（人教A版2019必修第一册）高一数学精讲与精练高分突破系列第五章《三角函数》同步单元必刷卷（基础卷）（全解全析）（附答案）

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第五章《三角函数》同步单元必刷卷（基础卷）全解全析1．B【分析】利用诱导公式进行化简并求值【详解】故选：B2．C【分析】由扇形的弧长公式和面积公式列方程组求解．【详解】设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，则解得故选：C．3．D【分析】利用同角公式判断命题，；举例说明判断命题，即可.【详解】：，错误；：取，，显然，正确；：当时，，此时，错误；：，由，则，正确．故选：D4．B【分析】由同角三角函数关系即可求得，进而代入原式即可求解.【详解】由，且，解得：或，又因为为第三象限角，所以，，所以.所以.故选：B5．D【分析】根据二倍角的余弦公式结合平方关系及商数关系化弦为切，计算即可得解.【详解】解：，即，解得（舍去）.故选：D.6．D【分析】将方程的根的问题转化为函数的图象与直线有且仅有1个交点，画出图象，数形结合得到不等式组，求出m的取值范围.【详解】方程恰有一个实数根，等价于函数的图象与直线有且仅有1个交点．当得：，结合函数的图象可知，，解得：.故选：D7．A【解析】首先先求以为终边的角为，再根据三角函数的定义求点的纵坐标，以及根据图形表示.【详解】，所以对应的角是，由在内转过的角为，可知以为始边，以为终边的角为，则点的纵坐标为，所以点距水面的高度表示为的函数是.故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键读懂题意，并能抽象出函数关系，关键是求以在内转过的角为，再求以为终边的角为.8．A【解析】由一条对称轴和一个对称中心可以得到或，由在上单调递减可以得到，算出的大致范围，验证即可.【详解】由题意知：或∴或∴或∵在上单调递减，∴∴①当时，取知此时，当时，满足在上单调递减，∴符合取时，，此时，当时，满足在上单调递减，∴符合当时，，舍去，当时，也舍去②当时，取知此时，当时，，此时在上单调递增，舍去当时，，舍去，当时，也舍去综上：或2，.故选：A.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，难度较大，易错点在于已知一条对称轴和一个对称中心要分两种情况分析.9．CD【分析】利用平方关系结合已知求出，再根据商数关系即可得出答案.【详解】解：由，得，又，所以，解得或，当时，，则，当时，，则.故选：CD.10．BCD【分析】直接利用象限角的定义，同角三角函数关系式，扇形面积公式的计算来判断各选项的结论．【详解】，是第二象限角，故A错误；若，则，故B正确；圆心角为的扇形的弧长为，扇形的半径为，面积为，故C正确；终边经过点，该终边为第一象限的角平分线，即角的集合是，故D正确；故选：BCD11．BD【分析】根据奇函数的定义、余弦的二倍角公式，利用换元法、二次函数的性质、零点的定义逐一判断即可.【详解】对于A，的定义域为R．因为，所以，则函数的图象不关于原点对称，故A错误．对于B，，当，在上单调递增，即，令，时，函数在上单调递增，根据复合函数单调性，故B正确．对于C，当，即时，，则问题转化为函数在上的值域，二次函数对称轴方程为，故函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值为，当时，取得最小值为，故值域为，故C错误．对于D，令，即，解得或，当时，或或，故函数在上有3个零点，故D正确．故选：BD．12．AD【分析】由题设得，根据三角形函数与的周期、对称轴变化性质判断最小正周期和对称轴，根据方程恒能成立有，且使能成立求a的范围即可，利用在的图象，根据零点个数确定b的范围，结合对称性求零点的和.【详解】由题设，所以，故，由的最小正周期为，则的最小正周期为，同理的最小正周期为，则的最小正周期为，A正确；对于，令，则对称轴方程为且，B错误；对任意有，，且满足且，而的图象如下：所以，则，所以或，无解，即不存在这样的a，C错误；由可转化为与交点横坐标，而上图象如下：函数有奇数个零点，由图知：，此时共有9个零点，、、、、、、，，所以，D正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：求得的解析式，应用类比思想，根据与最小正周期、对称轴的关系得到的周期和对称轴；由对任意有，，且满足且，进而转化为集合的包含关系求a范围；由的区间图象及其对称性求零点的和.13．2【分析】依题意得，由即可求解．【详解】依题意得由故答案为：214．##0.8【分析】根据给定条件，利用诱导公式及三角函数定义计算作答.【详解】依题意，点P在单位圆上，则，所以.故答案为：15．【解析】根据正弦函数的单调性，求出函数的单增区间，由（），可得： ，所以 ，整理即可得解.