin＝ ，则cs (π＋α)的值为( )
A．B．－C．D．－
23．（2021·江西·横峰中学高一阶段练习（理））设，则（ ）
A．B．C．3D．2
24．（2019·四川·三台中学高一阶段练习）若，且，则
A．B．C．D．
25．（2021·甘肃·天水市第一中学高一期末）（ ）
A．B．C．D．
26．（2018·陕西·渭南市尚德中学高一期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
27．（2021·全国·高一课时练习）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则（ ）
A．B．C．D．
28．（2021·全国·高一专题练习）已知，则（ ）
A．B．1C．D．5
29．（2022·陕西·西安高新第三中学高一开学考试）化简:
（1）设，求.
（2）已知，求.
30．（2022·辽宁·鞍山市华育高级中学高一期中）已知.
（1）化简；
（2）若，且，求的值
【高分突破】
一、单选题
31．（2021·全国·高一）已知，则（ ）
A．3B．C．D．
32．（2022·全国·高一）已知角、、为的三个内角，若，则一定是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰或直角三角形
33．（2021·全国·高一专题练习）若是方程的一个根，则（ ）
A．B．C．D．
34．（2022·全国·高一课时练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．2
二、多选题
35．（2022·全国·高一课时练习）若，则（ ）
A．B．
C．D．
36．（2021·全国·高一专题练习）下列化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
E．若，则
37．（2021·全国·高一专题练习）已知A（k∈Z），则A的值可以是（ ）
A．3B．﹣3C．1D．﹣1
38．（2021·全国·高一课时练习）下列化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．若，则
39．（2021·全国·高一专题练习）下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
40．（2021·江苏江苏·高一期末）下列判断或计算正确的是（ ）
A．，使得B．
C．D．
三、填空题
41．（2021·江苏·高一专题练习）已知，且，则的值是_________.
42．（2022·上海·华师大二附中高一期中）已知，且，则______.
43．（2020·浙江宁波·高一期末）已知为第四象限角,化简,________.
44．（2021·全国·高一课时练习）已知函数的图像恒过点定，若角终边经过点，则___________．
45．（2022·甘肃·高台县第一中学高一）已知sinα＋2csα＝0，则2sinαcsα－cs2α的值是______________.
46．（2021·全国·高一）已知α为第二象限角，化简=________
四、解答题
47．（2022·全国·高一课时练习）已知．
（1）化简；
（2）若 是第三象限角，且，求的值．
48．（2020·全国·高一课时练习）已知.
(1)化简；
(2)若是第三象限角，且，求的值.
49．（2020·山东·济宁市第二中学高一阶段练习）已知是第三象限角， .
（1）化简；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值.
50．（2021·全国·高一专题练习）已知.
（1）化简；
（2）若为第三象限角，且，求的值；
（3），求的值.
51．（2021·江苏·高一单元测试）已知.
(1)化简；
(2)若，求的值.
诱导公式
作用
公式一
将角转化为0～2π之间的角求值
公式二
将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值
公式三
将负角转化为正角求值
公式四
将角转化为0～eq \f(π,2)之间的角求值
【答案详解】
1．B
【分析】根据诱导公式一可求出结果.
【详解】.
故选：B
2．(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式化简，由已知利用诱导公式及同角三角函数基本关系式求得，则答案可求；
（2）由，再由诱导公式求得求的值．
（1）
解：.
因为，所以，
又角是第三象限角，所以，
所以.
（2）
解：因为，所以.
3．(1)
(2)
【分析】（1）根据点A的纵坐标，可求得点A的横坐标，根据正切函数的定义，即可得答案.
（2）利用诱导公式进行化简，结合（1）即可得答案.
(1)
因为点A的纵坐标为，且点A在第二象限，
所以点A的横坐标为，
所以；
(2)
由诱导公式可得：.
4．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】利用诱导公式化简求值.
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
.
5．(1)
(2)1
【分析】（1）根据三角函数的定义，计算即可得答案.
（2）根据诱导公式，整理化简，代入，的值，即可得答案.
