人教A版 (2019)必修 第一册5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切练习题，共30页。

考点一 两角和与差的余弦公式
考点二 两角和与差的正弦公式
考点三： 两角和与差的正切公式
考点四：二倍角的正弦、余弦、正切公式
【题型归纳】
题型一：两角和与差的余弦公式
一：用和差余弦公式进行化简求值
1．（2022·四川泸州·高一期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全国·高一）已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高一）已知，，且，，则（ ）
A．1B．0C．-1D．
二：逆用和差余弦公式进行化简求值
4．（2022·全国·高一）的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·甘肃酒泉·高一期末）的值是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·内蒙古·赤峰二中高一）已知，，，，则（ ）
A．B．C．D．
题型二：两角和与差的正弦公式
一：用和差正弦公式进行化简求值
7．（2022·全国·高一课时练习）已知，，，则的值为（ ）
A．或0B．0C．D．
8．（2022·全国·高一课时练习）已知，均为锐角，且，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2022·陕西汉中·高一期末）已知，则（ ）
A．B．C．±D．±
二：逆用和差正弦公式进行化简求值
10．（2022·北京·中关村中学高一阶段练习）若，，则（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·重庆巴蜀中学高一期中）（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·江苏·镇江市实验高级中学高一期中）的值为（ ）
A．B．C．D．1
题型三：两角和与差的正切公式
一：用和差正切公式进行化简求值
13．（2022·全国·高一课时练习）在中，，，则角（ ）
A．B．C．D．
14．（2022·内蒙古·满洲里市第一中学高一期末）已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
15．（2022·辽宁抚顺·高一期末）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二：逆用和差正切公式进行化简求值
16．（2022·甘肃兰州·高一期末）（ ）
A．B．1C．D．
17．（2022·江苏·金沙中学高一阶段练习）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
18．（2022·陕西·榆林市第十中学高一期末）已知，均为锐角，且，则（ ）
A．B．C．D．
题型四：两角和与差的三角函数综合应用
19．（2022·全国·高一单元测试）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
20．（2022·云南昭通·高一期末）（1）知，计算；
（2）已知都是锐角，，求的值.
21．（2022·四川成都·高一期末）（1）已知，，且，求；
（2）若，，求的值．
题型五：二倍角公式的运用
22．（2022·江西省丰城中学高一期中）若，则（ ）.
A．B．C．D．
23．（2021·湖北黄石·高一期中）已知
(1)求 ；
(2)求 的值.
24．（2022·湖北·高一期末）已知
(1)求的值；
(2)若都是锐角，，求的值.
【双基达标】
一、单选题
25．（2022·贵州六盘水·高一期末）若，，则（ ）
A．B．C．D．
26．（2022·甘肃张掖·高一期末）若，则＝（ ）
A．－B．C．－D．
27．（2022·浙江·高一期中）若，则=（ ）
A．B．C．D．
28．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高一期末）下列各式中，值为的是（ ）
A．B．
C．D．
29．（2022·四川省内江市第六中学高一阶段练习（理））已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．
30．（2022·江西省万载中学高一）求值：
31．（2022·全国·）已知是一元二次方程的两个根，且．
(1)求的值；(2)求的值．
【高分突破】
一、单选题
32．（2022·甘肃·卓尼县柳林中学高一期末），则（ ）
A．B．C．D．
33．（2022·陕西渭南·高一期末）已知角满足，且，则（ ）
A．1B．C．D．
34．（2022·北京市第五中学高一阶段练习）若，，且，是方程的两个根，则（ ）
A．B．C．或D．或
35．（2022·江西九江·高一期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
36．（2022·山东临沂·高一期末）（ ）
A．B．C．D．
37．（2022·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
38．（2022·全国·高一）下列计算中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
39．（2022·全国·高一单元测试）下列选项中正确的有（ ）
A．若是第二象限角，则B．
C．D．
40．（2022·全国·高一）设的终边在第二象限，则的值可能为（ ）
A．1B．-1C．-2D．2
41．（2022·全国·高一课时练习）下列各式中，值为的是（ ）
A．B．
C．D．
42．（2022·江苏·南京市中华中学高一期中）下列各式中值为1的是（ ）
A．B．
C．D．
43．（2022·贵州黔东南·高一期中）下列化简正确的是（ ）
A．B．
C．D．
44．（2022·辽宁·东港市第二中学高一期中）已知函数，则（ ）
A．是函数的一个周期B．直线为函数的对称轴
C．函数的最大值是5D．在有三个解
三、填空题
45．（2022·天津南开·高一期末）的值是_____.
46．（2022·江西九江·高一期末）化简：__________．
47．（2022·全国·高一课时练习）计算：______________．
48．（2022·全国·高一课时练习）若，则_______________．
49．（2022·全国·高一课时练习）______．
50．（2022·全国·高一课时练习）设函数，，则函数的最小值是______．
51．（2022·全国·高一课时练习）已知是方程的一根，则_____.