【详解】根据正弦函数的单调性，可得：（），所以：，解得：，整理可得： ，当有解，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了利用三角函数单调性求参数的取值范围，考查了恒成立思想，要求较高的计算能力，属于难题.16．【分析】不等式变形为令，即上式变形为关于的一元二次不等式，对应的二次函数为，根据题意，若满足时不等式恒成立，则需时，恒成立，分类讨论，当或或时，判断函数单调性，解不等式，求解即可.【详解】.设，.由题意可知，时，恒成立.当对称轴时在上单调递减，则，即当对称轴时，解得即当对称轴时在上单调递增，则，即综上所述：故答案为：【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题，同时也考查同角三角函数基本关系，属于难题.17．(1)1(2)【分析】利用三角函数的诱导公式化简求值即可.（1）原式；（2），又，，.18．（1）；（2）1【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系求得，然后算出的值，结合范围即可得到答案；（2）利用同角三角函数的基本关系、辅助角公式和二倍角公式，求得所给式子的值.【详解】解：（1）∵为锐角，，且，∴；∵为锐角，，且，∴，∴，∵，∴；（2）19．(1)；(2).【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再利用最小正周期公式即得；（2）由题可得，然后利用正弦函数的图像和性质即得.【详解】（1）因为，所以的最小正周期；（2）由，可得，所以，解得，所以不等式的解集为.20．(1)，，最小正周期为2(2)【分析】（1）将代入解出，进而求解即可；（2）由余弦函数的图像和性质求解即可.【详解】（1）将代入得，解得，所以，令得，，解得，，所以图中对称轴为，由对称性得，解得.的最小正周期.（2）由余弦函数的性质令解得，，由余弦函数的图像在区间上只有一个最小值点，则，即实数的取值范围为.21．（1），，，.（2）（3）【分析】（1）在图1中，过点作，的垂线，垂直分别为，，则，，在，中，分别求解，再相加，即可.（2）由（1）可知，，令，则，判断单调性，再求最小值，即可.（3）延长分别交，于，，设，则.由（1）可知，在，中分别计算，，则，即，令，则，判断单调性，再求最小值，即可【详解】（1）在图1中，过点作，的垂线，垂直分别为，，则，.在中在中则即，，，.（2）由（1）可知，.令，则即当时，单调递增，单调递减.则即时若一根铁棒能水平地通过此直角走廊，则需此铁棒的最大长度为（3）延长分别交，于，，设，则.由（1）可知，在中，在中，则令，则即，，.当时单调递减.则即时.平板车若想顺利通过直角走廊，其长度不能超过【点睛】本题考查三角函数的实际应用，以及判断函数的单调性求最值.属于难题.22．（1）；（2）；（3），.【分析】（1）由函数的周期公式可求出的值，求出函数的对称轴方程，结合直线为一条对称轴结合的范围可得出的值，于此得出函数的解析式；（2）由得出，再由结合锐角三角函数得出，利用正弦定理以及内角和定理得出，由条件得出，于此可计算出的取值范围；（3）令，得，换元得出，得出方程，设该方程的两根为、，由韦达定理得出，分（ii）、；（ii），；（iii），三种情况讨论，计算出关于的方程在一个周期区间上的实根个数，结合已知条件得出与的值.【详解】（1）由三角函数的周期公式可得，，令，得，由于直线为函数的一条对称轴，所以，，得，由于，，则，因此，；（2），由三角形的内角和定理得，.，且，，.，由，得，由锐角三角函数的定义得，，由正弦定理得，，，，且，，，.，因此，的取值范围是；（3）将函数的图象向右平移个单位，得到函数，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数为，，令，可得，令，得，，则关于的二次方程必有两不等实根、，则，则、异号，（i）当且时，则方程和在区间均有偶数个根，从而方程在也有偶数个根，不合乎题意；（ii）当，则，当时，只有一根，有两根，所以，关于的方程在上有三个根，由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上只有一个根，在区间上无实解，方程在区间上无实数解，在区间上有两个根，因此，关于的方程在区间上有个根，在区间上有个根，不合乎题意；（iii）当时，则，当时，只有一根，有两根，所以，关于的方程在上有三个根，由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上无实数根，在区间上只有一个实数根，方程在区间上有两个实数解，在区间上无实数解，因此，关于的方程在区间上有个根，在区间上有个根，此时，，得.综上所述：，.【点睛】本题考查利用三角函数的性质求三角函数的解析式，以及三角形中的取值范围问题，以及三角函数零点个数问题，同时也涉及了复合函数方程解的个数问题，考查分类讨论思想的应用，综合性较强，属于难题.