(1)
因为角终边经过点，
所以，．
(2)
原式．
6．(1)，
(2)
【分析】（1）首先利用诱导公式得到，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；
（2）利用诱导公式化简，再将弦化切，最后代入求值即可；
(1)
解：因为，，所以，又解得或，因为，所以
(2)
解：
7．(1)
(2)
【分析】（1）根据诱导公式化简即可；
（2）由题知，进而根据同角三角函数关系求解即可.
(1)
解：由题意得
(2)
解：∵，∴.
∴为第一或第二象限角，
∴，
∴
8．(1)或
(2)
【分析】（1）利用三角函数的定义可求的值.
（2）利用诱导公式可求三角函数式的值.
(1)
由题意可得，
所以，整理得，
解得或.
(2)
因为，所以由（1）可得，
所以，
所以.
9．(1)
(2)
【分析】（1）先用诱导公式化简，再用同角三角函数的平方关系求解；
（2）先用诱导公式化简，再代入特殊三角函数值计算即可.
(1)
；
(2)
．
10．(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）根据同角三角函数关系，求得，即可求得结果；
（2）利用诱导公式化简，根据（1）中所求，即可求得结果.
【详解】（1）由题意和同角三角函数基本关系式，有，
消去得，解得或
因为角是第三象限角，所以，，
（2），
当角是第一象限角时，，
当角是第三象限角时，，
11．(1)
(2)
【分析】（1）根据诱导公式化简即可；
（2）利用三角函数平方关系，结合角的象限，计算即可.
（1）
（2）
∵，
∴
又为第三象限角，
∴
12．（1）；（2），
【分析】（1）利用诱导公式化简即可；
（2）利用韦达定理得到，，再将两边平方即可求出，最后由求出.
【详解】解：（1）
，
即.
（2）因为关于的方程的两根为和，
所以，，
所以，所以，
因为，所以，且，所以，
13．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）（2）应用诱导公式化简等式中结构复杂的一侧，即可证结论.
【详解】（1）左边= =右边，所以原等式成立.
（2）方法1：左边= ===右边，所以原等式成立.
方法2：由，得，
所以，等式左边= ===右边，等式成立.
14．（1）；（2）证明见解析
【分析】（1）由诱导公式可将化为，再由得到，进一步得到，代入即可；
（2）因为，再结合即可得到证明.
【详解】解：（1）原式．
∵，∴．
又∵a是第二象限角，∴．
∴原式．
（2）证明
．
∴．
【点晴】本题主要考查三角函数诱导公式的应用，考查学生基本计算能力，是一道容易题.
15．证明见解析
【分析】直接利用诱导公式化简左边即得证明.
【详解】证明：左边
=
右边，
所以原式或立．
【点睛】本题主要考查诱导公式化简证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
16．A
【分析】利用正切函数的诱导公式即可求解.
【详解】解：.
故选：A.
17．（1）1；（2）．
【分析】（1）由诱导公式化简；
（2）由诱导公式化简后再计算．
【详解】（1）；
（2）．
18．
【分析】利用是方程的根，且是第三象限角，得到，进而求出，再利用诱导公式对所求式子进行化简即可得到答案.
【详解】方程的根为，是第三象限角，为负，故， ，..
19．（1），；（2）.
【分析】（1）根据三角函数的定义，即可求出结果；
（2）利用诱导公式对原式进行化简，代入，的值，即可求出结果.
【详解】解：（1）因为角的终边经过点，由三角函数的定义知
，
（2）诱导公式，得
.
20．（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）利用诱导公式化简，即可求出；
（2）结合（1）得，利用同角三角函数的关系，结合的范围，即可得答案；
（3）由题意可得，利用三角函数的图像与性质，即可求得的范围.
【详解】（1）；
（2）由（1）可得，则，
，即
；
（3）由题意得，，
，即，
所以的取值集合为.
【点睛】本题考查诱导公式的应用、同角三角函数的关系、三角函数的图像与性质，考查分析理解，求值化简的能力，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题.
21．（1）；（2）
【解析】（1）由已知利用诱导公式化简得到的值，再利用诱导公式化简为含有的形式，代入即可；
（2）由根与系数的关系求出的值，结合的范围求出，进一步求出，即可求的值．
【详解】解：（1）由得：，
即，
，



；
（2），是关于的方程的两个实根，
，
解得：，
又，
，
，
即，
解得：，
，
.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是化弦为切.
