（人教A版2019必修第一册）高一数学精讲与精练高分突破系列第五章《三角函数》同步单元必刷卷（培优卷）（全解全析）（附答案）

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第五章《三角函数》同步单元必刷卷（培优卷）全解全析1．C【分析】根据取奇数和偶数分类讨论即可求解.【详解】是锐角，，，当k为奇数时，为第三象限角；当k为偶数时，为第一象限角.所以为第一象限角或第三象限角.故选:C.2．C【分析】利用诱导公式以及两角差的正弦公式可求得所求代数式的值.【详解】因为，所以，.故选：C.3．C【分析】根据给定条件，求出，再利用齐次式法计算作答.【详解】因，则，所以.故选：C4．C【分析】根据图象变换规律可得，然后根据三角函数的性质即得.【详解】由题意可得函数，又，所以，所以，所以．故选：C．5．A【分析】首先设，在中有，，在中，有，利用，结合同角三角函数的平方关系，求得结果.【详解】设，则有，利用拼接的图，以及拼接后得到的角为，可知，所以有，因为拼接的时候有，所以有，整理得，因为，代入，，求得，即，故选：A.【点睛】该题考查的是有关三角函数的求值问题，涉及到的知识点有在直角三角形中角的三角函数值与边的关系，同角三角函数关系式，属于较难题目.6．D【分析】利用三角函数的诱导公式求解.【详解】解：，，则，故选：D7．A【解析】由一条对称轴和一个对称中心可以得到或，由在上单调递减可以得到，算出的大致范围，验证即可.【详解】由题意知：或∴或∴或∵在上单调递减，∴∴①当时，取知此时，当时，满足在上单调递减，∴符合取时，，此时，当时，满足在上单调递减，∴符合当时，，舍去，当时，也舍去②当时，取知此时，当时，，此时在上单调递增，舍去当时，，舍去，当时，也舍去综上：或2，.故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，难度较大，易错点在于已知一条对称轴和一个对称中心要分两种情况分析.8．D【分析】由题可得，，过作，交于，连接，则，设，分类讨论，若在线段上，则，可求出和，从而可得出，利用函数的单调性，可得出时，取得最大值；若在的延长线上，同理求出和，可得出，可得当时，函数取得最大值；结合两种情况的结果，即可得出结论．【详解】解：，，由勾股定理知，，过点作交于，连结，则，设，若在线段上，则，由，得，在直角中，，，令，则函数在，单调递减，时，取得最大值为；若在的延长线上，，在直角中，，，令，则可得时，函数取得最大值.故答案为：．9．AC【分析】化简函数解析式，由条件可得在处取得最大值，根据正弦函数的性质可得，与条件可求，由同角关系求，由此判断A，B，再结合正弦函数的性质判断C，D.【详解】，，，因为在处取得最大值，所以，，即，，所以，所以，因为，所以，即，所以，所以，又，解得，又，所以，所以，，故A正确，B错误；所以，，解得，，又，所以，故C正确；当时，因为，所以，所以在上不单调，故D错误，故选：AC.10．ACD【分析】利用余弦型函数的奇偶性可判断A选项；利用正弦型函数的单调性可判断B选项；在时解方程，可判断C选项；对实数的取值进行分类讨论，求出的取值范围，可判断D选项.【详解】对于A选项，当，时，为偶函数，A对；对于B选项，当，时，，当时，，此时函数在区间上不单调，B错；对于C选项，当，时，，当时，，由可得，解得，此时在区间上恰有个零点，C对；对于D选项，当，时，，因为，则，①若，即当时，函数在区间上单调递增，则；②若时，即当时，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，，因为，则，，所以，；③若，即当时，函数在区间上单调递减，则；④若时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，，，因为，则，，所以，.综上所述，，D对.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数基本性质的综合，难点在于判断D选项，要注意对实数的取值进行分类讨论确定函数在区间上的单调性，求得、的值或表达式，结合三角函数的有界性来求解.11．ABC【分析】根据的取值分类讨论，研究函数性质后判断图象【详解】①当时，为奇函数，由时，时等性质可知A选项符合题意②当时，令，作出两函数图象，研究其交点数形结合可知在内必有一交点，记横坐标为，此时，故排除D选项时，；时，若在内无交点，则在恒成立，则图象如C选项所示，故C选项符合题意若在内有两交点，同理得B选项符合题意故选：ABC12．ABD【分析】由三角函数的定义，可得，，的值，根据和角差角及二倍角公式代入计算可判断A、B正误，对于C、D，根据辅助角公式进行化简，结合绝对值变换、周期公式及“左加右减”平移方法就可以判断.【详解】由三角函数的定义，得，，.对于A，，故选项A正确；对于B，，故选项B正确；对于C，，所以的最小正周期，故选项C错误；对于D，将图象上的所有点向左平移个单位长度，得到的函数解析式，故选项D正确.故选：ABD.13．【分析】由题可得，，然后利用三角函数的定义可得，，即得.【详解】由角的终边与单位圆交于点，得，又，∴，因为角的终边落在直线上，所以角只能是第三象限角．记 P 为角的终边与单位圆的交点，设，则，即，又，解得，即，因为点在单位圆上，所以，解得，即，所以.故答案为：.14．【分析】本题考查解三角在平面几何的应用，由三角形的知识易得，由三角函数公式化简以及三角函数的最值可得答案．【详解】解：设，扇形的半径为，圆心角为，所以，，所以矩形面积，，；当即即为弧的中点时，取最大值.故答案为：.15．