52．（2022·全国·高一专题练习）设，，，则的值为____.
53．（2022全国·高一专题练习）已知,,则____.
四、解答题
54．（2022·陕西·延安市第一中学高一）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）．
（Ⅰ）求sin（α+π）的值；
（Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=，求csβ的值．
55．（2022·全国·高一单元测试）已知csα，sin（α﹣β），且α、β∈（0，）．求：
（Ⅰ）cs（2α﹣β）的值；
（Ⅱ）β的值．
56．（2021·江苏·高一）已知为第二象限角，且.
（1）求，的值；
（2）求的值.
57．（2020·全国·高一）已知，求的值．
58．（2022·全国·高一）已知，．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
59．（2019·陕西省黄陵县中学高一期末）已知函数为奇函数，且，其中.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
名称
简记符号
公式
使用条件
两角差的余弦公式
C(α－β)
cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β
α，β∈R
两角和的余弦公式
C(α＋β)
cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β
α，β∈R
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正弦
S(α＋β)
sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β
α，β∈R
两角差的正弦
S(α－β)
sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β
α，β∈R
名称
公式
简记符号
条件
两角和的正切
tan(α＋β) ＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)
T(α＋β)
α，β，α＋β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)
两角差的正切
tan(α－β) ＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)
T(α－β)
α，β，α－β≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)
【答案详解】
1．C
【分析】根据两角和的余弦公式可得，即可求解.
【详解】
，
.
故选：C
2．B
【分析】由，结合已知及和差角余弦公式可得，进而可得，最后由倍角余弦公式求值.
【详解】因为，所以，
因为，所以，于是，
所以．
故选：B
3．B
【分析】判断，的范围，求得，，将化为，利用两角差的余弦公式即可求得答案.
【详解】因为，,
所以，,
因为，所以,
因为，所以,
所以
,
故选：B
4．B
【分析】利用两角和的余弦公式即可求解.
【详解】解：.
故选：B.
5．A
【分析】根据余弦的差角公式即可化简求值.
【详解】．
故选：A
6．C
【分析】对两个等式平方相加，根据同角的三角函数关系式、两角差的余弦公式进行求解即可.
【详解】因为，，
所以，
，
，
因为，，所以，
因为，而，，
所以，因此，故，
故选：C
7．D
【分析】根据两角差的正弦公式，结合同角三角函数的关系与求解即可.
【详解】∵，∴，
∵，，
∴，.
则或0.
∵，∴.
故选：D
8．B
【分析】利用同角三角函数的平方关系求出余弦、正弦，再由两角差的正弦展开式计算可得答案.
【详解】∵，均为锐角，且，，
∴，，
∴
.
又∵，均为锐角
∴.
∴.
故选：B.
9．D
【分析】根据两角和的正弦公式展开，之后再用辅助角公式可得，再根据同角三角函数的关系求解即可.
【详解】，则，即，
故，所以，故，所以
故选：D
10．D
【分析】利用诱导公式、逆用差角的正弦公式将已知变形为，再求出即可求解作答.
【详解】由得，化为：，
即，令，于是有，
则有，即，所以.
故选：D
11．C
【分析】利用诱导公式及和角正弦公式即可求值.
【详解】.
故选：C
12．C
【分析】根据两角和正弦公式，化简即可求解.
【详解】由两角和正弦公式，可得
.
故选：C.
13．C
【分析】由可知，即，再将题干等式代入化简，即可得出答案.
【详解】因为，
所以，
因为，
所以.
又，
所以由得
所以，
所以，所以.
又，
所以.
故选：C.
14．B
【分析】根据利用两角差的正切公式计算可得.
【详解】解：因为，，
所以
.
故选：B
15．A
【分析】，结合诱导公式、正切和公式化简展开，可解得，即可求解
【详解】由题，故，
可解得，故，
故选：A
16．C
【分析】逆用正切的和差公式与特殊角的三角函数值即可求解.
【详解】.
故选：C.
17．B
【分析】根据两角和的正切可求，再根据得到，从而可得正确的选项.
【详解】因为，故，
故，同理，
故，故B成立.
而
故，故A错误.
而，故
因，故，所以，
又若，则， 解得，
因为，
，故无解，故D错误.
若，则，则，
这与矛盾，故D错误.
故选：B.
18．B
【分析】对已知的式子化简，然后利用两角和的正切公式可求出结果
【详解】由，
得，
所以
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
故选：B
19．(1)；
(2)2.
【分析】（1）根据给定条件，利用二倍角的正弦公式结合正余弦齐次式法计算作答.
（2）利用二倍角的正切公式及和角的正切公式计算作答.
（1）
因，则.
（2）
因，则，又，
所以．
20．（1）；（2）.