22．D
【分析】由诱导公式化简已知式子可求csa，再运用诱导公式对所求化简求值．
【详解】因为sin＝cs ＝，所以cs(π＋α)＝－cs ＝－．
故选D．
【点睛】本题主要考查了运用诱导公式化简求值，属于基础题．
23．D
【解析】利用诱导公式化简，代入可得选项.
【详解】∵，
∴，
故选：D.
24．A
【分析】先求出的值，结合，可得，可求出答案.
【详解】由题意，，则，
由于，则.
故选A.
【点睛】本题考查了三角函数诱导公式的应用，考查了三角函数求值，属于基础题.
25．A
【分析】利用余弦函数的诱导公式，结合特殊角的余弦函数值进行求解即可.
【详解】.
故选：A
26．D
【分析】将变形为，利用诱导公式，即可求得答案.
【详解】由题意得.
故选：D
27．A
【解析】根据任意角三角函数的概念可得出，然后利用诱导公式求解.
【详解】因为角以为始边，且终边与单位圆交于点，
所以，则.
故选：A.
【点睛】当以为始边，已知角终边上一点的坐标为时，则，.
28．D
【分析】利用三角函数诱导公式和齐次式弦化切即可解答。
【详解】由题意，则．
故选：D﹒
29．（1）2；（2）.
【分析】（1）根据诱导公式化简，代入求值即可；
（2）由已知可得，化弦为切，代入求值即可.
【详解】∵，
则
.
（2）依题意得：，
∴，
∴
.
【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，诱导公式，化弦为切的思想，属于中档题.
30．（1）；（2）.
【解析】（1）由诱导公式运算即可得解；
（2）由平方关系可得，再由即可得解.
【详解】（1）由诱导公式；
（2）由可知
，
又∵，∴，即，
∴.
31．B
【分析】根据已知条件求得，再用诱导公式和同角三角函数关系将目标式转化为关于的式子，代值计算即可.
【详解】因为，故可得：.
原式.
故选：B.
32．C
【分析】根据诱导公式以及内角和定理得出，从而判断三角形的形状.
【详解】由可得，，，即，故该三角形一定为等腰三角形.
故选：C
33．B
【解析】根据方程计算得到，化简得到原式，代入数据得到答案.
【详解】方程的两根分别为，，则
∴原式．
故选：
【点睛】本题考查了诱导公式化简，意在考查学生对于三角函数公式的理解和应用.
34．D
【分析】利用诱导公式化简可得的值，再利用弦化切可求得所求代数式的值.
【详解】解：由诱导公式可得，所以，.
因此，.
故选：D.
35．AD
【分析】利用诱导公式分析判断即可
【详解】对于A，因为，所以，所以A正确，
对于B，因为，所以，所以，所以B错误，
对于C，因为，所以，所以C错误，
对于D，因为，所以，所以D正确，
故选：AD
36．ABE
【解析】根据三角函数的诱导公式及同角三角函数关系，对A，B，C，D，E五个选项进行化简即可求出答案.
【详解】对于A，根据三角函数的诱导公式可知，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D错误；
对于E，.
∵
∴，
∴，故E正确.
故选：ABE.
【点睛】本题考查三角函数的诱导公式，同角三角函数间的基本关系，以及三角函数值的符号，熟练掌握诱导公式及同角三角函数关系是解答本题的关键.
37．AD
【分析】按k的奇偶性化简式子A，即可求解A的值．
【详解】∵当k为偶数时，A3，
∵k为奇数时，A1，
∴或.
故选：AD．
38．ABD
【解析】根据正弦、余弦、正切的诱导公式，利用排除法，可得结果.
【详解】由诱导公式易知A正确；
B正确，；
C错误，
；
D正确，
，
原式
∵，∴，
∴，
∴.
故选：ABD.
【点睛】本题主要考查诱导公式，属基础题.
39．ABD
【解析】本题可通过诱导公式将转化为，A正确，然后通过诱导公式将转化为，B正确，最后根据以及同角三角函数关系判断出C错误以及D正确.