【分析】利用函数的对称性、单调性建立不等式，再利用辅助角公式、基本不等式求解.【详解】根据题意，可得函数关于中心对称，所以可得，又，所以，所以，根据函数单调性可得，即，（其中），所以，所以，当且仅当时取等号.故答案为：.16．【分析】方程的根是，即的根是，方程的根是，即的根是，根据互为反函数，即图象关于直线对称，借助对称性求两根之和.【详解】方程即：，即的根是，方程即的根是，令：方程的根为是方程的根是，互为反函数，即图象关于直线对称，此题中就是这两个函数与的两个交点的横坐标，直线与直线垂直，可以看成直线关于直线对称，则这两个点的坐标为均在直线上，所以所以即故答案为：【点睛】此题考查函数与方程的问题，通过互为反函数的两个函数图象关于直线对称，借助对称性解决原题两根之和.17．（1）；（2）20.【分析】（1）根据诱导公式及特殊角的三角函数值即得；（2）利用齐次式及同角关系式即得.【详解】（1）原式；（2）原式.18．(1)(2)【分析】（1）先用降幂公式和辅助角共将函数化简后可得；（2）求出的非负零点依次观察可得的范围.【详解】（1），解之单调递增区间为： （2）由（1）则非负零点依次为：，在区间上有且只有一个零点，19．(1)1；(2)【解析】(1)本题首先可以根据以及得出，然后根据即可得出；(2)结合(1)可以得出、以及，然后根据为的中点即可得出和四边形的面积，再然后令，通过化简得出，最后根据二次函数性质即可得出结果。【详解】(1)在中，，，则，因为，所以.(2)在中，，，，因为为的中点，所以，四边形的面积：设，，则，，所以，当时，，四边形的面积的最大值为．【点睛】本题考查三角函数与二次函数的灵活应用，考查利用三角函数来表示各边长，考查根据二次函数性质求最值，考查化归与转化思想，体现了综合性，是难题。20．(1)；(2)．【分析】（1）化简已知得，解不等式即得解；（2）由题意可知，令，所以，再利用三角函数的图象和性质得解.【详解】（1）解：，令的单调递减区间为（2）解：由题意可知，，，令，所以，因为，，所以.当时，，当时，.由题得所以在上的取值范围是．21．（1）；（2）；（3），.【分析】（1）由函数的周期公式可求出的值，求出函数的对称轴方程，结合直线为一条对称轴结合的范围可得出的值，于此得出函数的解析式；（2）由得出，再由结合锐角三角函数得出，利用正弦定理以及内角和定理得出，由条件得出，于此可计算出的取值范围；（3）令，得，换元得出，得出方程，设该方程的两根为、，由韦达定理得出，分（ii）、；（ii），；（iii），三种情况讨论，计算出关于的方程在一个周期区间上的实根个数，结合已知条件得出与的值.【详解】（1）由三角函数的周期公式可得，，令，得，由于直线为函数的一条对称轴，所以，，得，由于，，则，因此，；（2），由三角形的内角和定理得，.，且，，.，由，得，由锐角三角函数的定义得，，由正弦定理得，，，，且，，，.，因此，的取值范围是；（3）将函数的图象向右平移个单位，得到函数，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数为，，令，可得，令，得，，则关于的二次方程必有两不等实根、，则，则、异号，（i）当且时，则方程和在区间均有偶数个根，从而方程在也有偶数个根，不合乎题意；（ii）当，则，当时，只有一根，有两根，所以，关于的方程在上有三个根，由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上只有一个根，在区间上无实解，方程在区间上无实数解，在区间上有两个根，因此，关于的方程在区间上有个根，在区间上有个根，不合乎题意；（iii）当时，则，当时，只有一根，有两根，所以，关于的方程在上有三个根，由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上无实数根，在区间上只有一个实数根，方程在区间上有两个实数解，在区间上无实数解，因此，关于的方程在区间上有个根，在区间上有个根，此时，，得.综上所述：，.【点睛】本题考查利用三角函数的性质求三角函数的解析式，以及三角形中的取值范围问题，以及三角函数零点个数问题，同时也涉及了复合函数方程解的个数问题，考查分类讨论思想的应用，综合性较强，属于难题.22．（1），的取值范围为，，（2）【解析】(1)由题意可知小正方形的边长为，大正方形的边长为，所以五个正方形的面积和为，又，所以，所以的取值范围为， ，，；(2)法一：其中，，所以，此时，所以，则，因为，解得，即可求出面积最小值为；法二：由（1）可知，令，则，设，，利用导数得到当时，面积最小值为．【详解】解：（1）过点分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为，，因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合，所以点，分别为小正方形和大正方形边的中点，所以小正方形的边长为，大正方形的边长为，所以五个正方形的面积和为，，因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长，所以，，，所以的取值范围为，，答：面积关于的函数表达式为，的取值范围为，，.（2）法一：， ，，，其中，，所以，此时，因为，所以，所以，所以，则，化简得：，由此解得：，因为，所以，答：面积最小值为，法二：，，令，则，设，，令，得：，所以时，面积最小值为，答：面积最小值为.【点睛】本题主要考查三角函数的实际应用，以及三角恒等变换的应用，涉及降幂公式、二倍角正弦公式和正切公式，是中档题．0极小值