【分析】（1）对原式弦化切后求值即可；
（2）由已知及同角三角函数平方和是1求出，对变形成，再利用两角差的余弦公式计算.
【详解】解：（1），
；
（2）且是锐角，，
且，，
.
21．（1） ；（2） ．
【分析】（1）根据及的范围，可得的值，同理可得的值，由题意，根据两角差的余弦公式，展开化简，结合的范围，即可得答案.
（2）根据两角和、差的余弦公式，展开化简，可得、的值，两式相除，即可得答案.
【详解】（1）因为，，所以，
又，，
所以，所以
所以，
因为，所以
（2），
，
解得，，
所以．
22．C
【分析】利用诱导公式及二倍角公式化简求值.
【详解】由已知，
所以，
故选：C.
23．(1)；
(2).
【分析】（1）根据两角和的正切公式，结合正切二倍角公式进行求解即可；
（2）根据二倍角的正弦公式和余弦公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.
（1）由，所以；
（2）
24．(1)
(2)
【分析】（1）两边同平方，根据二倍角公式和同角平方关系，即可求解.
(2) 通过凑角,利用正弦和差公式，即可求解.
(1)
解：，
.
(2)
因为都是锐角,所以，，，
25．D
【分析】结合诱导公式，同角三角函数的基本关系式、二倍角公式求得正确答案.
【详解】，
由于，所以，
所以.
故选：D
26．C
【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的余弦公式化简计算作答.
【详解】依题意，，所以.
故选：C
27．D
【分析】利用同角三角函数关系，结合正弦的二倍角公式，带值计算即可.
【详解】
.
故选：D.
28．D
【分析】根据三角函数的和差公式、倍角公式逐一算出每个选项对应式子的值，然后可选出答案.
【详解】，
，
，
，
故选：D.
29．A
【分析】利用二倍角公式和两角和与差的余弦公式对已知式子化简，然后代值求解即可.
【详解】因为，
所以
，
故选：A
30．1
【分析】利用诱导公式进行化简，在逆用正弦和角公式求出答案.
【详解】
.
31．(1)7
(2)
【分析】（1）根据，得到，再利用两角差的正切公式求解；
（2）利用两角和的正切公式求解.
（1）
解方程得．
因为，
所以，
则．
（2）
．
因为，
所以，
从而．
32．D
【分析】根据正切函数的和角公式，由，可得答案.
【详解】．
故选：D.
33．A
【分析】利用余弦的二倍角公式对已知式子化简可求得答案
【详解】由，得，
，
因为，
所以，
故选：A
34．B
【分析】根据根与系数之间的关系，结合两角和差的正切公式进行化简求解即可．
【详解】解：、是方程的两个根，
，，
，，即、,，
则，
则，
故选：B．
35．A
【分析】对题干条件平方后相加，结合余弦的差角公式得到答案.
【详解】因为，所以（1），
因为，所以（2），
（1）+（2）得，
∴.
故选：A．
36．C
【分析】根据诱导公式以及两角和与差的余弦公式即可求解.
【详解】；
；
原式
.
故选：C
37．B
【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值.
【详解】因为，则，所以，，
所以，.
故选：B.
38．ABCD
【分析】结合诱导公式及正余弦的和差角公式分别进行化简，即可求解
【详解】解：对于A，，故正确；
对于B，，正确；
对于C， ，正确；
对于D，，正确.
故选：ABCD
39．ABCD
【分析】对于A，可利用同角三角函数基本关系化简；
对于B，可利用及同角三角函数基本关系化简；
对于C，可先利用两角差的余弦公式及诱导公式统一角之后再进行化简；
对于D，可利用二倍角的正切公式化简.
【详解】对于A，因为是第二象限角，所以，从而，所以A正确；
对于B，，所以B正确；
对于C，，所以C正确；
对于D，，所以D正确.
故选：ABCD.
40．AB
【分析】先求得的范围，由此进行分类讨论，结合二倍角公式、同角三角函数的基本关系式，化简求得所求表达式的值.
【详解】∵的终边在第二象限，
∴，，
∴，，
，
故当，时，
，
当，时，
，.
故选：AB
41．BD
【分析】利用二倍角正弦公式可判断A;利用二倍角余弦公式判断B;利用同角三角函数的关系判断C;利用二倍角的正切公式判断D.
【详解】对于A，,错误；
对于B， ,正确；
对于C，,错误；
对于D，，正确,
故选:BD.
42．BCD
【分析】利用两角和差的三角函数公式及倍角公式对选项逐一判断即可．
【详解】解：对于A：，选项A错误；
对于B：，选项B正确；
对于C：，选项C正确；
对于D：，选项D正确．
故选：BCD．
43．BCD
【分析】利用二倍角公式公式及和差角公式计算可得；
【详解】解：对于A：，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，所以，故D正确；
故选：BCD
44．ABC
【分析】利用周期函数定义判断A；利用轴对称的意义推理判断B；求出函数的最大值判断C；探讨在上的解的情况判断D作答.