【详解】A项：，A正确；
B项：因为，
所以，B正确；
C项：因为，
所以，C错误；
D项：，D正确，
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：本题考查诱导公式以及同角三角函数关系的应用，考查的公式有、、、等，考查化归与转化思想，是中档题.
40．BC
【解析】对于A，由余弦函数的值域进行判断；对于B，利用诱导公式和三角函数的符号进行判断；对于C，利用诱导公式进行判断；对于D，利用同角三角函数的关系化简即可判断
【详解】解：对于A，由得，而，所以无解，所以A错误；
对于B，，所以B正确；
对于C， ，所以C正确；
对于D，，所以D错误，
故选：BC
41．
【分析】先用诱导公式化简，再通过同角三角函数的基本关系求得.
【详解】，因为，所以，所以，所以，所以.
故答案为：.
42．
【分析】用同角间的三角函数关系计算，用诱导公式化简后再计算．然后计算，可得．
【详解】∵，且，∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】方法点睛：本题考查诱导公式，同角间的三角函数关系．三角函数求值问题，首先要进行化简，应用诱导公式化简，应用同角间的三角函数关系化简，最后才代入求值．应用诱导公式应牢记：奇变偶不变，符号看象限，应用同角间的三角函数关系应注意在应用平方关系求函数值需确定角的范围，以确定正弦余弦值的正负．
43．
【解析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式化简所求表达式.
【详解】依题意为第四象限角，所以
.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查诱导公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
44．
【解析】先求出定点坐标，求出三角函数值，再用诱导公式化简已知，代入三角函数值即得解.
【详解】令，时，，所以定点,
所以.
由题得.
故答案为：
【点睛】结论点睛：已知角的终边上一点（不是原点） ，则.
45．－1
【详解】由已知可得，sinα＝－2csα，即tanα＝－2
2sinαcsα－cs2α＝
考点：本意考查同角三角函数关系式、三角函数恒等变形等基础知识，考查综合处理问题的能力.
46．-1
【分析】直接利用诱导公式和同角三角函数关系化简得到答案.
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查了三角函数的化简，变换是解题的关键.
47．(1)；(2).
【详解】试题分析：
(1)利用诱导公式化简==；(2)由诱导公式可得，再利用同角三角函数关系求出即可．
试题解析：
（1）
．
（2）∵,
∴，
又为第三象限角，
∴，
∴．
点睛：
（1）三角函数式化简的思路：①切化弦，统一名；②用诱导公式，统一角；③用因式分解将式子变形，化为最简．
（2）解题时要熟练运用诱导公式和同角三角函数基本关系式，其中确定相应三角函数值的符号是解题的关键．
48．(1);(2).
【分析】(1)根据诱导公式直接化简即可;
(2)由,可以利用诱导公式计算出,再根据角所在象限确定,进而得出结论.
【详解】(1)根据诱导公式
,
所以;
(2)由诱导公式可知,即,
又是第三象限角,
所以,
所以.
【点睛】本题主要考查诱导公式的运用,属于基础题.使用诱导公式时,常利用口诀“奇变偶不变,符号看象限”进行记忆.
49．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）利用三角函数的诱导公式进行化简，即可得到答案；
（2）由诱导公式，化简得，进而利用三角函数的基本关系式，求得的值，即可求解；
（3）利用诱导公式，化简，即可求解，得到答案.
【详解】（1）由题意，利用三角函数的诱导公式，
化简得.
（2）由诱导公式，得，且，
所以，
又因为是第三象限角，所以，
所以.
（3）因为，则
.
【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式的化简、求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
50．（1）（2）（3）
【分析】(1)利用诱导公式“奇变偶不变,符号看象限”化简即可.
(2)利用诱导公式算出,再由(1),利用
计算即可.注意为第三象限角.
(3)利用诱导公式进行化简计算即可.
【详解】(1)；
即
(2) ,故,因为为第三象限角,
故,即.
(3)当时,
,
故此时.
【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式.
51．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由三角函数的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限对函数进行化简即可得到答案.
(2)利用得，再确定所在象限分别判断值的正负号，从而得到的值.
(1)
(2)
若，则，
为第二象限角或第三象限角，
.
当为第二象限角时，，；
当为第三象限角时，，.