【详解】对于A，因，是函数的一个周期，A正确；
对于B，，，
因此，直线为函数的对称轴，B正确；
对于C，当时，，锐角由确定，
当时，，由选项B知，在上的最大值为5，由选项A知，在R上的最大值为5，C正确；
对于D，当时，由选项C及得，此时，或，
即在上有两个解，由选项B知，在有两个解，因此，在有四个解，D不正确.
故选：ABC
45．##
【分析】利用余弦的和差公式、诱导公式及特殊角的三角函数值可解.
【详解】.
故答案为：.
46．1
【分析】使用二倍角公式及同角三角函数平方关系化简求值.
【详解】因为，，，
所以．
故答案为：1
47．
【分析】由正切和差角公式即可得到答案.
【详解】原式．
故答案为:.
48．
【分析】利用同角关系“”，以及二倍角的正弦公式，把根号配成完全平方式，开出来，根据的范围去绝对值整理得答案.
【详解】

，
由于，所以，
当时，，
原式，
当时，，
原式，
综上，原式．
故答案为：.
49．
【分析】利用两角差的正切公式化简求值即可.
【详解】解：
．
故答案为：.
50．0
【分析】判断函数的奇偶性，转化为函数在上的最小值，进而利用二倍角余弦公式转化为二次函数最值问题即可.
【详解】∵为偶函数，
∴只需求函数在上的最小值，
此时，
令，
则，函数的对称轴为，
∴当时，.
故答案为：0.
51．
【分析】依题意可得，再根据同角三角函数的基本关系将切化弦，整理得，即可求出，再根据二倍角余弦公式及诱导公式计算可得.
【详解】解：是方程的一根，
，则，
可得，可得，
，
．
故答案为：
52．
【分析】首先求出，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后利用两角差的正切公式计算可得.
【详解】解：， ，
又，，
，，，
．
故答案为：
53． ## 1.2
【分析】根据同角公式和二倍角的余弦公式可求出结果.
【详解】因为，，
所以，，
则.
故答案为：
54．（Ⅰ）；（Ⅱ） 或 .
【分析】分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函数定义得，再根据同角三角函数关系得，最后根据，利用两角差的余弦公式求结果.
【详解】详解：（Ⅰ）由角的终边过点得，
所以.
（Ⅱ）由角的终边过点得，
由得.
由得，
所以或.
点睛：三角函数求值的两种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
55．（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）由α，β的范围求出α﹣β的范围，由题意和平方关系求出sinα和cs（α﹣β），由两角和的余弦公式求出cs（2α﹣β）＝cs[（α﹣β）+α]的值；
（Ⅱ）由两角差的余弦公式求出csβ＝cs[α﹣（α﹣β）]的值，再由β的范围求出β的值．
【详解】（Ⅰ）∵，∴α﹣β∈（，），
∵，，
∴sinα，cs（α﹣β），
∴cs（2α﹣β）＝cs[（α﹣β）+α]＝cs（α﹣β）csα﹣sin（α﹣β）sinα
，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
csβ＝cs[α﹣（α﹣β）]＝csα cs（α﹣β）+ sinα sin（α﹣β）
，
又∵，∴β．
【点睛】关键点点睛：拆角，是本题解题关键.
56．（1）,；（2）4.
【分析】（1）根据，解出，，求出，根据正切的二倍角公式求出；
（2）化简得到，从而求出答案.
【详解】（1）因为且，
解方程组得到，（舍去）或，
所以
；
（2）=4.
【点睛】主要是考查了三角函数的化简与求值的运用，属于基础题。
57．
【解析】根据诱导公式和二倍角公式，化简已知为，将所求式中的2，用替换，整理化为齐二次分式，分子、分母同除以，化弦为切，即可求解
【详解】解：因为
，
所以
．
【点睛】本题考查已知三角函数值求值问题，解题的关键是化简，涉及到诱导公式、二倍角公式，以及齐次分式化弦为切的方法，属于中档题.
58．(1)
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系结合两角差的正弦公式可求得的值；
（2）利用二倍角的余弦公式可求得的值，利用同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式求出的值，结合角的取值范围可求得结果.
（1）
解：因为，，
又，所以，
所以.
（2）
解：因为，
，
又因为，所以，
由（1）知，，
所以．
因为，，则，所以．
59．(1),(2)
【详解】试题分析：(1)根据奇偶性定义，可得等量关系：即，因为所以又所以因为，所以(2)由（1）得：所以由，得又，所以因此
试题解析：（1）因为函数为奇函数，所以即，因为所以又所以因为，所以（2）由（1）得：所以由，得又，所以因此